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Geometría Espacial II
Geometría Tridimensional o Espacial
Los conceptos dados en geometría plana son aplicables de cierto modo en la
geometría espacial. Por lo tanto, las ideas de punto, recta y plano se
analizarán desde la óptica espacial, pues si bien en la geometría plana puntos
y rectas se hallan dentro del plano, en la geometría espacial no sucede así: en
este caso los puntos y las rectas pueden ser exteriores a él.
Plano tridimensional
En este sistema los ejes
son:
Eje “x”: Eje de las abscisas
Eje “y”: Eje de ordenadas
Eje “z”: Eje de cotas.
Distancia entre dos Puntos en el Espacio
En la figura 1 observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que
generan también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ.
Ecuación Vectorial de la recta en el espacio
Para definir una recta bastan dos puntos o un punto y un vector director. Sean los puntos
𝑃0 (𝑋0 , 𝑌0, 𝑍0 ) y 𝑃1 (𝑋1 , 𝑌1, 𝑍1 ). La recta que pasa por ambos puntos se puede determinar
mediante la siguiente ecuación vectorial:
Dados los puntos 𝑃0 (𝑋0 , 𝑌0, 𝑍0 ) y 𝑃1 𝑋1 , 𝑌1, 𝑍1 la
dirección de la recta que para por dichos puntos
queda determinada por un vector director:
Para todo punto P(x,y,z) que pertenece a la recta,
existe un número real 𝜆 tal que:
Cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos son objetos de tres dimensiones limitados por caras o
superficies finitas. Si las caras son polígonos, los cuerpos se denominan poliedros. Si
tienen al menos una cara curva entonces los cuerpos de denominan cuerpos
redondos.
Poliedros ejemplos:
 Cubo
 Paralelepípedo
 Prisma
 Pirámide
Cuadro resumen de áreas y Volúmenes de cuerpos geométricos
Cuerpos redondos
Son aquellos cuerpos que tienen al menos una cara curva. El cilindro, el cono y la
esfera son ejemplos de cuerpos redondos. Una característica en común de estos
cuerpos redondos es que se pueden obtener como rotación en 360 de una figura
plana con respecto a un eje de rotación .
Cilindro
El cilindro se puede obtener mediante una
rotación de un rectángulo en 360 con respecto a
uno de sus lados.
Cono
Generatriz (g): es el segmento recto que une el vértice
con un punto de la circunferencia basal.
El radio, la altura y la generatriz del cono forman un
triángulo rectángulo, siendo la generatriz la hipotenusa
del triángulo. Luego, se puede aplicar el teorema de
Pitágoras:
Esfera
La esfera se puede obtener mediante rotación
de un semicírculo en 360 en torno al diámetro
de la circunferencia al rotar un semicírculo de
centro O en 360 torno al diámetro AB.
Posiciones de dos rectas en el espacio
Teoremas y propiedades relativas a rectas y planos en el espacio
 Rectas paralelas: Dos rectas paralelas siempre están contenidas en un mismo plano.
 Rectas alabeadas: Dos rectas alabeadas no se interceptan y no existe un plano que
las contenga.
Rectas secantes: Dos rectas secantes son siempre coplanares (están en un mismo plano).
Posiciones de dos planos en el espacio
Planos paralelos: Dos planos paralelos no tienen un punto en común.
Planos secantes: Dos planos secantes se interceptan en una línea recta.
Planos y rectas perpendiculares
Dos rectas perpendiculares son secantes y se interceptan formando ángulos rectos.
Recta perpendicular a un plano: Una recta es perpendicular a un plano si todas las rectas del plano
que pasan por el punto de intersección de la recta con el plano son perpendiculares a ella.
En la figura, todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección de L con el plano son
perpendiculares a ella.
Planos perpendiculares: Dos planos son perpendiculares si uno de ellos contiene una recta
perpendicular al otro plano.
FIN