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Tema:
10
Circunferencia y círculo
1
Matemáticas 1º
Recuerda. La circunferencia
La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están
todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Diámetro: cualquier
cuerda que pasa por el
centro
Radio: cualquier segmento
que une el centro con un
punto de la circunferencia
Cuerda: cualquier segmento
que une dos puntos de la
circunferencia
Centro
Arco: cada una de las
partes en que una cuerda
divide a la circunferencia.
(Cada uno de los arcos
iguales determinados por un
diámetro se llama
semicircunferencia.)
Al dividir la longitud de una circunferencia cualquiera entre su diámetro da
siempre el mismo número, que se llama .
 = 3,141592… (en los cálculos, toma  = 3,14)
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Circunferencia y círculo
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Matemáticas 1º
Círculo
El círculo está formado por los puntos de la
circunferencia y los puntos interiores a la
circunferencia.
La distancia del centro a los puntos del
círculo es menor o igual al radio.
Recintos de un círculo
Sector circular
Región comprendida
entre dos radios y la
circunferencia
Segmento circular
Región comprendida
entre una cuerda y su
arco
Zona circular
Corona circular
Limitada por
dos cuerdas
paralelas
Región limitada por
dos circunferencias
concéntricas
Trapecio
circular
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Circunferencia y círculo
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Matemáticas 1º
Posiciones de rectas y circunferencias (I)
En las siguientes figuras se muestran las distintas posibilidades y el nombre
de cada una de ellas.
Exteriores
Tangentes
r < OP
O·
r = OP
O·
r
Secantes
r
P
P
La recta y la circunferencia no
tienen ningún punto en común
La recta es exterior a la
circunferencia
La recta y la circunferencia
tienen un punto en común
La recta es tangente a la
circunferencia
r > OP
P
r
O·
La recta y la circunferencia
tienen dos puntos en común
La recta es secante a la
circunferencia
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Circunferencia y círculo
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Matemáticas 1º
Posiciones de rectas y circunferencias (II)
En las siguientes figuras se muestran las distintas posibilidades y el nombre
de cada una de ellas.
Ningún punto en común
Un punto en común
Interiores
Exteriores
Tangentes
exteriores
Tangentes
interiores
Dos puntos
en común
Secantes
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Circunferencia y círculo
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Matemáticas 1º
La mediatriz
Consideremos el segmento AB.
Con una regla hallamos el punto medio M.
La perpendicular al segmento AB por
el punto M se llama mediatriz.
A
M
B
Todos los puntos de la mediatriz están a la misma
distancia de los extremos del segmento.
P
A
I
II
B
M
Tienen iguales dos lados:
AM = MB; y PM, que es común.
El ángulo con vértice en M
también es igual: es recto
Si P es de la mediatriz, hay que
ver que PA = PB.
Es así porque los triángulos I y II
son iguales, pues:
PA = PB
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Circunferencia y círculo
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Matemáticas 1º
Construcción de la mediatriz con el compás
Todos los puntos de la mediatriz están a la misma
distancia de los extremos del segmento.
Esta propiedad sirve para construir la mediatriz con un compás.
1. Abre un compás con un
2. Con el mismo radio,
3. Dibuja la recta PQ.
radio mayor que la mitad
del segmento AB.
Dibuja un arco con centro
en A.
dibuja un arco con
centro en B de modo
que corte al anterior en
los puntos P y Q.
Esta recta PQ es
perpendicular al
segmento AB.
M es el punto medio
de AB.
Se cumple que:
PA = PB y QA = QB
En consecuencia, la recta
PQ es la mediatriz del
segmento AB.
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Matemáticas 1º
La bisectriz
Trazamos un ángulo.
Lo medimos con un transportador y
M
señalamos un punto M en la mitad.
O
La semirrecta OM, que divide al
ángulo en dos ángulos iguales es la
bisectriz.
Todos los puntos de la bisectriz están a la
misma distancia de los lados del ángulo.
B
O


P
I
II
A
Tienen un lado común: OP.
Tienen dos ángulos iguales:
 = ;
Si P es de la bisectriz, hay que
ver que PA = PB, siendo PA y
PB perpendiculares a los lados.
Es así porque los triángulos I y II
son iguales, pues:
PA = PB
  B̂  90º
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Matemáticas 1º
Construcción de la bisectriz con el compás
Todos los puntos de la bisectriz están a la misma
distancia de los lados del ángulo.
Esta propiedad sirve para construir la bisectriz con el compás.
1. Traza un arco
2. Con el mismo radio,
3. Con el mismo radio,
cualquiera con
centro en O.
Sea el arco PD.
dibuja un arco con
centro en Q.
dibuja otro arco con
centro en P.
M es el punto de
intersección.
Esto es así porque los triángulos
OMP y OMQ son iguales.
OM es la bisectriz del
ángulo dado.
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Matemáticas 1º
Ángulos centrales y arcos
Sea la circunferencia de centro O y radio 4 cm.
Con centro en O se traza el ángulo AOB.
Se llama ángulo central.
Su vértice está en el centro de la circunferencia
y sus lados contienen dos radios.
(
El arco AB se dice que es el arco correspondiente al ángulo AOB.
Si se trazan dos ángulos centrales iguales, también son iguales los
arcos correspondientes.
(
(
â  b̂  AB  CD
Dos ángulos centrales son iguales si lo son los arcos correspondientes,
y recíprocamente.
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Matemáticas 1º
Medida de ángulos centrales
A un arco se le asigna la misma medida que a su ángulo central.
Se miden en la misma unidad, en grados.
Por ejemplo, un arco que abarque un
cuadrante de circunferencia mide 90º;
lo mismo que un ángulo recto.
Y un arco que abarque una circunferencia
completa valdrá 360º
La medida de un ángulo central es igual a la de su arco, tomando como
unidad de arcos el arco correspondiente a la unidad de ángulos.
Ejemplo: Como consecuencia de lo dicho:
Si una circunferencia se divide en 3 arcos
iguales, cada ángulo central valdrá 120º.
Si se divide en 4 partes iguales, 90º cada parte.
Si se divide en 5 partes iguales, 72º cada parte.
360º
 120º
3
360º
 90º
4
360º
 72º
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Matemáticas 1º
La longitud de la circunferencia
Vamos a calcular la longitud de la circunferencia de 1 euro.
Para ello medimos su diámetro con ayuda de una regla y un par de cartabones.
Sale 23,25 mm.
Como la longitud de la circunferencia (L) dividida por el diámetro da el
número , se tiene que:
L
 3,14
L = 3,14 × 23,25 = 73,005
23,25
Para cualquier otra circunferencia de diámetro d o radio r:
L
   L   · d   · 2r  2  r
d
La longitud de una circunferencia se calcula con la fórmula: L = d = 2 r
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Matemáticas 1º
La longitud de la circunferencia. Ejercicios
La longitud de una circunferencia se calcula con la fórmula: L = d = 2 r
Ejercicio 1. Calcula la longitud de la circunferencia
de esta tuerca.
L = d = 3,14 × 1,23 cm = 3,8622 cm
Ejercicio 2. El radio de una rueda de una bicicleta
mide 30 cm. ¿Cuánto avanza en cada vuelta?
r = 30
Avanza lo que mide la longitud de su circunferencia:
L = d = 2 r = 2 · 3,14 · 30 = 188,4 cm = 1,884 m.
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Matemáticas 1º
El área del círculo
Se descompone el círculo en sectores circulares y se colocan como indica la
figura:
r
 ·r
Si se divide el círculo en un número muy grande de sectores circulares, la figura
de la derecha se aproxima a un paralelogramo cuya base es la mitad de la
L
longitud   de la circunferencia y cuya altura coincide con el radio (r) .
2
L
A círculo  A paralelogramo  base · altura    · r   r · r   r 2
2
El área de un círculo es igual al número  por el cuadrado del radio:
A =  r2
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Matemáticas 1º
El área del círculo. Ejercicios
El área de un círculo es igual al número  por el cuadrado del radio: A =  r2
Ejercicio 1. El diámetro de un disco es 30 cm. Calcula su área.
Si el diámetro vale 30, el radio será 15 cm.
Luego:
A = 3,14 ·
152
= 3,14 · 225 = 706,5
15
30
cm2
Ejercicio 2. ¿Qué área es mayor, la del círculo o la de los tres cuadrados?
Cada cuadrado tiene un área de 1 cm2.
Entre los tres, 3 cm2
1 cm
El círculo tiene radio 1 cm. Su área es:
A = 3,14 · 12 = 3,14 cm2
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Matemáticas 1º
Técnicas y estrategias (I)
Para construir polígonos regulares: DIVIDIR LA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES
Construcción de un cuadrado
Se dibuja una circunferencia.
Se trazan dos diámetros
perpendiculares.
Se unen consecutivamente los
extremos de los diámetros.
La figura obtenida es un cuadrado,
pues:
Los ángulos centrales miden 90º.
El triángulo AOB es rectángulo e isósceles,
luego sus ángulos A y B miden 45º cada uno.
45º + 45º = 90
90º
O
90º
45º
A
45º 45º
B
Cada ángulo mide 90º
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Matemáticas 1º
Técnicas y estrategias (II)
Para construir polígonos regulares: DIVIDIR LA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES
Construcción de un hexágono regular
Se dibuja una circunferencia.
Se traza el radio correspondiente
a un punto cualquiera A.
Con centro en A se traza un
arco cuya cuerda mida r.
120º
El triángulo OAB es equilátero; y
cada uno de sus ángulos vale 60º.
Con lado OB se construye otro
triángulo equilátero.
Se repite el proceso hasta tener seis triángulos.
B
r
60º
r
60º
O
60º
r
A
El polígono obtenido por los segmentos que no son radios es un héxagono
regular, pues:
Los ángulos centrales miden 60º.
Los ángulos del hexágono miden 120º: 60º + 60º = 120.
Observa que todos los lados son iguales: miden 1 radio.
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