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Generadores de Radiación Ionizante
Formulas & Ejercicios
Dr. Willy H. Gerber
Instituto de Fisica
Universidad Austral
Valdivia, Chile
Objetivos: Dominar los modelos asociados a la generación de
radiación ionizante mediante la resolución de
problemas.
1
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1.2 Modelo del Filamento – Modelo Mecánico Cuántico
Función de onda
[-]
n = 1, 2, 3,… numero de estado
Vector de onda
[m]
Largo de onda
[m]
Impulso
[kg m/s]
z/L
Energía
[J]
L
z
m
h,
Largo del conductor
Posición dentro del conductor
Masa del electrón [kg]
(9.11x10-31 kg)
Constante de Planck
(6.63x10-34 Js, 1.055x10-34 Js)
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1.2 Modelo del Filamento – Distribución de electrones según Fermi
Energía del
Estado
[J]
Numero de
Estado con
Energía < E
[-]
Numero de
Estados con
Energía entre
E y E+dE
1
EF=100kT
F(E)
Probabilidad
de ocupación
de estados
Energía de
Fermi [J o eV]
N: Numero de electrones / m3
EF=kT
E =2kT
0 E =10kTF
F
0
E/EF
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5
1.2 Modelo del Filamento – Corriente de electrones libres
Impulso mínimo
para escapar
conductor
Distribución de
electrones
Densidad de
corriente
(Ecuación de Richardson-Dushman)
Constante
ϕ
k
e
T
Función de trabajo [J]
Constante de Boltzmann [J/K] (1.38x10-23J/K)
Carga elemental [C} (1.6x10-19 C)
Temperatura absoluta
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1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Child-Langmuir
Flujo de electrones
[1/m2]
Potencial entre
Placas [V]
***
cátodo
ánodo
Velocidad de los
Electrones [m/s]
Distribución de
Electrones [-]
Energía del
Electrón [J o eV]
ε0 Constante de campo
8.85x10-12 C2/N m2
*** Para j inferior al j calculado con la ecuación de Richardson-Dushman
(efecto saturación)
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Modelo de Filamento
Modelamiento del sistema filamento-placas
(p: placa, f: filamento, a: ánodo)
Caso Tungsteno:
S
A
L
σ
ε
Superficie del filamento [m2]
Sección del filamento [m2]
Largo del Filamento [m]
Constante de Stefan Boltzmann
[5.6704x10-8 J/sm2K4]
Grado de emisión [-]
6
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1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Betatrón
Potencial inducido
en el anillo
Campo eléctrico
en el anillo
Impulso del
Electrón en el anillo
Fuerza de Lorentz para
retener al electrón
en el anillo
Impulso por efecto
de la fuerza de Lorentz
Relación de Wideroe
Energía del electrón
Campo magnético operación [T]
Campo magnético retención [T]
Radio del anillo [m]
Potencial inducido [V]
Campo eléctrico [N/C=V/m]
Impulso [kg m/s]
Velocidad [m/s]
Masa del electrón [kg]
Carga del electrón [C]
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1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Ciclotrón
Fuerza para
Retener el electrón
Velocidad angular
Frecuencia angular
de operación
Periodo de campo
acelerador
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1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón
Energía inicial
Energía tras buncher
Señal en buncher
Potencial en buncher
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1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón
Aceleración en buncher
Factor de propagación del haz
Factor de acoplamiento
Caso perfil cuadrado
Angulo de transito
Variación de energía
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Guía de Ondas
Periodo de la oscilación del generador RF:
Distancia entre disco:
En que la fase depende del diseño, o sea de la solución formal de la ecuación de
las cavidad.
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11
Guía de Ondas
Ecuaciones claves para el calculo de la estructura de la guía de onda para el
caso de alta velocidad:
Largo de cavidad
Factor de propagación
Angulo de transición
La energía ganada
tras n cavidades
d1 d 2 d3
d4
dn
dn+1
1 2
4
n
n+1
3
Haz
12
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1.4 Guía de Ondas – Ondas fuera de una cavidad
Ecuación de onda
Solución onda
plana
Relación de
dispersión
Velocidad de fase
Velocidad de grupo
Perpendicularidad
Vector de onda y
amplitud
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1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades infinita
Ecuación de ondas
Cavidad cilíndrica
Condiciones de
borde
Solución
Relación de
dispersión
Frecuencia de cut-off
Velocidad de fase
Velocidad de grupo
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1.4 Guía de Ondas – Funciones de Bessel del primer tipo
Raíces Jn
s
n=0
n=1
n=2
n=3
1
2.405
3.832
5.135
6.379
2
5.520
7.016
8.147
9.760
3
8.654
10.173
11.620
13.017
4
11.792
13.323
14.796
16.224
5
14.931
16.470
17.960
19.410
6
18.071
19.616
21.117
22.583
7
21.212
22.760
24.270
25.749
8
24.353
25.903
27.421
28.909
9
27.494
29.047
30.571
32.050
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1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades periódicas
Ansatz
con
Condiciones
de borde
Soluciones
Modo TM010
Densidad de energía
Energía
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Cabezal del Linac
Caso distintas velocidades (energías)
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Perfil del haz
Corrección de la forma del perfil del haz: modelo de la fuente puntual
Rayos
Gamma
Compensador
Intensidad
Colimador
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Perfil del haz
Corrección de la forma del perfil del haz
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Ejercicios 1
Mecánica Cuántica
1. Cuales son los largos de onda de los primer tres estados en un filamento
representado por un conductor “unidimensional” de largo 5 mm? (5.00x10-3m,
2.50x10-3m, 1.67x10-3m)
2. Cuales son los impulsos para los estados descritos en 1? (1.33x10-31 kg m/s,2.65x10-31
kg m/s, 3.98x10-31 kg m/s)
3. Cuales las energías de los estados descritos en 1? Exprese el resultado en eV
(6.07x10-14 eV, 2.43x10-13 eV, 5.46x10-13 eV)
Modelo del Filamento
4. Si el conductor se define como un volumen de 5 mm de largo y 0.1 mm de radio de
Tungsteno (densidad 19.25 g/cm3, peso molar 183.84 g/mol) y cada átomo contribuye
con un electrón; cuantos electrones de conducción contiene? (9.902x1018)
5. Cual es la energía de Fermi del filamento antes descrito? Exprese el resultado en eV
(5.83eV)
6. Si se toma como referencia que las típicas energías de partículas son del orden de kT
(donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura), a que temperatura
correspondería la función de trabajo del Tungsteno que es 4.52 eV? Que significa que
la temperatura que puede alcanzar del filamento antes de fundirse sea 3695 K?
(5.24x10+4 K; muy pocos electrones contribuyen al flujo)
20
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Ejercicios 2
7. Si la función de trabajo del Tungsteno es 4.52 eV, cual es la velocidad
mínima que tiene que tener el electrón para abandonar la superficie del filamento?
Considere la aproximación no relativista. (1.90x10+6m/s)
8. Cual es el error (diferencia entre masa relativista y masa no relativista)
para la velocidad calculada en el ejercicio anterior? (2.01x10-5)
9. Si se asume que el gamma es 0.5, cual seria la máxima densidad de corriente para las
temperaturas 20C, 100C, 1000C, 2000C y 3000C? (3.63x10-67A/m2, 2.04x10-50A/m2,
1.67x10-6A/m2, 3.48x10+2A/m2, 7.91x10+5A/m2)
Modelo simple de placas
10. Depende la velocidad final de los electrones de la distancia entre las placas? Porque?
(No, la energía es igual a la fuerza por la distancia recorrido, pero la fuerza es
proporcional al inverso de la distancia)
11. Cual es la velocidad que tienen los electrones al alcanzar el ánodo si el potencial
aplicado es 20 kV, 40 kV, 80 kV, 120 kV y 150 kV (8.38x10+7 m/s, 1.19x10+8 m/s,
1.68x10+8 m/s, 2.05x10+8 m/s, 2.30x10+8 m/s)
12. Cual es la corriente que se puede generar entre filamento y ánodo si ambos están a 2
cm, el haz tiene un radio de 1 mm y el potencial aplicado es 1 kV, 5 kV, 10 kV, 20 kV y
50 kV (1.84x10+2 A/m2, 2.06x10+3 A/m2, 5.83x10+3 A/m2, 1.65x10+4 A/m2, 6.52x10+4
A/m2))
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Ejercicios 3
13. Supongamos que un filamento de Tungsteno opera a 3300 K, cual seria la
resistencia de este si su largo es de 5 cm y el radio es 0.02 mm. (41.16 Ω)
14. Que corriente debe de existir si el filamento del ejercicio anterior se encuentra en
equilibrio radiactivo y la temperatura ambiente es de 20C? Asuma el grado de
emisión como 1. (1.013 A)
15. Que potencial tiene que ser aplicado al filamento del ejercicio anterior para lograr la
corriente calculada? (41.7 V)
Betatrón/Ciclotrón
16. Uno de los primeros betatrón generaba electrones con energías de 2 MeV y tenían
un radio del orden de 50 cm. De que orden tenían que ser los campos magnéticos?
(0.0267 T)
17. Cual es la masa relativista del electrón con la energía indicada en el ejercicio
anterior? (6.67x10-3 kg)
18. Cuanto le falta a la velocidad v del electrón para alcanzar la velocidad de la luz c?
Indique el resultado como la fracción (c-v)/c. (6.83x10-29)
19. Si con los parámetros del betatrón se construye un ciclotrón, con que velocidad
angular tienen girar los electrones? (4.68 GHz)
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Ejercicios 4
Klistrón
20. Si a la entrada del Klistrón se aplica un potencial de 80 kV, con que velocidad entra el
electrón al buncher? (8.38x10+7 m/s)
21. Si la señal que se aplica en el buncher opera con una frecuencia de 2.8 GHz. Cual es
el largo del bunch que se genera? (18.8 cm)
22. Considerando los datos del ejercicio anterior, cual es el factor de propagación del
haz? (33.4 1/m)
23. De que tamaño es el factor de acoplamiento si en el caso del ejercicio anterior se
supone que el campo es constante a lo largo de un buncher de 1 cm? (98.2 1/m)
24. Si el potencial aplicado al buncher es de 500 V, cual es la energía que se le “agrega”
o “resta” a los electrones según el ciclo de la señal en el ejercicio anterior? Indique
el resultado en keV. (49.08 keV)
Guía de Ondas
25. Si deseamos acelerar electrones hasta una energía de 6MeV, que velocidad
debemos lograr? Indique el resultado en fracción de la velocidad de la luz (0.966)
26. Si la guía es operada con una radio frecuencia de 2.8 GHz, de que largo debe ser la
ultima cavidad? (53.3 mm)
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Ejercicios 4
27. De que tamaño debe ser la primera cavidad si entra con la energía máxima
que resulta de sumar la energía de entrada al Klistrón (ejercicio 20) y aquella
que este le suma (ejercicio 24)? (53.3 mm – o sea en este caso las cavidades casi no
varían desde la primera a la ultima porque la velocidad inicial es cercana a la de la
luz)
28. Cual es el largo máximo de las cavidades de la guía de onda descrita por los
ejercicios anteriores? (53.7 mm)
29. Cuanta energía suministra cada cavidad si esta tiene un largo de 53.3 mm, la radio
frecuencia es de 2.8 GHz y el voltaje máximo es de 150kV? Indique el resultado en
MeV. (95.98 keV)
30. Cuantas cavidades tenemos que tener en la guía para lograr electrones de 6 MeV si
al ingresar tienen una energía de 50keV? (62)
31. Para una guía de ondas de 1 cm de radio y largo infinito, cual es la primera
frecuencia angular de corte? (7.22x10+10 1/s)
32. Cual es la velocidad de grupo de una onda en una cavidad infinita para el caso de
vector de onda cero? (cgrupo=c)
33. Porque la guía de onda de largo infinito no logra acelerar electrones? (Porque la
velocidad de grupo de las ondas (c) se adelantan a la de los electrones (v < c) que
deben acelerar)
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Ejercicios 5
Colimador y focalizador
34. Si el electrón que sale del Linac tiene una energía de 6 MeV, que intensidad tiene
que tener el campo magnético para que lo logre deflectar en tan solo 15 cm?
(1.13x10-2 T)
35. Si un electrón tuviese una energía en un 0.1% menor a los 6 MeV, cual seria la
diferencia entre el radio de la trayectoria de este electrón con respecto del de 6
MeV? (0.658 mm)
36. Si la distancia entre la fuente virtual y el paciente es de 2 m, el colimador esta a 50
cm de la fuente virtual y este ultimo tiene un ancho de 2 cm; cual es el ancho del
haz a la altura del paciente y cual es el decrecimiento en el borde del haz respecto
del centro si no existiera un filtro corrector? (8 cm, 0.998)
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