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ELECTRICIDAD y MAGNETISMO
PROBLEMAS RESUELTOS III
Antonio J. Barbero
Dpto. Física Aplicada UCLM
C.A. UNED Albacete
Cálculo de componentes de un campo magnético
La componentes Bj y BZ de un campo magnético, expresadas en coordenadas cilíndricas, están dadas a
continuación. Calcular la componente Br de este campo.
A sin j
 A  constante  BZ  0
Bj 
r3


 1 
uj
uz
1 Bj BZ
r · Br  
B 

0
r r
r j
z

u
r

B
1 
1 Bj

Puesto que BZ = 0 tiene que cumplirse
r · Br   
r · Br    j

r r
r j
r
j
B
A sin j 
A cos j
Constante arbitraria

Calculamos  j   3
r
j
r3
j
 dr


 1

r · Br   A cos j  3  C    A cos j  2  C 
Integramos
r · Br    A cos3 j
j
r
 2r

 r

La divergencia del campo B es
cero. Expresada en cilíndricas

 1 C
Br  A cos j  3  
r
 2r
2
Fuerza electromotriz de movimiento
Una varilla conductora de resistencia 10  se desliza sin rozamiento a 2 m/s
sobre dos raíles metálicos de resistencia despreciable que forman un ángulo de
60º entre si (véase figura). El conjunto se encuentra inmerso en un campo
magnético uniforme de 0.5 T orientado perpendicularmente al plano de los
raíles y con sentido entrante.
Calcular la intensidad de corriente que circula por este circuito cuando la
distancia entre resistencia y vértice es 5 cm. Indicar el sentido de la densidad
de corriente en la varilla móvil.
El área barrida por la varilla
móvil es un trapecio isósceles.
m
h
n
y
mn
h
2
t  dt
Variación flujo:
dy
Área 

S

B

2
B  0.5 T
v  2 m/s
  60º
 2



2

S   y  y0  y tan  y0 tan   tan  y  y0  y  y0   tan  y  y0 
2
2
2
2

 

  B · S  B · tan y 2  y02
2

fem   B · tan
t t
t 0

2
R  10 

dy
v
dt
dy
dt
Faraday: fem  
fem  2 B · tan
I

2

S
d
 d 2
  B · tan
y  y02
dt
2 dt
·y · v
fem
2B


· tan ·y · v
R
R
2
I  5.77·10 3 A
y0
Elegimos el sentido entrante para el vector
superficie: eso implica que el ángulo entre S y B
es 0º, y que el sentido considerado positivo para
recorrer la espira es el sentido horario.
2
·2 y


B  0.5 T
R  10 
  60º
v  2 m/s
y  0.05 m
El signo negativo aquí indica que la densidad de
corriente generada por el movimiento de la
varilla es de sentido opuesto al considerado
positivo para el recorrido del contorno de la
espira; por tanto el sentido de la corriente es
antihorario. En la varilla móvil, de derecha a
izquierda.
3

Z
Cálculo de flujo magnético
Calcular el flujo magnético a través de una espira cuadrada de 20 cm de
lado colocada paralelamente al plano XZ del modo indicado en la figura.
La espira se encuentra cerca de un conductor rectilíneo indefinido que
transporta una corriente de 5 A a lo largo del eje Z.
20 cm
5A
20 cm
10 cm
X
Nuestro punto de partida será el resultado para el campo
  I 
magnético alrededor de un hilo conductor indefinido que
B  0 uj
transporta la corriente I. De acuerdo con el teorema de
2 r
Ampère, ese campo magnético a la distancia r es igual a:
El campo magnético alrededor del hilo conductor tiene simetría
cilíndrica, por eso dividiremos la espira en elementos de área formados
por tiras verticales, cada una de longitud a (= 20 cm) y ancho dx, y
buscaremos el modo de calcular el flujo magnético d a través de cada
una de esas tiras. 
uj

B
Vista desde arriba

 uY

dS
r  d 2  x2
Z
dx

r
j  90  
d
X
   I 

d  B · dS  0 uj · a dx uY 
2 r
Z
Elemento
de área
I

uj

dS

ur

B
a
r
dx
x
d
X
a
Y
I 5A
a  20 cm d  10 cm


uj ·  uY    cos90      sin 
90  

j
Elemento
de área
Y
x
d  
0 I
a sin   dx
2 r
sin  
x
x

r
d 2  x2
Y
d 
0 I
2
d 2  x2
a
x
d 2  x2
dx 
0 I
x
a 2
dx
2 d  x 2
4
Z
Cálculo de flujo magnético
Calcular el flujo magnético a través de una espira cuadrada de 20 cm de
lado colocada paralelamente al plano XZ del modo indicado en la figura.
La espira se encuentra cerca de un conductor rectilíneo indefinido que
transporta una corriente de 5 A a lo largo del eje Z.
20 cm
5A
20 cm
10 cm
X
Y
Z
Flujo elemental a través de la tira de área a dx
I
x
d  0 a 2
dx
2 d  x 2
0 I
a
2

x a

I
x
I 1
dx  0 a ln d 2  x 2
2
2
d x
2 2

 uY

B

dS
r  d 2  x2
Z
Elemento
de área
 xx0a

uj
dx

r
j  90  
 a2 
I
  0 a ln 1  2 
4
 d 

dS

ur
a
a
r
d
X

B
dx
x
Y
I 5A
a  20 cm d  10 cm
Resultado numérico
 0.22 
 a2 
T
0 I
7 H
5 A· 0.2 m · ln 1  2   1.61·107 2

a ln 1  2   10
m
m
4
 0.1 
 d 
90  

j

x 0

uj
Vista desde arriba
Elemento
de área
x
Y
d
X
5
Cálculo de coeficiente de inducción
Calcular el coeficiente de inducción mutua entre una espira cuadrada de
20 cm de lado colocada paralelamente al plano XZ del modo indicado en
la figura y un conductor rectilíneo muy largo dirigido en la dirección del
eje Z.
Z
20 cm
20 cm
X
10 cm
Y
Consideremos el resultado del problema anterior para el flujo a través de la
espira cuando el conductor dirigido según el eje Z transporta la corriente I

 a 
0 I
a ln 1  2 
4
 d 
2
El coeficiente de inducción mutua M es el cociente entre flujo y corriente:
 a2 
 0
 0.22 
7 H
M 
a ln 1  2   10
0.2 m · ln 1  2   3.22 ·108 H
m
I 4
 0.1 
 d 
6
Corrientes de imanación
Una esfera de 20 cm de diámetro tiene un hueco esférico centrado de 10 cm de diámetro. El material de la
esfera está uniformemente imanado en la dirección Z, siendo M = 2·104 A/m. Calcular las densidades de
corriente de imanación.
Corte del cuadrante superior
Corrientes de imanación:


Volumétrica J m    M

 
Superficial K m  M  u N
(1)
Imanación uniforme
derecho de la esfera hueca

 M  0

Jm  0
Z
Tendremos dos corrientes superficiales,
una exterior (1) y otra interior (2).





u N  ur  sin  cos j u X  sin  sin j uY  cos j uZ

r1



uj  sin j  u X   cos j uY
1
2


K1  M sin  uj
r1  0.10 m r2  0.05 m





K1  M sin  cos j uY  sin  sin j  u X   M sin  sin j  u X   sin  cos j uY 
(2)
M  2·104 A/m





u N  ur  sin  cos j u X  sin  sin j uY  cos j uZ 
Z







K 2  M   ur   M uZ   sin  cos j uX  sin  sin j uY  cos j uZ 


 
 

K 2   M sin  cos j u Z  u X  sin  sin j u Z  uY 
K 2  M r2 sin  uj





K 2   M sin  cos j uY  sin  sin j  u X   M sin  sin j  u X   sin  cos j uY 
Solución numérica:
es función del
ángulo azimutal 


K1  2 ·104 sin  uj A·m 1


K 2  2 ·104 sin  uj A·m 1

M

 ur

r2

 




K1  M  u r  M uZ  sin  cos j u X  sin  sin j uY  cos j uZ 

 
 
K1  M sin  cos j u Z  u X  sin  sin j uZ  uY 

ur

K1


K1

Corriente superficial exterior
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