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Tema:
8
El lenguaje algebraico.
Ecuaciones.
Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros
Ancho
Esta información podría expresarse
de otra forma:
Llamamos x al ancho del campo.
El doble será 2 · x
Largo
Las dimensiones de nuestro campo,
expresadas en forma algebraica, son:
Y el doble más 10 m: 2 · x + 10
Por tanto, 2 · x + 10 expresa el
largo del campo de fútbol.
x
El lenguaje algebraico utiliza letras,
números y signos de operaciones para
expresar información.
2x + 10
2
Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
3
El lenguaje algebraico: algunos ejemplos
Lenguaje ordinario
Lenguaje algebraico
Un número aumentado en 2
a + 2 (Hemos llamado a al número)
Un número disminuido en 5
c – 5 (Llamamos c al número)
x
Perímetro del
cuadrado de lado x
4x
El cuadrado de un número
x2
El cuadrado de un número
menos el mismo número
El número natural siguiente
al número n
Hoy Antonio tiene 12 años;
cuando pasen x años tendrá
Hoy Laura tiene 13 años;
hace x años tenía:
x2 – x
n+1
x + 12
13 – x
x
x
x
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El lenguaje algebraico. ECUACIONES
4
Expresiones algebraicas
Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son
expresiones que contienen letras, o números y letras:
b ·h
Área de un rectángulo: a · b
Área del triángulo:
2
h
b
b
a
La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t
(t = tiempo en horas)
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras
unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta,
multiplicación, división y potenciación.
Observaciones:
1 · x2 · y 1
x2 · y1
x2 · y
1. El factor 1 no se escribe.
2. El exponente 1 tampoco se escribe.
5 · a · b · c3
3. El signo de multiplicación no suele ponerse.
x2 y
5abc3
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Valor numérico de una expresión algebraica
Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.
Si queremos hallar el área de un cuadrado
concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm
de lado, se sustituye x por 4:
x
x2
x
A = x2 = 42 = 16
16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4.
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se
obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados
y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplos:
1. El valor numérico de la
expresión algebraica 5x – 6
para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4
para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 44
2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es:
5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180
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Suma y resta de expresiones algebraicas
Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.
x
x
x
x
x
x
x
x
3x
5x
¿Cómo podríamos expresar su longitud total?
Suma:
Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:
x
x
x
x
x
x
x
x
3x
5x
¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?
x
x
x
x
x
2x
Observación:
5x + 3x = 8x
5x
Resta:
5x – 3x = 2x
3x
Para que dos expresiones puedan sumarse o
restarse es necesario que sean semejantes.
No se pueden sumar
2x + x2
Se deja indicado
Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y
resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales
deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.
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El lenguaje algebraico. ECUACIONES
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Igualdades y ecuaciones
La balanza está equilibrada.
10 + 2 = 4 + 8
Tenemos una igualdad numérica
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas iguales unidas por el signo igual (=).
Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la
izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha.
10 + 2 = 4 + 8
1er miembro
2º miembro
Esta segunda balanza también está en equilibrio;
aunque un peso es desconocido: le llamamos x
Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras
y números relacionados por operaciones aritméticas.
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.
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Solución de una ecuación
¿Cuánto pesará el trozo de queso
si la balanza está equilibrada?
Platillo izquierdo:
Platillo derecho:
x + 100
500 + 200
Como pesan igual, escribimos la ecuación: 
x + 100 = 500 + 200
La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700
El valor x = 600 es la solución de la ecuación.
La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la
incógnita para el que se verifica la igualdad.
Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.
Para comprobar que una
solución es correcta hay
que sustituir en la
ecuación y ver que se
cumple la igualdad.
Ejemplo
La solución de la ecuación
2x – 2 = x + 12 es x = 14
pues
2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26
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Ecuaciones equivalentes
La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:
Sustituyendo:
a) 4 + 4x = 25 – 3x
b) 7x + 4 = 25
4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16
7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.
Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
Ecuación dada:
8x = 16
Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)
Le sumamos 2 a cada miembro
2ª ecuación:
2 + 8x = 2 + 16
2 + 8x = 18
Restamos 6x a cada miembro
3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x
2 + 2x = 18 – 6x
Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.
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El lenguaje algebraico. ECUACIONES
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Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
Para resolver ecuaciones
es útil buscar otra
semejante a la dada pero
que sea más fácil. Para
ello es necesario conocer
algunas reglas.
Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de
los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.
x + 5 = 10 + 5
Luego:
x = 10
Regla de la suma
Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un
número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación,
se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo:
Para resolver la ecuación
Restamos 8:
Restamos x:
2x + 8 = x + 25 + 8
–8
–8
2x
= x + 25
–x
–x
x = 25
La solución es x = 25
Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
EJEMPLO
Resuelve
x – 5 = 13.
Solución En el primer miembro de la ecuación, 5 se resta de x. Para aislar x, hay que
deshacer la resta aplicando la operación inversa de sumar 5. Para mantener
el equilibrio, debes sumar 5 a cada lado.
x – 5 = 13
Escribe la ecuación original.
x – 5 + 5 = 13 + 5
x = 18
► La solución es 18.
Suma 5 a cada lado.
Simplifica.
 COMPROBACIÓN
x – 5 = 13
18 – 5 = 13
13 = 13
Escribe la ecuación original.
Sustituye x por 18.
La solución es correcta.
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El lenguaje algebraico. ECUACIONES
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Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
EJEMPLO
Resuelve
x + 4 = –3
x + 4 – 4 = –3 – 4
x = –7
x + 4 = –3.
Escribe la ecuación original.
 COMPROBACIÓN
Resta 4 a cada miembro.
Simplifica.
► La solución es –7.
Sustituye x por –7.
x + 4 = –3
–7 + 4 = –3
–3 = –3
La solución es correcta.
EJEMPLO
Resuelve
y – 3 = –14.
y – 3 = –14
y – 3 + 3 = –14 + 3
y = –11
► La solución es –11.
Escribe la ecuación original.
Suma 3 a cada miembro.
Simplifica.
Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
EJEMPLO
Resuelve
3a = 7 + 2a.
3a = 7 + 2a
3a – 2a = 7 + 2a – 2a
a=7
Escribe la ecuación original.
Resta 2a a cada miembro.
Simplifica.
► La solución es 7.
 COMPROBACIÓN
3a = 7 + 2a
3·7 = 7 + 2·7 Sustituye x por 7.
La solución es correcta.
21 = 21
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El lenguaje algebraico. ECUACIONES
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:
x=5
4x = 20
Hemos dividido por 4
Luego:
Regla del producto
Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un
número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo:
Para resolver la ecuación
Restamos 3:
Restamos 2x:
Dividimos por 2
4x + 3 = 2x + 9
4x = 2x + 6
2x = __
6
__
2
2
x =3
La solución es x = 3
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El lenguaje algebraico. ECUACIONES
15
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
EJEMPLO
Resuelve
3x = 15.
Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3. Para aislar x,
hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por 3.
3x = 15
3x = 15
3
3
x=5
► La solución es 5.
Escribe la ecuación original.
Divide cada lado por 3.
Simplifica.
 COMPROBACIÓN
3x = 15
3·5 = 15
15 = 15
Sustituye x por 5.
La solución es correcta.
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El lenguaje algebraico. ECUACIONES
16
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
EJEMPLO
Resuelve
7x = –56
7x = –56
7
7
x=–8
► La solución es –8.
EJEMPLO
Escribe la ecuación original.
Divide cada lado por 7.
Simplifica.
Resuelve
y
 12
5
y
·5 = 12 · 5
5
y = 60
► La solución es 60.
7x = –56.
y
 12
5
Escribe la ecuación original.
Multiplica los dos miembros por 5.
Simplifica.
 COMPROBACIÓN
Sustituye x por –8.
7x = –56
7·(–8) = –56
–56 = –56
La solución es correcta.
 COMPROBACIÓN
60 = 12
5
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Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del
producto.
EJEMPLO
Resuelve
3x – 4 = 17
3x – 4 + 4 = 17 + 4
3x = 21
3x = 21
3
3
x=7
► La solución es 7.
3x – 4 = 17.
Escribe la ecuación original.
Suma 4 a cada miembro.
Simplifica.
Divide cada lado por 3.
Simplifica.
 COMPROBACIÓN
3x – 4 = 17
3·(7) – 4 = 17
17 = 17
Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
n
Resuelve
3

8
EJEMPLO
5
n
3  8
Escribe la ecuación original.
5
n
Resta 8 a cada miembro.
3–8=
+8–8
5
n
Simplifica.
5 
5
n
Multiplica los dos miembros por 5.
5( 5 )  ( )·5
5
–25 = n
► La solución es –25.
Simplifica.
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Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
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Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
EJEMPLO
Resuelve
5–x=7
–5 + 5 – x = –5 + 7
–1x = 2
–1x = 2
–1
–1
x = –2
► La solución es –2.
5 – x = 7.
Escribe la ecuación original.
Resta 5 a cada miembro.
Simplifica.
Divide por –1.
Simplifica.
 COMPROBACIÓN
5–x=7
5 – (–2) = 7
7=7
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El lenguaje algebraico. ECUACIONES
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
EJEMPLO
Resuelve
b + 8 = 18 + 3b
b + 8 = 18 + 3b
Escribe la ecuación original.
b – 3b + 8 = 18 + 3b – 3b
Resta 3b a cada miembro.
b – 3b + 8 = 18
Simplifica.
b – 3b + 8 – 8 = 18 – 8
b – 3b = 18 – 8
–2b = 10
–2b = 10
–2
–2
b = –5
► La solución es –5.
Resta 8 a cada miembro.
Simplifica.
Agrupa.
Divide por –2.
Simplifica.
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El lenguaje algebraico. ECUACIONES
Transposición de términos en una ecuación
Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar
términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros
de la ecuación por un mismo número o expresión. Ese proceso podemos
realizarlo de manera más rápida haciendo que ese mismo término
aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba:
► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando,
aparece sumando.
► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo,
aparece multiplicando.
Esta técnica se denomina transposición de términos.
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Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
Transposición de términos en una ecuación
EJEMPLO
Transposición de términos
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 2x = 6 + 8
a) Si sumamos a los dos
miembros +8,
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 + 8 = 6 + 2x + 8
4x = 6 + 2x + 8
Esto equivale a pasar directamente el término –8 al
segundo miembro como +8.
b) De la misma forma, para eliminar +2x del segundo
miembro lo pasamos al primero como –2x.
2x = 14
x = 14 = 7
2
c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x = 14,
pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este
último paso se llama despejar la incógnita.
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Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
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Propiedad distributiva (Quitar paréntesis)
a(b + c) = ab + ac
4(5 + 8) = 4·5 + 4·8 =
= 20 + 32 = 52
(6 + 9)2 = 6·2 + 9·2 =
= 12 + 18 = 30
Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual.
2(x + 4) = 2x + 2·4 = 2x + 8
2(4x + 1) = 2·4x + 2·1 = 8x + 2
(y + 3)6 = y·6 + 3·6 = 6y + 18
4(x – 2) = 4x + 4(–2) = 4x – 8
–2(n – 3) = –2n + (–2)( –3) = –2n + 6
Cuidado con los
signos negativos (–).
Recuerda la regla de
los signos:
+·+=+
+·–=–
–·+=–
–·–=–
Tema 8
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Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
1º. Quitar paréntesis:
3x – 21 = 5x – 5 – 4x
2º. Operar 5x – 4x:
3x – 21 = x – 5
3º. Restar x
2x – 21 = – 5
4º. Sumar 21
5º. Dividir por 2
2x = 16
x=8
 COMPROBACIÓN
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
3(8 – 7) = 5(8 – 1) – 4·8
3·1 = 5·7 – 4·8
3 = 35 – 32
3=3
La solución es correcta.
Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
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Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
EJEMPLO
Resuelve
6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5)
6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5)
Ecuación original
6 – 4 – x = 8x – 6x –10
Quita paréntesis.
–x + 2 = 2x – 10
Simplifica.
Traspones términos.
–x – 2x = –10 – 2
Agrupa.
–3x = –12
Divide por –3.
x=4
 COMPROBACIÓN
6 – (4 + 4) = 8·4 – 2(3·4 + 5)
6 – 8 = 32 – 34
–2 = –2
Tema 8
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Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.
1º. Quitar denominadores.
Para ello se multiplica por 12,
que es m.c.m.(4, 2, 6):
x 5 x
  5
4 2 6
x 5 x
12·(   )(5 )·12
4 2 6
3x + 30 – 2x = 60
2º. Restar 30:
3º. Operar 3x – 2x
3x – 2x = 30
x = 30
Recuerda cómo se calcula
el m.c.m.:
4 2
2 2
1
6 3
2 2
1
4 = 22
2=2
6 = 2·3
Para el m.c.m. tomamos
los factores comunes y los
no comunes al mayor
exponente:
m.c.m.(4, 2, 6) = 22 · 3 = 12
Tema 8
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27
Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.
EJEMPLO
x 1 x  3 1


2
4
2
x 1 x  3 1

4(
)( )4
2
4
2
x 1
x3
1
4(
) 4(
) 4( )
2
4
2
2(x + 1) + (x + 3) = 2
2x + 2 + x + 3 = 2
3x + 5 = 2
3x = 2 – 5
3x = –3
3
x
3
1º. Quitar denominadores.
Para ello se multiplica por 4,
que es m.c.m.(2, 4):
2º. Quitar paréntesis.
3º. Agrupar términos semejantes.
4º. Transponer términos.
5º. Despejar la incógnita.
x = –1
Tema 8
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Resolución de problemas
Problema 1: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años
menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?
1º. Interpretación del enunciado
Lenguaje algebraico
Edad de Jorge
La madre de Jorge tiene 39
y dice que tiene 6 años menos
que el triple de la edad de Jorge
3x – 6
Son
iguales
3x – 6 = 39
2º. Plantear la ecuación
3º. Resolución de la ecuación
x
39
Suma 6
3x = 45
Divide por 3
x = 15
Jorge tiene 15 años
4º. Comprobación.
3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39
Correcto
Tema 8
El lenguaje algebraico. ECUACIONES
29
Resolución de problemas
PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces
su valor inicial?
► 1º. Interpreta el enunciado y
exprésalo algebraicamente.
x
Un número
6x
Seis veces el número
► 2º Plantear la ecuación.
El número
aumentado en 55
x + 55
► 3º. Resolver la ecuación.
x + 55
El número aumentado en 55
es igual
a
=
6 veces el
número
6x
x + 55 = 6x  55 = 6x – x
55 = 5x  55/5 = x  x = 11
El número buscado es 11.
► 4º. Comprobación.
Nº aumentado en 55  11 + 55 = 66
6 veces el número  6·11 = 66
Correcto
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30
Resolución de problemas
PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro
mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.
► 1º. Interpreta el enunciado y
exprésalo algebraicamente.
Perímetro
Lado menor  x
Lado mayor  2x
78
x + 2x + x + 2x
2x
x
x
2x
► 2º Plantear la ecuación.
► 3º. Resolver la ecuación.
x + 2x + x + 2x = 78
6x = 78
x = 78
6
x = 13
x = 13 cm
2x = 26 cm
► 4º. Comprobación.
Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm