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FACTORIZACIÓN
Factorización por factor común
Esta será la primera factorización que se aplique a cualquier expresión algebraica de acuerdo a lo siguiente:
1. Se observa si la expresión algebraica cuenta con un término común, en el caso de las letras se toman las
literales comunes con menor exponente, en el caso de los números se obtiene el máximo común divisor,
de esta manera obtenemos el término o factor común recordando que este deberá ser direfente a uno.
2. Una vez encontrando el término común se busca el otro factor el cual es el resultado de la división de la
expresión entre el término común.
3. Se establece con dichos factores la factorización.
Ejemplos
1)
6 x 2 y 3  32 x3 y 3  48 x 2 y
Factorización
 Literales (términos comunes con menor exponente) :
 Números máximo común divisor: 2
 6 x 2 y 3  32 x3 y 3  48 x 2 y 

2 x 2 y
2

2
y
x


2
2
2
 2 x y 3 y  16 x y  24


2) 2 x  3 y  5 z  10 w
Factorización
 No hay literal común
 Máximo común divisor =1
Factorización diferente a 1
Si w igual a uno se debe buscar otra factorización.
Ejercicio
a)
3
2
a a a
 a3  a 2  a 
a

a


 aa 2  a  1
2
x y
b)
4 x2  8 x  2 x4
 4 x2  8x  2 x4 
2 x

2x


 2 x2 x  4  x3
c)
10 x 2 y  20 xy  40 x 2 y 3  60 x 2 y 4
 10 x 2 y  20 xy  40 x 2 y 3  60 x 2 y 4 

10 xy

10
xy



 10 xy x  2  4 xy2  6 x y 3
d)

25 x3 y 2  45 x y 2  35 x 2 y 4
25=52, 45=32*5, 35=7*5
 25 x3 y 2  45 x y 2  35 x 2 y 4 

5 x y 2 
2

5
x
y


2
2
2
 5 x y 5 x  9  7 xy


Factorización por agrupación o asociación
Esta factorización se puede aplicar siempre y cuando el número de términos de la expresión
algebraica sea un número tal que se puedan formar parejas.
Procedimiento
1. Se agrupan las parejas que tienen factor común
2. Cada pareja se factoriza por el método del factor común, de tal manera que los términos
que resulten dentro de los paréntesis deberán ser iguales de lo contrario se tendrá que
buscar otra combinación.
3. La factorización se obtiene con el producto de los términos que quedaron dentro del
paréntesis por los factores comunes que resultaron en la aplicación del primer método.
Ejemplo
1)
ax  bx  ay  by
 x ( a  b)  y ( a  b)
 ( x  y )( a  b)
iguales
Comprobación
(a  b)  ( x  y )  ax  bx  ay  by
2)
2 x 2  3xy  4 x  6 y
x(2 x  3 y )  2(2 x  3 y )
 (2 x  3 y )( x  2)
3)
2
2
2
3
2
a x  a x  2 a y  2axy  x  2 x y
ax(a  x)  2ay (a  x)  x 2 ( x  2 y )
iguales
Diferentes, hay que buscar otra combinación
2
3
2
2
a x  a x  x  2 a y  2axy  2 x y
x(a 2  ax  x 2)  2 y (a 2  ax  x 2)
2
 (a 2  ax  x 2)( x  2 y )
Otra opción
2
2
2
3
2
a x  2 a y  a x  2axy  x  2 x y
2
2
a ( x  2 y )  ax( x  2 y )  x ( x  2 y )
 ( x  2 y )( a 2  ax  x 2)
Ejercicio
a)
3 m2  6mn  4m  8n
3m(m  2n)  4(2m  2n)
 (m  2n)(3m  4)
b)
x  z 2  2ax  2a z 2
 2ax  x  z 2  2a z 2
x ( 2a  1)  z 2 (1  2a )
 ( x  z 2)(1  2a )
c)
3ax  3x  4 y  4ay
3x(a  1)  4 y (1  a)
 (3 x  4 y )( a  1)
d)
ax  ay  az  x  y  z
ax  x  ay  y  az  z
x(a  1)  y (a  1)  z (a  1)
 ( x  y  z )( a  1)
e)
2
2
2
x a xa x
2
2
2
x xa a x
x ( x  1)  a 2 (1  x )
 ( x  a 2)( x  1)
a2
- b2
a
b
= (a + b)(a - b)
En una diferencia de dos cuadrados perfectos.
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.
Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de
2)
ellas.
Ejemplo 1: Factorizar 16x2 - 1
La raíz cuadrada de : 16x2 es 4x
La raíz cuadrada de : 1 es 1
Luego 16x2 - 1 = (4x + 1)(4x - 1)
Ejemplo 2: Factorizar 4x2 - 81y4
La raíz cuadrada de : 4x2 es 2x
La raíz cuadrada de : 81y4 es 9y2
Luego 4x2 - 81y4 = (2x + 9y2)(2x - 9y2)
Ejemplo 3: Factorizar 100a2b4c8 - 169d10e14
La raíz cuadrada de : 100a2b4c8 es 10ab2c4
La raíz cuadrada de : 169d10e14 es 13d5e7
Luego 100a2b4c8 - 169d10e14 = (10ab2c4 + 13d5e7)(10ab2c4 - 13d5e7)
x2
4y2n
- ----- =
Ejemplo 4: Factorizar --25
81
x2
x
La raíz cuadrada de : -- es 25 5
4y2n
2yn
La raíz cuadrada de : ------ es 9
81
x2
Luego: --25
4y2n
x
2yn
x 2yn
- ----- = (-- + -----) (-- - ----)
81
5
9
5
9
Casos Especiales
a2n - b2n = (a n + bn)(an - bn)
an bn
En una diferencia de dos cuadrados perfectos.
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.
Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de
2)
ellas.
Ejemplo 1: Factorizar (x + y)2 - z2
La raíz cuadrada de : (x + y)2 es (x + y)
La raíz cuadrada de : z2 es z
Luego (x + y)2 - z2 = [(x + y) + z][(x - y) - z]
Ejemplo 2: Factorizar (a + b)2 - (b + 5)2
La raíz cuadrada de : (a + b)2 es (a +b)
La raíz cuadrada de : (b + 5)2 es (b + 5)
Luego (a + b)2 - (b + 5)2 = [(a + b) + (b + 5)][(a + b) - (b + 5)]
= [a + b + b + 5][a + b - b + 5]
= [a + 2b + 5][a - 5]
Ejemplo 3: Factorizar 16(x + y)2 - 196(x - y)2
La raíz cuadrada de : 16(x + y)2 es 4(x + y)
La raíz cuadrada de : 196(x - y)2 es 14(x - y)
Luego:
16(x + y)2 - 196(x - y)2
= [4(x + y) + 14(x - y)][4(x + y) - 14(x - y)]
= [4x+ 4y + 14x - 14y)][4x + 4y - 14x + 14y)]
= [18x - 10y] [- 10x + 18y]
= [18x - 10y] [18y - 10x]
Ejemplo 4: Factorizar (x - y2 - z4)2 - 49(3m + 2n)2
La raíz cuadrada de : (x - y2 - z4)2 es (x - y2 - z4)
La raíz cuadrada de : 49(3m + 2n)2 es 7(3m + 2n)
Luego
(x - y2 - z4)2 - 49(3m + 2n)2 = [(x - y2 - z4) + 7(3m + 2n)][(x - y2 - z4) - 7(3m + 2n)]
= [x - y2 - z4 + 21m + 14n][x - y2 - z4 - 21m - 14n]
Guía 22: Ensayo prueba 1 de álgebra
Nombre:
Curso:
Fecha:
Instrucciones generales




Esta prueba de ensayo está constituida por 23 preguntas de selección múltiple. En cada caso
encierra en un círculo la alternativa correcta.
Cada pregunta debe tener su desarrollo escrito en la prueba, excepto aquellas que sean de
respuesta directa.
No uses calculadora.
El puntaje total es de 23 puntos.
1. Más allá de la forma, una expresión algebraica corresponde a:
A. Una agrupación de letras unidas por signos de operación.
B. Una agrupación de letras y números unidos por signos de operación.
C. La representación general de una cantidad numérica.
D. Una valoración.
E. Un polinomio.
2. La factorización de una expresión algebraica es:
A. Su descomposición como el producto de un factor.
B. Su descomposición como el producto de dos o más factores.
C. El orden conveniente de sus términos.
D. Simplificarla.
E. Amplificarla.
3. La simplificación de expresiones algebraicas es:
F. El proceso por el cual una expresión compleja se reduce a una más simple, pero
equivalente.
G. El proceso por el cual una expresión compleja se reduce a una más simple, pero
distinta.
H. El proceso por el cual una expresión compleja se transforma en número al dar
valores a sus variables.
I. Expresarlas como el producto de factores convenientes.
J. Multiplicarlas por su inverso multiplicativo.
Las preguntas 4, 5 y 6 están referidas al siguiente cuadro:
Símbolo
S
M1
H1
M2
H2
D
EM
EH
Significado
Valor
numérico
Número de semanas por año
Número de mujeres en primero medio
Número de hombres en primero medio
Número de mujeres en segundo medio
Número de hombres en segundo medio
Número de días de clase por año
Número de horas por semana que cada mujer escucha música
Número de horas por semana que cada hombre escucha música
52
230
246
215
213
180
18
15
4. El significado de la expresión M1  M 2   H1  H 2  es:
K. El número total de hombres y mujeres en enseñanza media.
L. El número total de hombres y mujeres en segundo medio.
M. El número total de hombres en enseñanza media.
N. El número total de mujeres en enseñanza media.
O. El número total de hombres y mujeres que cursan primero y segundo medio.
5. El significado de la expresión S  EM  EH  es:
A. El número total de horas que cada hombre escucha música.
B. El número de horas que hombres y mujeres escuchan música en un mes.
C. El número de horas que hombres y mujeres escuchan música en la semana.
D. El número de horas que hombres y mujeres escuchan música en el semestre.
E. El número de horas que hombres y mujeres escuchan música en el año.
6. Los valores numéricos de las expresiones M1  M 2   H1  H 2  y S  EM  EH  son
respectivamente:
F. 904 y 1716
G. 904 y 1715
H. 904 y 1720
I. 908 y 1715
J. 904 y 1714
7. En un polígono cualquiera, el número total de diagonales que se pueden trazar está
n  n  3
determinado por la fórmula: dn 
, donde n es el número de lados del
2
polígono. De acuerdo a esto, ¿Cuántas diagonales tiene un heptágono (7 lados)?
A.
B.
C.
D.
E.
12
13
14
15
16
En las preguntas 8, 9, 10 y 11 los colores corresponden a:
: Rojo (+)
8. La expresión algebraica que representa a la figura de la derecha es:
A.
B.
C.
D.
E.
x  3x  4
x  5x  4
x  5x  4
x  5x  4
x  5x  4
9. La expresión algebraica que representa a la figura de la derecha es:
A. y 2  y  12
B. y 2  y  12
C. y 2  7 y  12
D. y 2  7 y  12
: Azul (-)
E. y 2  2 y  8
10. La expresión algebraica que representa a la figura de la derecha es:
A. x  6
B. x 2  6
C. x 2  6
D. x x  6
E. xx  6
11. La expresión algebraica que representa a la figura de la derecha es:
A. y  7
B. y 2  7 y
C. y 2  7 y
D. y 2  7
E. y 2  7
12. La factorización de la expresión a 2  9a es:
A. a  9a
B. a  9
C. aa  9
D. aa  9

E. a a 2  9

13. La factorización de la expresión 6 z  z 2 es:
A. z6  z 
B. z6  z 
C. 6  z
D. 6  z
E. 7 z 3
14. La factorización de la expresión m 2  m  42 es:
A. m  7 y  6
B.
C.
D.
E.
m  1 y  42
m  2 y  21
m  7m  6
m  6 y  7
15. La factorización de la expresión z 2  6 z  16 es:
A.
B.
C.
D.
E.
z  8z  2
z  8z  2
z  8z  2
z  8z  2
z  6z  2
16. La factorización de la expresión x 2  10 x  25 es:
A.
B.
C.
D.
E.
x  5x  5
x  5x  5
x  5x  5
x  1x  25
x  10x  10
17. Al simplificar la expresión
9a 2 b
el resultado es:
3a
A.
ab
3
B.
ab
9
C. 9ab
D. 3ab
E. 9a 2 b
6x 4 y 2 z
18. Al simplificar la expresión
el resultado es:
36 xyz
A. 6 x 3 y
B. 3x 3 y
x3 y
6
x3 y
D.
36
2x3 y
E.
36
C.
19. Al simplificar la expresión
3ab  1
el resultado es:
b  1b
A. 3a
B. 3b
C.
ab
3
D.
3a
b
E.
3b
a
20. Al simplificar la expresión
2
3
3
B.
2
y 3
C.
y2
A.
 y  2 2
 y  2 y  3
el resultado es:
2 y
3 y
y2
E.
y 3
D.
21. Al simplificar la expresión
x 2  6 x  16
el resultado es:
x2
A. x  8
B. x  2
C.
1
x8
D.
1
x2
E.
x8
x2
22. Al simplificar la expresión
A.
z4
z2
B.
z
z2
C.
1
z2
D.
1
z4
z4
el resultado es:
z  2z  8
2
E. z  2
23. Observa la simplificación de la expresión
x
2

 9  y  2

 y  2   x  3
x  3x  3  y  2  x  3 y  2x  3 
x3
1 1 

 y  2 y  2 x  3 x  3 y  2 y  2
y2
2
x3
y2
Este resultado es válido siempre y cuando x  3 e y  2 . ¿Por qué se deben incluir
estas restricciones?
A. Porque con esos valores la expresión se hace igual a cero.
B. Porque al reemplazar cualquiera de estos dos valores en la expresión original,
ésta queda indefinida.
C. Porque al reemplazar esos valores en la expresión original, el numerador se hace
cero.
D. Porque la expresión se anula.
E. Porque dichos valores son números enteros.