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Planteo de Ecuaciones I
El plantear una ecuación significa que el enunciado
de cualquier problema que se tenga hay que
interpretarlo, entenderlo y una vez comprendido,
hay que expresarlo en una ecuación matemática, lo
cual dará solución al problema planteado.
Por eso cuando la tierra gira alrededor del sol,
cuando recibes una llamada en tu teléfono celular,
cuando un tigre persigue a un jabalí o cuando un
transbordador vuela rumbo al espacio y en
múltiples situaciones de la vida diaria, aunque no lo
parezca, se ven involucradas expresiones
matemáticas que implican el uso de las ecuaciones.
Veamos a continuación algunos pequeños enunciados, que pueden ser parte de su problema, y su
respectiva interpretación simbólica.
Lenguaje Castellano
(Enunciado de un problema)
TRADUCCIÓN
LENGUAJE CASTELLANO
Lenguaje Simbólico
(Ecuaciones)
LENGUAJE SIMBÓLICO
“A” tiene S/. 5 más que “B”
“A” excede a “B” en S/. 5
A = B + 5; A – B = 5;
A=x+5⋀ B=x
“A” tiene S/. 5 menos que “B”
“A” es excedido por “B” en S/. 5
A = B – 5; B – A = 5;
A=x–5 ∧ B=x
El exceso de “x” sobre “y” es 15
x – y = 15
El triple de un número, disminuido en 5
Sea “x” el número: 3x - 5
El triple, de un número disminuido en 5
Sea “x” el número: 3(x – 5)
Tengo tantos libros como cuadernos
# Libros = # Cuadernos;
# Libros = x ∧ # Cuadernos = x
Por cada manzana tenga tres naranjas
# Manzanas = 3(# Naranjas);
# Manzana = 3x ∧ # Naranjas = x
El cuadrado de la suma de 2 números
es mayor que 8 pero menor que 15.
Sea x e y los números:
8 < 𝑥 + 𝑦 2 < 15
Tengo doble cantidad de hermanos que # Hermanos = 2x ∧ # Hermanas
de hermanas.
=x
La edad de Ángel es 3 veces la edad
de Betty
Ángel = 3(Betty);
Ángel = 3x ∧ Betty = x
La edad de Ángel es 3 veces más que
la edad de Betty
Ángel = 3(Betty) + (Betty);
Ángel = 4x ∧ Betty = x
He comprado tantas camisas como el
triple de soles que me costó cada una.
# de soles c/u = x
# de camisas = 3x
En una reunión por cada 3 hombres
hay 4 mujeres.
# de hombres = 3x
# de mujeres = 4x
Ejemplo 1:
Una señora duda entre comprar 360 cuadernos o por el mismo precio 45 borradores y 45 lapiceros, al final
por el mismo precio decide comprar la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuántos artículos compró en total?
Resolución:
Primero identifiquemos cada artículo, dándole
una variable:
C = Cuadernos
L = Lapiceros
B = Borradores
360𝐶 = 320𝐶 + 40𝐶
360𝐶 = 40(8𝐶) + 40𝐶
360𝐶 = 40(𝐿 + 𝐵) + 40𝐶
360𝐶 = 40𝐿 + 40𝐵 + 40𝐶
Del dato tenemos:
360𝐶 = 45𝐿 + 45𝐵
8𝐶 = 𝐿 + 𝐵
𝐷𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 = 360𝐶
÷ 45
120 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
En total compró 120 artículos
Ejemplo 2:
A un comerciante por cada 7 cuadernos que compra le regalan 3 y cuando los pone a la venta, por cada 2
docenas que vende regala 1. ¿Cuántos cuadernos deberá comprar para que pueda vender 960 y no sobren
cuadernos?
Resolución:
Por cada 7 que
compra le
regalan 3
COMPRA
LE REGALAN
7K
3K
TOTAL QUE RECIBE
10K
Por cada 2 docenas
que vende regala 1
VENDE
24n = 960
n = 40
REGALA
n
Si no sobran cuadernos quiere decir que todo lo que
recibió en la compra lo vende y lo regala
𝟏𝟎𝒌 = 𝟐𝟒𝒏 + 𝒏
𝟏𝟎𝒌 = 𝟐𝟓𝒏
𝟏𝟎𝒌 = 𝟐𝟓(𝟒𝟎)
𝒌 = 𝟏𝟎𝟎
Por lo tanto compra:
7𝑘 = 7 100 = 700
Ejemplo 3:
Si por S/. 200 dieran 6 libros más de los que dan, entonces la docena de libros costaría S/. 90 menos.
¿Cuántos libros dan por S/. 200?
Resolución:
La docena costaría S/. 90 menos:
Por S/. 200
Dan “x” libros
C/. Libro cuesta
200
𝑥
La docena cuesta
200
12𝑥
𝑥
Por S/. 200
Dieran “x+6” libros
C/. Libro costaría
200
𝑥+6
La docena cuesta
200
12𝑥
𝑥+6
12𝑥
200
200
− 12𝑥
= 90
𝑥
𝑥+6
Simplificando:
80
80
−
=3
𝑥 𝑥+6
Resolviendo:
𝑥 = 10
Por S/. 200 dan 10 libros
Ejemplo 4:
Con todos los alumnos de un aula se formó un cuadrado compacto con “n” alumnos por lado. Pero si quisieran
formar dos triángulos equiláteros compactos con “n” alumnos por lado, harían falta 9 alumnos. ¿Cuántos
alumnos hay en el salón?
Resolución:
Para formar 2 triángulos compactos:
Se sabe que un cuadrado compacto es un cuadrado
totalmente lleno, y dado que con todos los alumnos
se formó uno, tenemos:
∗
∗
n ∗
⋮
∗
∗
∗
∗
⋮
∗
∗
∗
∗
⋮
∗
n
… ∗
…
… ∗∗
⋱ ⋮
… ∗
n
*
* *
* * *
* * *
Total de = 𝑛2
Alumnos
*
n * *
* * *
n
* * *
* * *
n
# DE ALUMNOS =
n
n
* * *
𝑛(𝑛+1)
2
Harán falta 9 alumnos:
𝑛(𝑛 + 1)
2
𝑛=9
𝑛2 + 9 = 2𝑥
TOTAL DE ALUMNOS = 𝑛2 = 81
Ejemplo 5:
Alejandro adquirió cuadernos de tres tipos distintos que cuestan S/. 2; S/. 4 y S/. 5 cada uno. Si en total
compro 35 cuadernos y gastó S/. 118 en total, halle el máximo número de cuadernos de S/. 5 que se pudo
comprar.
Resolución:
2 : 2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 118
1 𝑥2: 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 70
Total: S/. 118
𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑐 𝑢 2 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
35 Cuadernos 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑐 𝑢 4 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑐 𝑢 5 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
𝐷𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑧𝑚á𝑥 :
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 35 … 1
2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 118 … (2)
Luego tenemos que:
(-)
2𝑦 + 3𝑧 = 48
Como nos piden 𝑧𝑚á𝑥 evaluemos para encontrar su
valor:
2𝑦 + 3𝑧 = 48
0
1,5
3
16 (¡NO! Porque adquirió de los tres tipos)
15 (¡NO! Porque un número de cuadernos debe
ser entero)
14 (Sí)
Así 𝑧𝑚𝑎𝑥 = 14