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Teorema de Thales
Macarena Fica
Estudiante en práctica de Pedagogía en Matemática
Considera el ΔABC, y un segmento de recta, paralelo a AB, tal que interseca a los lados del
triángulo en los puntos D y E.
¿Se cumple que ∢ CDE y ∢ CAB
tienen igual medida?, ¿porqué?
¿Hay otros pares de ángulos que tengan igual
medida en la figura?, ¿cuáles?
¿ΔABC y ΔDEC son congruentes?, ¿son
semejantes?
¿AC, DC, BC y EC son proporcionales?,
¿por qué?
Observa que DE // AB, y CA es transversal a ellos, entonces:
∢CAB = ∢CDE, son ángulos correspondientes entre paralelas.
∢ACB = ∢DCE, por construcción, son el mismo ángulo.
ΔABC ~ ΔDEC, por el criterio AA de semejanza.
Luego, los segmentos AC, DC, BC y EC son proporcionales.
*Rectas paralelas: rectas que no se interceptan
Teorema de Thales
Toda recta paralela a un lado de un
triángulo y que corte a los otros dos lados
divide a estos últimos en segmentos
proporcionales.
¿si un segmento DE corta a los lados AC y BC en segmentos proporcionales, se cumple que
DE // AB?
En el ΔABC, sea DE el segmento que cumple la hipótesis, esto es, tal que sobre los lados
AC y BC se cumple la proporción
.
Entonces:
∢ ACB = ∢ DCE, ya que, por construcción, ΔABC y ΔDEC tienen en común el ángulo con
vértice en el punto C.
, por hipótesis y componiendo
ΔABC ~ ΔDEC, por el criterio LAL de semejanza.
Como consecuencia de la semejanza, los ángulos correspondientes restantes de cada
triángulo son iguales. Dicho de otra forma, ∢ CDE = ∢ CAB y
∢ DEC = ∢ ABC. Por lo tanto, los segmentos DE y AB son paralelos.
* * Hipótesis: suposición o condición a partir de
la cual se pretende establecer una consecuencia.
Recíproco del teorema de Thales
Si una recta divide dos lados de un
triángulo en una misma proporción, la recta
es paralela al tercer lado del triángulo.
A practicar!!!
A partir de la conclusiones anteriores, considera ahora la siguiente figura, con AB // DE:
¿Se cumple que ∢ CDE y ∢ CAB tienen
igual medida?, ¿por qué?
¿Hay otros pares de ángulos que tengan igual
medida en la figura?, ¿cuáles?
¿ΔABC y ΔDEC son semejantes?
¿AC, DC, BC y EC son proporcionales?, ¿por
qué?
∢ ACB y ∢ DCE tienen la misma medida, ya que son ángulos opuestos por el vértice.
Por otra parte, ∢ CAB y ∢ CDE tienen la misma medida, ya que son ángulos alternos
internos entre paralelas.
Entonces, por criterio AA.
ΔABC ~ ΔDEC, y los segmentos AC y DC, BC y EC son proporcionales.
Pero no se cumple solo en un triángulo con una paralela, sino que, en general, si existen
rectas paralelas cortadas por transversales, siempre se obtienen segmentos
proporcionales.
Teorema general de Thales
Si tres o más rectas paralelas cortan a dos o
más secantes, entonces los segmentos que se
determinan en las secantes son proporcionales.
En resumen en un triángulo…
• Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento
paralelo B´C´, a uno de los lados del triángulo, se
obtiene otro triángulo A´B´C´ cuyos lados son
proporcionales a los del triángulo ABC
A
B´
B
C´
B
Desafío!!
Teorema de Thales
Macarena Fica
Estudiante en práctica de Pedagogía en Matemática