Download Elementos de probabilidad.

Bioestadística
Elementos de Probabilidad para la
Inferencia Estadística
Teoría de Conjuntos.



Se entiende por conjunto toda colección de
elementos definidos y diferentes (o mutuamente
exclusivos).
Un conjunto se clasifica como finito o infinito
según el número de sus elementos.
Los conjuntos se identifican con una letra
mayúscula, los elementos con letras minúsculas o
números agrupados entre llaves. Ejemplo: A = {1,
2, 3, 4, 5}; B = {a, e, i, o, u}.
Teoría de Conjuntos.



Se entiende por conjunto toda colección de
elementos definidos y diferentes (o mutuamente
exclusivos).
Un conjunto se clasifica como finito o infinito
según el número de sus elementos.
Los conjuntos se identifican con una letra
mayúscula, los elementos con letras minúsculas o
números agrupados entre llaves. Ejemplo: A = {1,
2, 3, 4, 5}; B = {a, e, i, o, u}.
Teoría de Conjuntos.



Se entiende por conjunto toda colección de
elementos definidos y diferentes (o mutuamente
exclusivos).
Un conjunto se clasifica como finito o infinito
según el número de sus elementos.
Los conjuntos se identifican con una letra
mayúscula, los elementos con letras minúsculas
o números agrupados entre llaves. Ejemplo: A =
{1, 2, 3, 4, 5}; B = {a, e, i, o, u}.
Teoría de Conjuntos.


Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos
elementos, sin que importe el orden, es decir: {1,
2} = {2, 1}.
A partir de cualquier conjunto pueden definirse
uno o más subconjuntos. Se entiende que un
subconjunto nunca tiene más elementos que el
conjunto que lo contiene, y que un conjunto
puede ser subconjunto de si mismo.
Teoría de Conjuntos.


Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos
elementos, sin que importe el orden, es decir: {1,
2} = {2, 1}.
A partir de cualquier conjunto pueden definirse
uno o más subconjuntos. Se entiende que un
subconjunto nunca tiene más elementos que el
conjunto que lo contiene, y que un conjunto
puede ser subconjunto de si mismo.
Teoría de Conjuntos.


Si un conjunto está contenido dentro de otro,
todos los elementos del conjunto principal que
no son elementos del subconjunto forman el
conjunto complementario. Para representar el
conjunto complementario utilizamos una tilde
sobre la letra que designa el subconjunto. Así, M
= {a, e, i, o, u}, L = {a, e} y L = {i, o, u).
En todo conjunto se reconoce la existencia de un
subconjunto sin elemento alguno, o conjunto
vacío.
Teoría de Conjuntos.


Si un conjunto está contenido dentro de otro,
todos los elementos del conjunto principal que no
son elementos del subconjunto forman el
conjunto complementario. Para representar el
conjunto complementario utilizamos una tilde
sobre la letra que designa el subconjunto. Así, M
= {a, e, i, o, u}, L = {a, e} y L = {i, o, u).
En todo conjunto se reconoce la existencia de un
subconjunto sin elemento alguno, o conjunto
vacío.
Teoría de Conjuntos.



Cuando dos conjuntos no son iguales pero
comparten algunos elementos se puede formar
con ello un conjunto con los elementos
comunes.
A este conjunto se le designa como intersección y
se representa mediante el símbolo . Así, si O =
{a, i} y U = {e, i}, entonces O  U = {i}.
Si dos conjuntos no tienen elementos en común,
su intersección es el conjunto vacío.
Teoría de Conjuntos.



Cuando dos conjuntos no son iguales pero
comparten algunos elementos se puede formar
con ello un conjunto con los elementos comunes.
A este conjunto se le designa como intersección
y se representa mediante el símbolo . Así, si O
= {a, i} y U = {e, i}, entonces O  U = {i}.
Si dos conjuntos no tienen elementos en común,
su intersección es el conjunto vacío.
Teoría de Conjuntos.



Cuando dos conjuntos no son iguales pero
comparten algunos elementos se puede formar
con ello un conjunto con los elementos comunes.
A este conjunto se le designa como intersección y
se representa mediante el símbolo . Así, si O =
{a, i} y U = {e, i}, entonces O  U = {i}.
Si dos conjuntos no tienen elementos en común,
su intersección es el conjunto vacío.
Intersección de dos conjuntos.
Teoría de Conjuntos.



La unión de dos conjuntos es otro conjunto
formado por todos los elementos de los dos
conjuntos.
Los elementos comunes a los dos conjuntos solo
se toman en cuenta una vez.
Para indicar la unión de dos conjuntos utilizamos
el símbolo . Así, la unión de O = {a, i} y U = {e, i)
es el conjunto O  U = {a, e, i}.
Teoría de Conjuntos.



La unión de dos conjuntos es otro conjunto
formado por todos los elementos de los dos
conjuntos.
Los elementos comunes a los dos conjuntos solo
se toman en cuenta una vez.
Para indicar la unión de dos conjuntos utilizamos
el símbolo . Así, la unión de O = {a, i} y U = {e, i)
es el conjunto O  U = {a, e, i}.
Teoría de Conjuntos.



La unión de dos conjuntos es otro conjunto
formado por todos los elementos de los dos
conjuntos.
Los elementos comunes a los dos conjuntos solo
se toman en cuenta una vez.
Para indicar la unión de dos conjuntos utilizamos
el símbolo . Así, la unión de O = {a, i} y U = {e, i)
es el conjunto O  U = {a, e, i}.
Unión de dos conjuntos.
Conjuntos: representación tabular.
Conjunto Universal (M)
Conjunto
Universal (M)
Subconjunto P
Subconjunto P
Subconjunto R
a
b
Subconjunto R
c
d
Conjuntos: representación tabular.
Conjunto Universal (M)
Conjunto
Universal (M)
Subconjunto P
Subconjunto P
Subconjunto R
a
b
Subconjunto R
c
d
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos
No enfermos
Expuestos
50
300
No expuestos
25
500
Conjuntos: representación tabular.
Intersección de dos conjuntos
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos
No enfermos
Expuestos
50
300
No expuestos
25
500
Unión de dos conjuntos
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos
No enfermos
Expuestos
50
300
No expuestos
25
500
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N=?
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 50+300+25+500 = 875
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(A) = ?
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(A) = 25+500 = 525
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(A) = 525
N(B) = ?
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(A) = 525
N(B) =50+25 = 75
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(A) = 525
N(B) = 75
N(AB) = ?
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(A) = 525
N(B) = 75
N(AB) = 50
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(AB) = 50
N(A) = 525
N(AB) = ?
N(B) = 75
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(AB) = 50
N(A) = 525
N(AB) = 300
N(B) = 75
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(AB) = 50
N(A) = 575
N(AB) = 300
N(B) = 75
N(AB) = ?
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(AB) = 50
N(A) = 575
N(AB) = 300
N(B) = 75
N(AB) = 50+300+25 = 375
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(AB) = 50
N(A) = 575
N(AB) = 300
N(B) = 75
N(AB) = 375
N(AB) = ?
Conjuntos: representación tabular.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
N = 875
N(AB) = 50
N(A) = 575
N(AB) = 300
N(B) = 75
N(AB) = 375
N(AB) = 50+300+500 = 850
Teoría de conjuntos y probabilidad



En el campo de las probabilidades se designa
como experimento a todo proceso de
observación.
Asociado a todo experimento existen resultados
posibles que se entienden como elementos de un
conjunto.
Este conjunto, que agrupa todos los resultados
diferentes posibles, recibe el nombre de espacio
de eventos y se simboliza con la letra S. Ejemplo:
el espacio de eventos de un dado es S = {1, 2, 3, 4,
5, 6}
Teoría de conjuntos y probabilidad



En el campo de las probabilidades se designa
como experimento a todo proceso de
observación.
Asociado a todo experimento existen resultados
posibles que se entienden como elementos de
un conjunto.
Este conjunto, que agrupa todos los resultados
diferentes posibles, recibe el nombre de espacio
de eventos y se simboliza con la letra S. Ejemplo:
el espacio de eventos de un dado es S = {1, 2, 3, 4,
5, 6}
Teoría de conjuntos y probabilidad



En el campo de las probabilidades se designa
como experimento a todo proceso de
observación.
Asociado a todo experimento existen resultados
posibles que se entienden como elementos de un
conjunto.
Este conjunto, que agrupa todos los resultados
diferentes posibles, recibe el nombre de espacio
de eventos y se simboliza con la letra S. Ejemplo:
el espacio de eventos de un dado es S = {1, 2, 3,
4, 5, 6}
Probabilidad de un evento

Mediante la probabilidad de un evento
expresamos el grado de confianza que tal evento
ocurra al observar un experimento, y se
representa como un número que va del 0 al 1,
donde el 1 indica que un evento ocurrirá con toda
seguridad, mientras el 0 corresponde a un evento
que con toda seguridad NO ocurrirá.
– Probabilidad clásica o a priori.
– Probabilidad según la frecuencia relativa de
ocurrencia o a posteriori.
Probabilidad a priori


Si antes de realizar un experimento se conocen
todos los elementos de un espacio de eventos y
todos tienen la misma oportunidad de ocurrir, la
probabilidad de observar un evento simple en
particular P(E) es igual a 1/N, donde N es el total
de elementos del espacio de eventos.
El dado tiene 6 caras, si todas la caras tienen la
misma probabilidad de ser seleccionada, la
probabilidad de seleccionar la cara 1 es igual a
1/6 = 0.167
Probabilidad a priori


Si antes de realizar un experimento se conocen
todos los elementos de un espacio de eventos y
todos tienen la misma oportunidad de ocurrir, la
probabilidad de observar un evento simple en
particular P(E) es igual a 1/N, donde N es el total
de elementos del espacio de eventos.
El dado tiene 6 caras, si todas la caras tienen la
misma probabilidad de ser seleccionada, la
probabilidad de seleccionar la cara 1 es igual a
1/6 = 0.167
Probabilidad a posteriori



Para calcular una probabilidad podemos recurrir
a estimar la frecuencia relativa de la ocurrencia
de un evento una vez que el experimento ha sido
realizado.
Para ello, dividimos el número de veces que se
observó el evento de interés, a, entre el total de
veces que el experimento se realizó, N.
A medida que N se aproxima a infinito, el
procedimiento a posteriori brinda el mismo
resultado que el a priori.
Probabilidad a posteriori



Para calcular una probabilidad podemos recurrir a
estimar la frecuencia relativa de la ocurrencia de
un evento una vez que el experimento ha sido
realizado.
Para ello, dividimos el número de veces que se
observó el evento de interés, a, entre el total de
veces que el experimento se realizó, N.
A medida que N se aproxima a infinito, el
procedimiento a posteriori brinda el mismo
resultado que el a priori.
Probabilidad a posteriori



Para calcular una probabilidad podemos recurrir a
estimar la frecuencia relativa de la ocurrencia de
un evento una vez que el experimento ha sido
realizado.
Para ello, dividimos el número de veces que se
observó el evento de interés, a, entre el total de
veces que el experimento se realizó, N.
A medida que N se aproxima a infinito, el
procedimiento a posteriori brinda el mismo
resultado que el a priori.
1.00
Probabilidad de que resulte "águila"
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191
Número de lanzamientos acumulados de la moneda
Probabilidad subjetiva

Además de las probabilidades a priori y a
posteriori, se reconoce una tercera manea de
calcular probabilidades: la probabilidad
subjetiva. Su estimación no se basa en
frecuencias relativas sino en apreciaciones y
conocimientos previos que tiene quienes
realizan la estimación.
Cálculo de probabilidades.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(A) = ?
Cálculo de probabilidades.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(A) = 350/875 = 0.40
Cálculo de probabilidades.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(A) = 350/875 = 0.40
P(B) = ?
Cálculo de probabilidades.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(A) = 350/875 = 0.40
P(B) = 75/875 = 0.09
Cálculo de probabilidades.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(A) = 350/875 = 0.40
P(B) = 75/875 = 0.09
P(AB) = ?
Cálculo de probabilidades.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(A) = 350/875 = 0.40
P(B) = 75/875 = 0.09
P(AB) = 50/875 = 0.06
Cálculo de probabilidades.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(A) = 350/875 = 0.40
P(B) = 75/875 = 0.09
P(AB) = 50/875 = 0.06
P(AB) = ?
Cálculo de probabilidades.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(A) = 350/875 = 0.40
P(B) = 75/875 = 0.09
P(AB) = 50/875 = 0.06
P(AB) = 50+300+25 = 375/875 = 0.43
Regla de la suma de probabilidades



Si, la probabilidad de que ocurra un evento se
expresa con un número que va del 0 al 1; y,
La probabilidad de un evento simple, cuando
todos los eventos simples de un conjunto tienen
la misma oportunidad de ocurrir, es igual a 1/N
Entonces, es claro que la suma de las
probabilidades de todos los eventos simples que
componen un conjunto es igual a 1.
Suma de probabilidades: ejemplo




Si un dado tiene 6 caras, y
Todas las caras tienen la misma probabilidad de
ser seleccionadas.
Entonces,
– Probabilidad (P) de seleccionar la cara 1 = 1/6.
– Probabilidad (P) de seleccionar la cara 2 = 1/6.
– P de seleccionar las caras 1 o 2 = 1/6 + 1/6 =
2/6.
Así que, al sumar las 6 probabilidad el total es
igual a 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 = 6/6 = 1
Probabilidad condicional

Es la probabilidad que se calcula utilizando
información adicional a la que nos proporciona la
sola descripción de un experimento. Se denota
con P(A|B) y se calcula mediante
N (A  B) P(A  B)
P(A | B) 

N (B)
P(B)
Probabilidad condicional.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
P(AB) = 50/875 = 0.06
Probabilidad condicional.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
P(AB) = 50/875 = 0.057
P(B|A) = 50/350 = 0.143
P(B|A) = P(AB)/P(A)
= (50/875)/(350/875) = 0.057/0.400 = 0.143
Probabilidad condicional.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(B|A) = ?
Probabilidad condicional.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(B|A) = 25/525 = 0.048
Probabilidad condicional.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(B|A) = 25/525 = 0.048
P(A|B) = ?
Probabilidad condicional.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
Pregunta: cuál es el valor de
P(B|A) = 25/525 = 0.048
P(A|B) = 25/75 = 0.333
Independencia de eventos

Dos eventos A y B son independientes si, y sólo si,
se cumple que
P(A  B) = P(A)  P(B)

Es decir, si la probabilidad de la intersección de
dos eventos es igual al producto de las
probabilidades de cada uno de ellos, entonces se
dice que ambos eventos son independientes.
Independencia de eventos.
Sujetos en una cohorte
Sujetos en una
cohorte
Enfermos (B)
No enfermos
Expuestos (A)
50
300
No expuestos
25
500
P(A) = 350/875 = 0.400
P(B) = 75/875 = 0.086
P(AB) = 50/875 = 0.057
P(A) * P(B) = 0.400 * 0.086 = 0.034
P(A) * P(B) <> P(AB): los eventos no son independientes.
Independencia de eventos.



Cuando dos eventos son independientes, la
multiplicación de sus probabilidades me permite
calcular la probabilidad de que se presenten
ambos eventos.
Ejemplo: la probabilidad de que nazca un varón es
de 0.51. ¿Cuál es la probabilidad de que en los
próximos dos partos no gemelares sean dos
varones?
Respuesta: 0.51*0.51 = 0.26
Independencia de eventos.



Cuando dos eventos son independientes, la
multiplicación de sus probabilidades me permite
calcular la probabilidad de que se presenten
ambos eventos.
Ejemplo: la probabilidad de que nazca un varón
es de 0.51. ¿Cuál es la probabilidad de que en los
próximos dos partos no gemelares sean dos
varones?
Respuesta: 0.51*0.51 = 0.26
Independencia de eventos.



Cuando dos eventos son independientes, la
multiplicación de sus probabilidades me permite
calcular la probabilidad de que se presenten
ambos eventos.
Ejemplo: la probabilidad de que nazca un varón es
de 0.51. ¿Cuál es la probabilidad de que en los
próximos dos partos no gemelares sean dos
varones?
Respuesta: 0.51*0.51 = 0.26