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ECUACIONES DE MAXWELL
YULEIDIS SIERRA ZEQUEIRA
YICELL CAROLINA ACOSTA
LIC. JUAN PACHECO
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICAS
FACULTADA DE CIENCIAS BÁSICAS DE LA EDUCACIÓN
VALLEDUPAR CESAR
2016
ECUACIONES DE MAXWELL
YULEIDIS SIERRA ZEQUEIRA
YICELL CAROLINA ACOSTA
Este informe se hace con el fin de profundizar en las leyes de
Maxwell que fueron expuestas en clase por cada una de las
integrantes del presente grupo
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICAS
FACULTADA DE CIENCIAS BÁSICAS DE LA EDUCACIÓN
VALLEDUPAR CESAR
2016
Ley de Gauss
La ley de Gauss describe una relación general entre el flujo eléctrico neto que
atraviesa una superficie cerrada y la carga encerrada por la superficie.

Flujo Eléctrico: son cantidades de líneas de fuerzas
que atraviesan un área determinada.
Es una integral de superficie, lo que significa que debe ser
evaluada sobre la superficie en cuestión. El valor del flujo
depende tanto del patrón de campo como de la superficie.
La evaluación del flujo que pasa por una superficie cerrada,
Se define como aquella que divide el espacio en una región
exterior y una interior, de manera que no es posible pasar de una región a
la otra sin atravesarla. Por ejemplo, la superficie de una esfera tiene una
superficie cerrada.
Definición de la ley de Gauss
La superficie gaussiana de radio r que rodea
una carga puntual q. cuando la carga está en el
centro de la esfera, el campo el eléctrico es
normal a la superficie en
todos los puntos y de
magnitud constante.
Las superficies cerradas de diversas formas que rodean una carga q. el flujo
eléctrico neto es el mismo a través de todas las superficies.
carga puntual localizada fuera de una superficie
cerrada. El numero de lineas que entran a la superficie
es igual al numero de lineas que salen de la misma.


La integral de area del campo electrico sobre cualquier superficie cerrada
es igual a la carga neta encerrada en esa superficie dividida por la
permitividad del vacio.
La ley de gauss es una de las formas de las ecuaciones de maxwell.
Por medio de la ley de gauss podemos partir para llegar a lo que es campo
electrico, ley de coulom y energia potencial.
Acontinuacion, demostracion:
∯ 𝐸⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠 =
𝑞𝑖𝑛
𝜀0
Resolviendo el producto punto, nos quedaria asi:
∯ 𝐸 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑞
𝜀0
Considerando que el angulo es 𝜃 = 0° entonces:
∯ 𝐸 𝑑𝑠 =
𝑞
𝜀0
Resolvemos la integral y decimos que el campo es estacionaria, es decir; que no
varian con el tiempo sino con el radio.
𝐸 ∯ 𝑑𝑠 =
𝐸𝑠=
𝑞
𝜀0
𝑞
𝜀0
Donde el area de la superficie es 4𝜋𝑟 2
Teniendo en cuenta que la superficie es una esfera:
𝐸(4𝜋𝑟 2 ) =
𝐸=
𝑞
𝜀0
𝑞
4𝜋𝑟 2 𝜀0
1
Donde 𝐾 = 4𝜋𝜀
0
𝐸=
⃗𝑬 =
𝑘𝑞
𝑟2
𝒌𝒒
𝒓̂
𝒓𝟐
Operamos por una carga 𝑞0 tenemos:
𝑞0 𝐸 =
Donde 𝐹 =
𝑘𝑞𝑞0
𝑟2
𝑘𝑞𝑞0
𝑟2
𝐹 = 𝑞𝐸
Reemplazamos el campo:
𝐹=
𝑘𝑞𝑞0
𝑟2
Asi nos quedaria la ley de coulom, que dice que la fuerza es proporcional al
producto de las dos cargas e inversamente proporcionalal radio cuadrado.
⃗𝑭 =
𝒌𝒒𝒒𝟎
𝒓̂
𝒓𝟐
La fuerza electrica es igual a menos el graciente de la energia potencial.
⃗𝑈
𝐹 = −∇
𝐹=−
𝑑𝑈
𝑑𝑟
𝑑𝑈 = −𝐹𝑑𝑟
𝑈 = − ∫ 𝐹 𝑑𝑟
𝑈 = −∫
𝑘𝑞𝑞0
𝑑𝑟
𝑟2
𝑈 = −𝑘𝑞𝑞0 ∫ 𝑟 −2 𝑑𝑟
𝑟 −1
𝑈 = −𝑘𝑞𝑞0
−1
Energia potencial:
𝑼=
𝒌𝒒𝒒𝟎
𝒓
hay algunas leyes de conservacion que se presentan y son:



Ley de conservacion del flujo
Ley de conservacion de la carga
Ley de conservacion de la energia
Elementos de simetria

Simetria esferica
El siguiente informe lo Vamos a empezar hablando solo un poco acerca de la vida
de estos grandes personajes en el campo de la física y muchos otros campos en
lo que se destacaron, me refiero a André-Marie Ampère y a James Clerk Maxwell,
le voy a contar un poco de la vida de cada uno de ellos
André Marie Ampère - André-Marie Ampère
(1775/01/20 - 1836/06/10)
André-Marie Ampère Científico francés Nació el 20 de
enero de 1775 en Polémieux-au-Mont-d'Or, localidad
próxima
a Lyon (Francia).
En el año 1801, con veintiséis años, es nombrado
profesor de física y química en el Instituto de Bourg, y
en 1809, profesor de matemáticas en la Escuela
Politécnica
de
París.
El amperio (A), la unidad de intensidad de corriente
eléctrica,
toma
su
nombre
de
él.
Su teoría electrodinámica e interpretaciones sobre
la relación entre electricidad y magnetismo se
publicaron en su Colección de observaciones sobre electrodinámica (1822) y
en Teoría
de
los
fenómenos
electrodinámicos(1826).
Inventor
de
la aguja
astática,
que
hizo
posible
el galvanómetro.
También fue el primero en demostrar que dos conductores paralelos por los que
circula una corriente en el mismo sentido, se atraen el uno al otro, mientras que si
los
sentidos
de
la
corriente
son
opuestos,
se
repelen.
André-Marie Ampère falleció el 10 de junio de 1836, en Marsella, Francia.
James Clerk Maxwell
(1831/06/13 - 1879/11/05)
James
universidades
Clerk
Maxwell
Físico
británico
Nació el 13 de junio de 1831 en Edimburgo, en el seno
de
una
familia
acomodada.
En 1841 comenzó sus estudios en la Academia de
Edimburgo, donde demostró un excepcional interés
por la geometría, disciplina sobre la cual versó su
primer trabajo científico, publicado cuando contaba
sólo catorce años de edad. Cursó estudios en las
de
Edimburgo
y
Cambridge.
Fue profesor de física en la Universidad de Aberdeen desde 1856 hasta 1860.
En 1871 se le reconoce como el profesor más destacado de física
experimental en Cambridge, donde supervisa la construcción del Laboratorio
Cavendish.
Amplía
la
investigación
de Michael
Faraday sobre
los campos
electromagnéticos, demostrando la relación matemática entre los campos
eléctricos
y
magnéticos.
También demostró que la luz está compuesta de ondas electromagnéticas.
Su obra más importante es el Treatise on Electricity and Magnetism (Tratado
sobre electricidad y magnetismo, 1873), en donde, por primera vez, publicó su
conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales en las que describe la
naturaleza de los campos electromagnéticos en términos de espacio y
tiempo.
James Clerk Maxwell falleció en Cambridge, Reino Unido, el 5 de noviembre
de 1879, ocho años antes de la confirmación experimental de su teoría
electromagnética.
Ley de ampere
Ampere formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente
eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampere nos dice que la circulación
en un campo magnético (B) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la
densidad de corriente (I) sobre la superficie encerrada en la curva C, la ley de
ampere nos dice que una corriente genera un campo magnético y la dirección del
campo la encontramos con la mano derecha, colocamos el dedo pulgar en
dirección hacia donde este la corriente y hacia donde apunten los otros cuatro
dedos va a ser hacia donde se dirija el campo, matemáticamente se representa
así:
∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝒔 = 𝝁𝟎 𝑰𝒆𝒏𝒄
𝑐
Circulación del
campo magnético
atraves de una
trayectoria cerrada
Permitividad
del medio el
en vacio
La corriente encerrada
en la trayectoria
(FUENTE)
Algo semejante pasa con la ley de Gauus una carga encerrada en una superficie
Gaussiana, se dibujaba una superficie Gaussiana y se preguntaba por la carga
encerrada en dicha superficie, en la ley de ampere pasa algo similar se encierra
una o varias corrientes en una trayectoria cerrada y se pregunta por las cargas
encerradas
Ahora nos vamos a concentrar en el lado
matemática de la ley de ampere
izquierdo de la representación
La magnitud del campo Magnético es
tangencial a la línea de campo
B
B
ds
Ahora vamos a suponer una corriente entrando y resolvemos solo el lado izquierdo
de la ecuación y podremos concluir algo muy importante
∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝑳 = ∮ ‖𝑩‖‖𝒅𝒔‖ cos 𝜃
𝑐
𝒄
x
∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝑳 = ∮ 𝐵 𝑑𝑠
𝑐
𝒄
Como el campo magnetico esta siempre a la
misma distancia de la corriente y no va a variar
lo podemos considerar constante
∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝑳 = 𝐵 ∮ 𝑑𝑠
𝑐
𝒄
∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝑳 = 𝐵 2𝜋𝑟
𝑐
𝐵 2𝜋𝑟 = 𝜇0 𝐼
𝐵=
𝜇0 𝐼
2𝜋𝑟
La longitud del alambre es
inversamente proporcional al
campo magnético
X
Y con la imagen anterior podemos decir que el campo magnético es más intenso
entre más cerca se este de la corriente (que en este caso es la fuente) que lo
produce
El lado derecho Incluye dos fuentes para el campo magnético; Una corriente de
conducción estable y un flujo eléctrico cambiante a través de cualquier superficie S
limitada por la trayectoria C.
Se debe tener siempre presente que una corriente eléctrica o un flujo eléctrico
cambiante a través de una superficie produce un campo magnético circulante
alrededor de cualquier trayectoria que limite esa superficie.
En otras palabras, se produce un campo magnético a lo largo de una trayectoria si
hay corriente encerrada por la trayectoria o si el flujo eléctrico a través de
cualquier superficie. Es importante que entender que la trayectoria puede ser real
o puramente imaginaria, el campo magnético se produce si la trayectoria existe o
no.
Ahora maxwell se puede decir que el completo o generalizo la ley de ampere
debido a que en la ley de ampere se encontraban algunas inconsistencias, por
ejemplo en un capacitor de placas paralelas entra una corriente y sale la misma
corriente en la misma dirección pero entre las placas no hay una corriente lo que
hay es un campo eléctrico, entonces como podemos encontrar una corriente
dentro del capacitor si lo que hay es un campo eléctrico, es donde entra Maxwell y
completa la ley de ampere, Maxwell induye que hay una corriente de
desplazamiento la cual es generada por la variación del campo eléctrico con
respecto al tiempo
Ahora tendremos en cuenta lo siguiente, llamaremos a Jd a la corriente de
desplazamiento, entonces
𝐽𝑑 = 𝜀0
𝜕𝑬
𝜕𝑡
𝑬=
1
1 𝑸
𝝑=
𝜺𝟎
𝜺𝟎 𝑨
Donde 𝜗 es una
constante del flujo
electrico
Entonces tambien es importante aclarar que
𝜕𝑬
1 𝜕𝑄
=
𝜕𝑡 𝜀0 𝐴 𝜕𝑡
Donde
𝜕𝑄
𝜕𝑡
es igual a
la corriente
𝜕𝑬
1
=
𝐼
𝜕𝑡 𝜀0 𝐴
En este punto podemos ver que un campo eléctrico genera una corriente y que
dicha corriente se encuentra en una trayectoria cerrada, esa corriente genera un
campo magnético, entonces un campo eléctrico que varia en el tiempo nos va a
generar un campo magnetico
Procedemos a agregarle la modificación de Maxwell a la ley de ampere
∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝒔 = 𝝁𝟎 𝑰𝒆𝒏𝒄 + 𝜇0 𝜀0
𝑐
𝜕𝑬
. 𝑑𝐴
𝜕𝑡
Veamos la misma ley pero en diferencial
∇x𝐵 = 𝜇0 𝐽 + 𝜇0 𝜀0
𝜕𝑬
𝜕𝑡
CON ESTO CONCLUYE ESTE INFORME GRACIAS POR SU TAENCIÓN
BIBLIOGRAFIA
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/299010/Carpeta_AVA/Fisica_2.pdf
documentos enviados por el profesor (ecuciones de maxwell pdf en ingles, videos)
http://www.buscabiografias.com/biografia/verDetalle/2079/James%20Clerk%20Ma
xwell
http://www.buscabiografias.com/biografia/verDetalle/6230/Andre%20Marie%20Am
pere
http://www.asifunciona.com/biografias/ampere/ampere.htm
https://www.youtube.com/watch?v=G6PzOw-hmiw
https://www.youtube.com/watch?v=ymrUA_mS29U&t=44s