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El lenguaje algebraico. Ecuaciones
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Matemáticas 1º
Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros
Esta información podría expresarse
de otra forma:
Llamamos x al ancho del campo.
El doble será 2 · x
Y el doble más 10 m: 2 · x + 10
Largo
Las dimensiones de nuestro campo,
expresadas en forma algebraica, son:
El lenguaje algebraico utiliza letras,
números y signos de operaciones para
expresar información.
Por tanto, 2 · x + 10 expresa el
largo del campo de fútbol.
x
8
Ancho
Tema:
2x + 10
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Tema:
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El lenguaje algebraico. Ecuaciones
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Matemáticas 1º
El lenguaje algebraico: algunos ejemplos
Lenguaje ordinario
Lenguaje algebraico
Un número aumentado en 2
a + 2 (Hemos llamado a al número)
Un número disminuido en 5
c – 5 (Llamamos c al número)
x
Perímetro del
cuadrado de lado x
4x
El cuadrado de un número
x2
El cuadrado de un número
menos el mismo número
El número natural siguiente
al número n
Hoy Antonio tiene 12 años;
cuando pasen x años tendrá
Hoy Laura tiene 13 años;
hace x años tenía:
x
x
x
x2 – x
n+1
x + 12
13 – x
Al-Khuwrizmi
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Matemáticas 1º
Expresiones algebraicas
Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son
expresiones que contienen letras, o números y letras:
b ·h
Área de un rectángulo: a · b
Área del triángulo:
2
h
b
b
a
La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t
(t = tiempo en horas)
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras
unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta,
multiplicación, división y potenciación.
Observaciones:
1 · x2 · y 1
x2 · y1
x2 · y
1. El factor 1 no se escribe.
2. El exponente 1 tampoco se escribe.
5 · a · b · c3
3. El signo de multiplicación no suele ponerse.
x2 y
5abc3
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Matemáticas 1º
Valor numérico de una expresión algebraica
Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.
Si queremos hallar el área de un cuadrado
concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm
de lado, se sustituye x por 4:
x
x2
x
A = x2 = 42 = 16
16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4.
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se
obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados
y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplos:
1. El valor numérico de la
expresión algebraica 5x – 6
para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4
para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 4 4
2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es:
5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180
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Matemáticas 1º
Suma y resta de expresiones algebraicas
Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.
x
x
x
5x
x
x
x
x
3x
x
¿Cómo podríamos expresar su longitud total?
Suma:
Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:
x
x
x
5x
x
x
x
x
3x
5x + 3x = 8x
x
¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?
x
x
2x
Observación:
5x
x
x
x
3x
Para que dos expresiones puedan sumarse o
restarse es necesario que sean semejantes.
Resta:
5x – 3x = 2x
No se pueden sumar
2x + x2
Se deja indicado
Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y
resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales
deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.
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Matemáticas 1º ESO
Igualdades y ecuaciones
La balanza está equilibrada.
10 + 2 = 4 + 8
Tenemos una igualdad numérica
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas iguales unidas por el signo igual (=).
Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la
izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha.
10 + 2 = 4 + 8
1er miembro
2º miembro
Esta segunda balanza también está en equilibrio;
aunque un peso es desconocido: le llamamos x
Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras
y números relacionados por operaciones aritméticas.
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.
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Matemáticas 1º
Solución de una ecuación
¿Cuánto pesará el trozo de queso
si la balanza está equilibrada.?
Platillo izquierdo:
x + 100
Platillo derecho:
500 + 200
Como pesan igual, escribimos la ecuación:
x + 100 = 500 + 200
La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700
El valor x = 600 es la solución de la ecuación.
La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la
incógnita para el que se verifica la igualdad.
Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.
Para comprobar que una
solución es correcta hay que
sustituir en la ecuación y ver
que se cumple la igualdad.
Ejemplo
pues
La solución de la ecuación
2x – 2 = x + 12 es x = 14
2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26
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Matemáticas 1º
Ecuaciones equivalentes
La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:
Sustituyendo:
a) 4 + 4x = 25 – 3x
b) 7x + 4 = 25
4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16
7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.
Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
Ecuación dada:
8x = 16
Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)
Le sumamos 2 a cada miembro
2ª ecuación:
2 + 8x = 2 + 16
2 + 8x = 18
Restamos 6x a cada miembro
3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x
2 + 2x = 18 – 6x
Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.
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Matemáticas 1º
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
Para resolver ecuaciones
es útil buscar otra
semejante a la dada pero
que sea más fácil. Para
ello es necesario conocer
algunas reglas.
Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de
los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.
x + 5 = 10 + 5
Luego:
x = 10
Regla de la suma
Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un
número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación,
se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo:
Primero.
Segundo.
Para resolver la ecuación
Restamos 8:
Restamos x:
2x + 8 = x + 25 + 8
2x = x + 25
x = 25
La solución es x = 25
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Matemáticas 1º
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:
x=5
4x = 20
Hemos dividido por 4
Luego:
Regla del producto
Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un
número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo:
Primero.
Segundo.
Tercero.
Para resolver la ecuación
Restamos 3:
Restamos 2x:
Dividimos por 2
4x + 3 = 2x + 9
4x = 2x + 6
2x = 6
x =3
La solución es x = 3
–3
–2x
:2
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Matemáticas 1º
Resolución de ecuaciones. Ejercicios
Ejercicio 1
Ecuación con paréntesis:
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
1º. Quitar paréntesis:
2º. Operar 5x – 4x:
3º. Restar x
4º. Sumar 21
5º. Dividir por 2
Ejercicio 2
Ecuación con denominadores:
1º. Quitar denominadores. Para ello se
multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6):
2º. Restar 30:
3º. Operar 3x – 2x
3x – 21 = 5x – 5 – 4x
3x – 21 = x – 5
2x – 21 = – 5
2x = 16
x=8
x 5 x
  5
4 2 6
3x + 30 – 2x = 60
3x – 2x = 30
x = 30
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Matemáticas 1º
Resolución de problemas
Problema: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que
el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?
Primero:
Interpretación del enunciado
Lenguaje algebraico
x
39
Edad de Jorge
La madre de Jorge tiene 39
y dice que tiene 6 años menos
que el triple de la edad de Jorge
Segundo:
3x – 6
Plantear la ecuación
Son iguales
3x – 6 = 39
Tercero:
Resolución de la ecuación
3x = 45
x = 15
Sumar 6
Dividir por 3
Cuarto:
Jorge tiene 15 años
Comprobación.
3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39
Correcto
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