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UNIDAD: Geometría Tema: Semejanza “Criterios de semejanza de triángulos” Macarena Fica Estudiante en práctica de Pedagogía en Matemática ¡¡¡Pequeños y gigantes . . . . pueden ser semejantes …!!! Figuras Semejantes . . . ???? ¿Figuras Semejantes? FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes cuando mantienen su “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño. Si son semejantes NO son figuras semejantes Semejanza: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes. Ejemplo: ¿Los siguientes rectángulos son semejantes? 1. 5cm ¿Tienen sus lados homólogos (o respectivos) proporcionales? Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 •2 = 5 • 4 ´ 2cm 10 4 5 2 4cm 2. ¿Son sus ángulos correspondientes congruentes? ´ Al cumplirse las dos condiciones anteriores, podemos decir que los dos rectángulos son semejantes Por ser rectángulo todos sus ángulos son rectos y miden 90°. Ejercicios • Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? • Determina si estos rectángulos son semejantes. • Calcula sabiendo que los dos polígonos son semejantes • Determina si los siguientes polígonos semejantes • ¿son semejantes estos rectángulos? • Si estos polígonos son semejantes. ¿Cuanto mide ? ¿Serán semejantes estos triángulos? TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales. A C A’ B ’ ’ ’ C’ (*) Congruente= igual medida B’ ’ ’ ’ AB BC CA r A ' B' B' C' C' A ' (**) Homólogo = misma posición en cada figura. Criterios de semejanza de triángulos Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de “Criterios de semejanza de triángulos” Existen tres criterios de semejanza de triángulos: 1. AA ( ángulo - ángulo) 2. LLL (lado – lado - lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado) Primer criterio: AA Si los triángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, entonces los triángulos son semejantes. A´ A C ´ B C’ Es decir: Si ´ y ´ Entonces: ´ ´ B´ (de lo anterior se deduce que ´ ) Δ ABC ~ Δ A´B´C´ Ejemplo 1: ¿Son los siguientes triángulos semejantes? A 65° B 65° A ¡ Si ! B 80° 35° C C Porque al tener dos de sus ángulos correspondientes congruentes, cumplen con el criterio AA Segundo criterio: LLL Si dos triángulos tienen los tres lados homólogos proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. A´ A c b C b´ c´ B a C’ Es decir: a c b a´ = b´ = c´ = r Entonces: D ABC ~ D A´B´C´ a´ B´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes P Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales B 1,5 C 3,5 1,5 = 3 5 10 3,5 = 7 Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 7 5 A 10 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 y Q 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 3 R Por lo tanto : Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL Tercer criterio: LAL Si dos triángulos tienen dos lados homólogos proporcionales y los ángulos comprendido entre ellos congruentes, entonces los triángulos son semejantes. C C’ a a´ B ´ c Es decir, si: a = a´ B´ c c’ ´ Entonces: y = ´ D ABC ~ D A´B´C´ A´ c´ Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales 3 = 4 9 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales D A 9 E 3 B C 4 12 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos Por criterio LAL, se afirma que: F Δ ABC ~ Δ DEF Algunas aplicaciones de estos conceptos Ejercicio 1 Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. ΔABC: 8 cm, 10 cm, 12 cm Δ PQR: 52 cm, 65 cm, 78 cm Representemos el ejercicio 65 8 12 78 10 Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 52 65 • 12 = 10 •78 = 780 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 52 = 65 = 78 = 8 10 12 6,5 Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL Ejercicio 2 Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Representamos la situación 3 x= 9 5 12 = y 4 z=15 Luego, debe ocurrir: x y z 3 = = = =3 5 3 4 1 Escala de ampliación Entonces: x = 3 La razón de semejanza es 3 3 y =3 4 z =3 5 x=3·3 =9 y = 4 · 3 =12 z = 5 · 3 = 15 Ejercicio 3 Si los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente, y los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros, entonces ¿son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. 50 20 30 12 16 Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 3016 = 480 y 4012 = 480 además 4020 = 800 y 1650 = 800 40 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 30 = 40 = 50 12 16 20 Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Ejercicio 4 Prueba si los triángulos dados son semejantes Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 6 12 = Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 6 8 = 12 4 =48 4 8 Comprobemos que las medidas ángulos son congruentes Ambos ángulos miden 60° pero no se encuentra entre los lados homólogos proporcionales Entonces NO probar nada! Ejercicio 5 Prueba si los triángulos dados son semejantes Comprobemos que las medidas ángulos son congruentes 180º − 100º − 60º = 20º Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL Aplicación 1 Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del problema ubicando los datos en él) p o s t e 3m Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen ambos un ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo son congruentes. x 2m sombra 4,5m El triángulo definido por el poste y su sombra con el triángulo formado por el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto: Formamos la proporción 3 x = 2 4,5 de donde x= 3 • 4,5 = 6,75m 2 Aplicación 2 Durante la noche, Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don José, de pie junto al poste, es de 4 m. Si Miguel estima la altura de don José en 1,7 m, ¿cuánto medirá el poste? ¿ ΔABC ~ ΔDBE? CAB y EDB son ángulos rectos. CBA es el mismo criterio AA Formamos la proporción EBD. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ ΔDEC B C A E Demostración Afirmaciones ABC CDE BAC CDE D Razones Por ser ángulos alternos internos entre // Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes UNIDAD: Geometría Tema: Semejanza “Criterios de semejanza de triángulos” Macarena Fica Estudiante en práctica de Pedagogía en Matemática
