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Tema:
2
Números enteros. Operaciones
1
Matemáticas 1.º
De los números naturales a los enteros
+20
+7
– 20
–4
+5000
+4
–7
0
– 5000
Buena temperatura: + 20 ºC
Soy rico: tengo +5000 euros
Mucho frío: – 20 ºC
Debo dinero: “tengo” -5000 euros
Los números naturales se consideran enteros positivos.
Por cada entero positivo hay un entero negativo.
Van precedidos por un signo menos (–)
Los números enteros
son los enteros positivos,
los enteros negativos
y el cero
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Números enteros. Operaciones
2
Matemáticas 1.º
Representación de los números enteros
1º. Se traza una recta.
2º. Se marca un punto y se escribe el cero.
3º. Se trazan rayas a intervalos iguales.
Negativos
–5
–4
–3
–2
Positivos
–1
4º. A la izquierda del 0 se
colocan los enteros negativos.
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
4º. A la derecha del 0 se
colocan los enteros positivos.
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Números enteros. Operaciones
3
Matemáticas 1.º
Valor absoluto y ordenación de los números enteros
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo
 7  7,
Se indica escribiéndolo entre barras. Así:
Ordenación:
Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando
en la recta numérica está a la derecha.
Más pequeños
–5
–4
7  7
–3
–2
Más grandes
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.
El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Luego  7  13 , pues  7   13
Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Así,  7  13, pues  7   13
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Números enteros. Operaciones
4
Matemáticas 1.º
Suma de números enteros de igual signo
Para sumar dos números enteros del mismo signo:
1.º Se suman sus valores absolutos.
2.º Al resultado se añade el signo que tienen.
(+2) + (+3) = +5
+3
+2
–2
–1
0
+1
(+6)+(+12) = +18
(+4)+(+21) = +25
+2
+3
+4
+5
+6
(–2) + (–3) = –5
(–4) +(–11)= –15
(–17)+(–31) = –48
–3
–6
–5
–4
–2
–3
–2
–1
0
+1
+2
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Números enteros. Operaciones
5
Matemáticas 1.º
Suma de números enteros de distinto signo
Para sumar dos números enteros de distinto signo:
1.º Se restan sus valores absolutos (Al mayor se le resta el menor).
2.º Al resultado se añade el signo del que tiene mayor valor absoluto.
(+3) + (–7) = –4
(+6)+(–12) = –6
(+14)+(–4) = +10
3 – 5 = –2
–7
+3
–5
–4
–3
–2
–5
–1
0
+1
+2
+3
+4
+3
(–5) + (+3) = –2
+5
+6
(–4) +(+11)= +7
(–17)+(+8) = –9
–9 + 12 = 3
Otros casos:
(+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5
(+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17
Observa que agrupamos positivos y negativos, y después operamos
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Números enteros. Operaciones
6
Matemáticas 1.º
Opuesto de un número entero
Dos números son opuestos si se encuentran a la misma distancia del 0.
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
Son opuestos: +3 y –3, –1 y +1, +6 y –6.
El opuesto de un número se halla cambiándole el signo.
Así: opuesto de +3 = –3. Se escribe op.(+3) = –3;
op.(–5) = +5; op (6) = –6
El opuesto de un número se indica poniendo el signo – delante de él.
Números:
Opuestos:
Resultado:
15
–8
(7 + 10)
(–15 + 4)
–(1 + 3)
–(6 – 5)
–15
–15
8
8
–(7 + 10)
–17
–(–15 + 4)
11
(1 + 3)
4
(6 – 5)
1
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Números enteros. Operaciones
7
Matemáticas 1.º
Resta de números enteros
Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo.
(+9) – (+5) = 9 – 5 = 4
(+9) – (–5) = 9 + 5 = 14
(–9) – (+5) = –9 – 5 = –14
(–9) – (–5) = –9 + 5 = –4
El signo – tiene dos significados:
1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5
2º. Como indicador de número negativo: –3
Algunos ejemplos:
(+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0).
(–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8
–7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43
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Números enteros. Operaciones
8
Matemáticas 1.º
Operar con paréntesis
La expresión: 8 + (4 – 14)
se puede calcular de dos maneras:
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2
2º. Quitando el paréntesis:
8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 2
Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él.
Análogamente: 15 – (12 – 2)
1º. Operando antes el paréntesis:
2º. Quitando el paréntesis:
se puede calcular de dos maneras:
15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5
15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5
Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro.
Otros ejemplos:
(a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis).
(c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis).
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Números enteros. Operaciones
9
Matemáticas 1.º
Resolución de problemas (I)
Problema: Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro
tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros.
¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno?
Primero:
Organizar los datos
Laura y Pedro tienen: + 37 euros
Pedro y María: + 58 euros
Laura y María deben 69 euros: “tienen” – 69
Segundo:
Tantear para comprender mejor
Si Laura tuviera 0 euros, entonces: Pedro tendría: 37 – 0 = 37; y María: 58 – 37 = 21.
No puede ser, pues Laura y María tendrían: 20 + 41 = 51. Pero tienen (deben) – 69.
Otro tanteo:
Si Pedro tuviera 50 euros, entonces: María tendría: 58 – 50 = 8; y Laura: 37 – 50 = –13.
Tampoco puede ser, pues entre Laura y María tendrían: 8 + (–13) = – 5. Pues deben
tener – 69.
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Matemáticas 1.º
Resolución de problemas (I)
Problema: Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro
tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros.
¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno?
Primero:
Organizar los datos
Laura y Pedro tienen: + 37 euros
Pedro y María: + 58 euros
Laura y María deben 69 euros: “tienen” – 69
Segundo:
Tantear para comprender mejor
Si Laura tuviera 0 euros, entonces: Pedro tendría: 37 – 0 = 37; y María: 58 – 37 = 21.
No puede ser, pues Laura y María tendrían: 20 + 41 = 51. Pero tienen (deben) – 69.
Otro tanteo:
Si Pedro tuviera 50 euros, entonces: María tendría: 58 – 50 = 8; y Laura: 37 – 50 = –13.
Tampoco puede ser, pues entre Laura y María tendrían: 8 + (–13) = – 5. Pues deben
tener – 69.
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