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Paredes compuestas
Paredes Compuestas.
Problema 1
Se desea estudiar la transferencia de calor a través de una
sucesión de capas de diferentes materiales.
En cuyas fronteras están en contacto con un fluido. Se
quiere hacer dos geometrías:
a) Cartesiana (paredes rectangulares)
b) Cilíndrica
Paredes Rectangulares
(Diagrama)
Conducción de calor a través de una pared compuesta situada entre
dos corrientes de fluidas a temperaturas Ta y Tb
Balance de Energía
Aplicado un balance a la lámina de volumen WHdx, se obtiene,
para la conducción del calor en la primera región:
𝑞𝑥01 𝑥 𝑊𝐻 − 𝑞𝑥01 𝑥 + ∆𝑥 𝑊𝐻 = 0
Que lleva a:
𝑑𝑞𝑥01
= 0
𝑑𝑥
Integrando:
𝑞01 = 𝑞0
Sabemos también que
𝑞𝑥01
= −𝑘
01
𝑑𝑇 01
= 𝑞0
𝑑𝑥
Análogamente
−𝑘 01
𝑑𝑇 01
= 𝑞0
𝑑𝑥
−𝑘 12
𝑑𝑇 12
= 𝑞0
𝑑𝑥
−𝑘 23
𝑑𝑇 23
= 𝑞0
𝑑𝑥
Siendo 𝑘 01 , 𝑘 12 y 𝑘 23 constantes
Integrando
𝑇0 − 𝑇1 = −𝑞0
𝑥0 − 𝑥1
𝑘 01
𝑇1 − 𝑇2 = −𝑞0
𝑥1 − 𝑥2
𝑘 12
𝑇2 − 𝑇3 = −𝑞0
𝑥2 − 𝑥3
𝑘 23
En las fronteras
𝑞0
𝑇𝑎 − 𝑇0 =
ℎ0
𝑞0
𝑇3 − 𝑇𝑏 =
ℎ3
Sumando las ecuaciones
𝑇𝑎 − 𝑇𝑏 = 𝑞0
1 𝑥1 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1 𝑥3 − 𝑥2 1
+
+
+
+
01
12
23
ℎ0
𝑘
𝑘
𝑘
ℎ3
𝑇𝑎𝑎 −
− 𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑞0 𝑞=
0 = 1
𝑥 𝑥𝑖−1 1 1
1
𝑖 −
33 𝑥𝑥
𝑖 − 𝑖−1
++
+
𝑖=1
𝑖−1,𝑖
ℎ
𝑖=1
𝑘𝑘 1−1,𝑖 ℎ𝑠ℎ3
ℎ0 0
Que puede escribirse
𝑞0 = 𝑈 𝑇𝑎 − 𝑇𝑏
O
𝑄0 = 𝑈 𝑊𝐻 𝑇𝑎 − 𝑇𝑏
Donde
1
𝑈=
+
ℎ0
3
𝑖=1
−1
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 1
+
ℎ3
𝑘 𝑖−1,𝑖
Paredes Circulares
(Diagrama)
Balance de Energía
Aplicando un balance a la lámina de volumen 2 𝛑rL ∆𝑟, se
obtiene, para la conducción del calor en la primera región:
𝑞𝑟01 𝑟 2 𝛑𝐫𝐋 − 𝐪𝟎𝟏
𝐫 𝑟 + ∆𝑟 2𝛑 𝐫 + ∆𝐫 𝐋 = 𝟎
Que lleva a:
𝑑
𝑟𝑞𝑟01 = 0
𝑑𝑟
Integrando:
𝑟𝑞𝑟01 = 𝑟0 𝑞0
Sabemos también que
𝑑𝑇 01
−𝑘 𝑟
= 𝑟0 𝑞0
𝑑𝑟
01
Análogamente
12
𝑑𝑇
−𝑘 12 𝑟
= 𝑟0 𝑞0
𝑑𝑟
23
𝑑𝑇
−𝑘 23 𝑟
= 𝑟0 𝑞0
𝑑𝑟
Integrando
𝑇0 − 𝑇1 = 𝑟0 𝑞0
𝐼𝑛 𝑟1 /𝑟0
𝑘 01
𝑇1 − 𝑇2 = 𝑟0 𝑞0
𝐼𝑛 𝑟2 /𝑟1
𝑘 12
𝑇2 − 𝑇3 = 𝑟0 𝑞0
𝐼𝑛 𝑟3 /𝑟2
𝑘 23
Gráficamente
En las fronteras
Sumando
𝑄0 = 2 𝛑𝐫𝐋0𝑞0 =
2 𝛑𝐫𝐋
𝑇𝑎 − 𝑇𝑏
𝐼𝑛
𝐼𝑛 𝑟1 /𝑟0 𝐼𝑛 𝑟2 /𝑟1 𝑘 23 𝑟3
1
1
+
+
+
+
𝑟2
𝑟0 ℎ0
𝑟3 ℎ3
𝑘 01
𝑘12
Sumando
𝑄0 = 𝑈0
𝑈0 =
𝑟−1
0
1
+
𝑟0 ℎ0
2𝛑𝑟0 𝐿
3
𝑖=1
𝑇𝑎 − 𝑇𝑏
−1
𝐼𝑛 𝑟𝑖1 /𝑟𝑖−1
𝑘
𝑖−1,𝑖
1
+
𝑟3 ℎ3
Resumen
Ejemplos
Un chip de silicio y su base de aluminio están separados por
un pegamento epóxico de espesor 0.02 mm. El Chip y su
base tiene 10 mm de largo y son enfriados por una corriente
de aire a 25 0C con un coeficiente de convección de 100
W/m2 oK.
Si el chip disipa energía a una tasa de 104 W/m2 ¿Podrá
operar correctamente por debajo de una temperatura de
85 0C?
Diagrama
Solución
𝑞"𝑐 = 𝑞"1 + 𝑞"2
𝑞"𝑐 =
𝑇𝑐 −𝑇∞
1/ℎ
+
𝑇𝑐 −𝑇∞
𝑅"𝑡,𝑐 + 𝐿/𝑘 + 1/ℎ
Solución
1
𝑇𝑐 = 𝑇∞ + 𝑞"𝑐 ℎ +
𝑅𝑡.𝑐 + 𝐿/𝑘 + 1/ℎ
−1
𝑇𝑐 = 25°𝐶 + 104 𝑊/𝑚2
1
𝑥 100 +
0.9 + 0.33 + 100 𝑥 10−4
𝑇𝑐 = 25°𝐶 + 50.3°𝐶 = 75.3°𝐶
−1
𝑚2 ∙ 𝐾/𝑊
Resistencia de contacto
𝑞"𝑥
𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡
𝑞"𝑥
𝑇𝐴
∆𝑇
A
B
𝑇𝐵
T
𝑞"𝑔𝑎𝑝
A
x
B
Datos para R´´