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ESTADISTICA DESCRIPTIVA, PROF.
FRANCISCO HERRERA CATALINO
Medida estadística descriptiva
•
Para sistematizar los datos de los eventos que ocurren y se registran de formas caóticas,
se requiere la sistematización de los procesos estadísticos en la dirección de proporcional
orden, resumen y indicación. Este última se ofrece mediante un valor o indicador
característicos del contenido de la variable.
•
Expresión puntual de las características de la variable cuantitativa en término del valor
más frecuente, las posiciones de los fractiles o cuantiles, el valor de representación, la
dispersión o variabilidad, la potencia de desviaciones, la deformación de la distribución
con respecto al centro, la concentración con respecto al centro, estandarización de un
valor de la variable con respecto a su media y desviación estándar, la concentración de
un grupo pequeño con respecto a un grupo grande, la asociación o concordancia o
dependencia entre los elementos entre las frecuencias dos o mas de dos variables, entre
otras.
•
Nos referimos a la moda, la mediana, los cuartiles, los quintiles, los percentiles, la
media, los desvíos, la desviación media, la varianza, la desviación estándar, el
coeficiente de variación, Los momentos, el coeficiente de asimetría, el coeficiente de
curtosis, la puntuación estándar, el coeficiente Gini, el valor calculado Chi cuadrado, el
coeficiente de contingencia.
Primer resumen de medidas estadísticas descriptivas
relacionadas con la distribución de frecuencias
Fórmulas de medidas estadísticas
No.
Medida
Modelo y componentes
1
Recorrido o Rango
( R) o Amplitud
total
Número de clases
(Nc)
R= (Xmax – Xmin) +1, para variable discreta R= Xmax – Xmin :
para variable continua: R = recorrido o rango, Xmax = valor mayor
que toma la variable, Xmin = valor mínimo que toma la variable.
Criterio: 5 ≤ Nc ≤15, Fórmula de Sturges: Nc = 1 +(3.22 log n) y Raíz
cuadrada de (n o N), n = número de elementos en la muestra, log n =
logaritmo del la cantidad de muestra o de población para N.
2
3
Intervalo o Ancho
de la clase ( i )
i = R / Nc
: R = Recorrido,
Nc = número de clases, i = es el número
de valores en las clases en las que se dividió el recorrido
Xi = (Li + Ls) / 2 : Li = límite inferior de la clase, Ls = límite superior
de clase, Xi= valor representativo de cada una de las clases
4
Punto Medio (Xi)
5
Frecuencia relativa fiR = fi / Σfi , fiR = es el valor que expresa lo que representa la parte
(fiR)
del todo.
fi = frecuencia absoluta, Σfi = suma de las frecuencias absoluta
Moda
Mo = Li + [Δf1 / (Δf1 + Δf2)] * i , Δf1 = fmo - fi-1mo y Δf2 = fmo - fi+1mo i
(Mo)
= número de valores en la anchura del intervalo de clases,
6
Primer resumen de medidas estadísticas descriptivas
relacionadas con la distribución de frecuencias
Descripción de medidas estadísticas
No.
Medida
Descripción o definición
1
Recorrido o Rango ( R) o Es el valor que define el nivel de extensión de los valores que
Amplitud total
toma la variable cuantitativa
2
Número de clases (Nc)
Las partes en la que se divide el recorrido
3
Intervalo o Ancho de la
clase ( i )
Tamaño de las clases en las que se divide el recorrido
4
Punto Medio (Xi)
Expresión puntual del intervalo de clase de la variable
5
Frecuencia relativa (fiR)
Número que expresa las veces que la parte esta contenido en el
todo.
6
Moda (Mo)
Representa el valor o la categoría más frecuente o que ocurre
un mayor número de veces.
Segundo resumen de las medidas estadísticas descriptivas y
posición
Fórmulas de medidas estadísticas de valores simples y con la distribución de frecuencias
No. Medida
Modelo y componentes
7
Mediana
(Md)
8
Cuartil
(Ck)
9
Quintil
(Qk)
10
Decil
(Dk)
11
Percentil
(Pk)
Md = Li + { [(n/2) – fi-1A] / fmd }*i, k = 1
Li = límite inferior de la clase mediana k, n/2 = posición de la mediana k, fi-1A= frecuencia
acumulada anterior a la de la clase en la que está la mediana k, fmd = frecuencia absoluta en la clase
mediana k, i = numero de valores en la anchura del intervalo
Ck = Li + { [(nk/4) – fi-1A] / fCk }*i , k = 1,2,3,
Li = límite inferior de la clase cuartil k, nk/4 = posición del cuartil k, fi-1A= frecuencia acumulada
anterior a la de la clase en las que está el cuartil k, fCk = frecuencia absoluta del cuartil k, i =
elementos en la anchura del intervalo
Qk = Li + { [(nk/5) – fi-1A] / fQk }*i, k =1,2,3,4
Li = límite inferior de la clase quintil k, nk/5 = posición del quintil k, fi-1A= frecuencia acumulada
anterior a la de la clase en las que está el quintil k, fQk = frecuencia absoluta del quintil k, i =
elementos en la anchura del intervalo
Dk = Li + { [(nk/10) – fi-1A] /fDk }*i , k = 1,2,3,…,9
Li = límite inferior de la clase decil k, nk/10 = posición del decil k, fi-1A= frecuencia acumulada
anterior a la de la clase en las que está el decil k, fDk = frecuencia absoluta del decil k, i =
elementos en la anchura del intervalo
Pk = Li + { [(nk/100) – fi-1A] /fPk }*i , k =1,2,3,…, 99
Li = límite inferior de la clase percentil k, nk/100 = posición del percentil k, fi-1A= frecuencia
acumulada anterior a la de la clase en las que está el percentil k, fPk = frecuencia absoluta del
percentil k, i = elementos en la anchura del intervalo
Segundo resumen de las medidas estadísticas descriptivas y
posición
Fórmulas de medidas estadísticas de valores simples y con la distribución de frecuencias
No. Medida
Modelo y componentes
7
Mediana
(Md)
8
Cuartil
(Ck)
9
Quintil
(Qk)
10
Decil
(Dk)
11
Percentil
(Pk)
Medida estadística de posición que se ubica en el centro de la distribución organizada de los
valores, dividiendo el grupo en dos partes iguales, de modo que la cantidad de valores inferiores a
la mediana son iguales a los superiores.
Son tres medidas de posición, que resultan de la división del grupo de valores organizados en
cuatro partes iguales, dejando valores inferiores del 25% para el primer cuartil, del 50% inferiores
para el segundo cuartil y del 75% de valores inferiores y el 25% de valores superiores para el
tercer cuartil.
Son 4 medidas de posición, que resultan de la división del grupo de valores organizados en cinco
partes iguales, dejando valores inferiores del 20% para el primer quintil, del 40% inferiores para el
segundo quintil , del 60 % de valores inferiores para el tercer quintil y el 80% de valores inferiores
y el 20% superiores para el cuarto quintil
Son 9 medidas de posición, que resultan de la división del grupo de valores organizados en diez
partes iguales, dejando valores inferiores del 20% para el primer cuartil, del 50% inferiores para el
segundo cuartil y del 75% de valores inferiores y el 25% de valores superiores para el tercer
cuartil
Son 99 medidas de posición, que resultan de la división del grupo de valores organizados en cien
partes iguales, dejando valores inferiores del 25% para el primer cuartil, del 50% inferiores para el
segundo cuartil y del 75% de valores inferiores y el 25% de valores superiores para el tercer
cuartil
Medidas estadística de representación
No. Medida y descripción
Modelo y componentes
12
Media Aritmética ( o )
Para hallar el valor representativo
del conjunto que toma la variable
cuando se distribuye en forma
aritmética
1.1
= Σxi / n,
1.2  = Σxi / N
2.1
= Σxifi / n
2.2  = Σxifi / N
n = número de elementos en la muestra, xi = valor que
toma la variable, fi = frecuencia con la que ocurre el valor
de la variable, N = número de elementos en la población
13
Media Geométrica (Mg)
Para hallar el valor representativo
del conjunto que toma la variable
cuando se distribuye en forma
geométrica
1.1 Mg = nxi, para valores simples. 1.2 Mg =Antilog
(Σlog xi / n),
1.3 Mg = n (xifi), en distribución de frecuencias. n =
número de elementos en la muestra,  = producto de los
valores, log xi = logaritmo en base 10
14
Media Armónica: (Mh)
Para hallar el valor representativo
del conjunto que toma la variable
cuando se distribuye en forma
armónica
1.1 Mh = n / Σ(1/xi), para valores simples. 1.2 Mh = n /
Σ(fi / xi), en distribución de frecuencias; n = número de
elementos en la muestra, xi = valor de la variable, fi=
frecuencia
Medidas de variabilidad o de dispersión
No.
Medida
Modelo y componentes
15
Desvíos
(d, D)
1.1 d = (xi- ), 1.2 (xi - ), xi = valor de la variable, = media aritmética
muestral; d = desvíos muestral , D = desvíos poblacional
16
Desviación
1.1 dm = Σ │xi - │ 1.2 Dm = Σ │(x - │ 2.1 dm = Σ │xi - │fi,
media (dm, Dm) 2.2 Dm = Σ │x -  │fi ; xi = valor de la variable, = valor de la media
muestral,  = media poblacional, fi = frecuencia absoluta; dm = desviación
media muestral , Dm = desviación media de la poblacional
Varianza
1.1 s2 = Σ (xi - )2 ,
1.2 2 = Σ (x - )2
(s2, 2)
2.1 s2 = Σ (xi - )2fi, 2.2 2 = Σ (x - )2fi xi = valor de la variable, =
valor de la media muestral,  = media poblacional, fi = frecuencia absoluta;
s2 = varianza muestral , 2 = varianza poblacional
Desviación
1.1 s =  Σ (xi - )2 , 1.2  =Σ (x - )2 2.1 s =  Σ (xi - )2fi,
estándar (s, ) 2.2  =Σ (x - )2fi xi = valor de la variable, = valor de la media
muestral,  = media poblacional, fi = frecuencia absoluta; s = desviación
muestral ,  = desviación poblacional
Coeficiente de
1.1 cv = (s / )*100 , 1.2 CV = ( / )*100,
variación
s = desviación estándar muestral, = valor de la media muestral
(cv, CV)
 = media de la población; cv = coeficiente de variación muestral , CV =
coeficiente de variación poblacional
17
18
19
Medidas de variabilidad o de dispersión
No.
Medida
Descripción de la medida
15
Desvíos
(d, D)
Son diferencias de cada valor que toma la variable cuantitativa con
respecto al valor medio u otro valor
16
Desviación media
(dm, Dm)
Son diferencias, en valor absoluto, de cada valor que toma la
variable cuantitativa con respecto al valor medio u otro valor.
17
Varianza
(s2, 2)
Valor promedio cuadrático que expresa el nivel de dispersión,
considerando cada uno de los valores que toma la variable con
respecto al valor medio u otro valor .
18
Desviación
estándar (s, )
Valor promedio lineal que expresa el nivel de dispersión,
considerando cada uno de los valores que toma la variable con
respecto al valor medio u otro valor .
19
Coeficiente de
variación
(cv, CV)
Valor que resulta de la relación entre la desviación estándar y la
muestra para establecer la parte que representa la desviacion
estándar con respecto a la media.
Medidas de formas de la distribución
No. Medida y descripciones
Modelo y componentes
20
Momentos ( Mr ):
Son potencias de desvíos con
respecto a la media u otro valor de la
variable . Apoyan la determinación
del coeficiente de asimetria y el
coeficiente de curtosis
1.0 Mr = Σ (xi - )rfi , r = 1,2,3,4;
1.1 M1 = Σ (xi - )1fi = 0
1.2 M2 = Σ (xi - )2fi = a la varianza,
1.3 M3 = Σ (xi - )3fi ,
1.4 M4 = Σ (xi - )4fi
r = potencia de los desvíos, xi = valor de la variable,
 = media poblacional, fi = frecuencia absoluta
21
Coeficiente de asimetría ( Cas ):
Mide el nivel de deformación de la
distribución de los valores que toma
la variable cuantitativa
1.1 Cas = M3 /3,
Momento 3,
3= desviación estándar al cubo
22
Coeficiente de curtosis ( CK ) :
Mide el nivel de concentración y
1.1 CK = M4 / (M2)2,
frecuencia de los valores que
presenta la distribución de la variable M2 = Momento 2, Momento 4
Medidas de coeficientes estadísticos
No. Medida
23 Puntuación
estándar
(Pe, P.E)
24 Coeficiente Gini
( Ig )
25
Coeficiente de
confiabilidad
(alpla)
26
Coeficiente Chi
cuadrado
Coeficiente de
contingencia
27
Modelo y componentes
1.1 Pe = (xi- )/s y 1.2 P.E = (xi - ) / ,
xi = valor de la variable, = valor de la media muestral,  = media
poblacional
Ig = Σ(i=1,i=N-1) (Pi – Qi) / Σ(i=1,i=N-1) Pi ,
Ig = 1- ( Σ(i=1,i=N-1) Qi / Σ(i=1,i=N-1)Pi)
Pi = porcentaje acumulado de la población
Qi = porcentaje acumulado del ingreso
Alpha = (k/k-1) (1- Σ(i=1, i=k) si2/st2),
si2 = varianza de los ítems, st2 = varianza total, k = número de ítems
Alpha estandarizado = kp/1+p(k-1), k = número de ítems, p = promedio
de las correlaciones lineales entre cada uno de los ítems (se tienen [k(k1)/2] pares de correlaciones
2 = Σ (fo-fe)2/fe,
fo = frecuencia observada, fe = frecuencia esperada
C =  (2/ 2+n),
2 = valor chi cuadrada, n = número elementos de la muestra
{\displaystyle C={\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{\chi ^{2}+N}}}}
Medidas de coeficientes estadísticos
No. Medida
22 Puntuación
estándar
(Pe, P.E)
23
Coeficiente Gini
( Ig )
24
Coeficiente de
confiabilidad
( α = alpha de
Cronbach)
25
Coeficiente Chi
cuadrado
26
Coeficiente de
contingencia
Descripciones
Es un coeficiente que estandariza el valor de la variable con respecto al
valor medio, considerando la desviación estándar. Media y desviación
estándar son constante. P.E toma valores de 0 cuando corresponde a la
media.
Proporciona un valor de la forma en que los valores de una variable se
concentran en pocas unidades. El valor máximo Gini es el 1 y el mínimo
es 0. Mientras más próximo a 0 menor concentrado están los recursos.
Medida que produce un valor para establecer el nivel consistencia
interna de una conjunto variables de medición ordinal o numérica las
que se presentan con una misma escala. Mientras mas se aproxima a 1.
los ítems son más consistentes. En otro orden, mientras pasen del 60% o
menos serán menos consistentes.
Produce un coeficiente que expresa cuanto están asociadas , dependen
o se relacionan las categorías de una o las categorías contingentes en
dos variables .
Una medida de la intensidad entre las categorías de dos variables. El
valor puede estar entre 0 y 1.
Práctica conceptual de las medidas estadísticas (1-10)
No.
Expresión o afirmación
1 Cuando la media carece de representatividad es recomendable utilizar la mediana u otros
fractiles, porque no les afectan la dispersión
2 Cuatro importante medidas de variabilidad son la varianza, la desviación estándar, la
moda y el coeficiente de variación
3 El coeficiente de simetría proporciona un valor que define el nivel de concentración o
apuntalamiento de la distribución de la variable cuantitativa
4 El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa que define la cantidad
de desviación estándar con respecto a la media
5 La dispersión de un conjunto de valores de una variable cualitativa nos permite conocer
el nivel de confiabilidad de las medidas de tendencia central, de la media aritmética
6 La frecuencia relativa o la proporción expresa mediante un número las veces que se
encuentra la parte considerada en el todo
7 La media aritmética es la media de tendencia central que mejor describe los siguientes
valores { 1,8,15,17,23,512}
8 La media aritmética produce un valor que divide el grupo en dos partes iguales
9 La mediana del siguiente conjunto de valores {2,5,7,1,3} es 7 y de {4,6,6,8,7,5} es 6
10 La medida de dispersión que permite una más efectiva comparabilidad con media
aritmética es la varianza
F
V
Práctica conceptual de las medidas estadísticas (11-20)
No.
Expresión o afirmación
11 La puntuación estándar de una media igual a 90 cuando desviación estándar es 15 con respecto a un valor de
75. Significa que este valor se coloca a 1 desviación estándar por encima de la media
12 Las varianzas de los siguientes conjuntos de valores A= {0,0,0,0,0,0} es 0 y la B = {1,1,1,1,1} es 12
13 Los momentos 4 y 2 se utilizan para calcular el coeficiente de asimetría, el cual produce un valor el nivel de
sesgo o deformación de la distribución con respecto al valor medio
14 Si el percentil 60, P60 = 70 en la puntuación de 80 alumnos en un examen en base 100 de matemática 1, con
mínimo de aprobación de 70. El valor de P60 = 70, significa que el 60% de los estudiantes aprobó la
matemática I.
15 Si la media aritmética del número de autos vendidos por mes, en un negocio es 12 y la varianza es 4, el
coeficiente de variación es 16.67%
16 La principal debilidad de la media aritmética se produce cuando los valores de la variable se extremizan o
alejan.
17 La desviación estándar del peso de la población de aficionados inscritos en un gimnasio de 65 libras,
significa que del conjunto de valores de pesos de los aficionados, la diferencia cuadrática de cada uno de los
valores que toma la variable peso con respecto a la media aritmética es 65 libras.
18 Si la media aritmética de los valores 9,7,5,3,1, referido a los minutos en que tiene efecto un analgésico que
es 5 minutos. Significa que 5 divide el grupo de prueba, en dos partes iguales, es decir dos antes y dos
después de él. Como son 5 valores de medición, deja 2 superiores antes y 2 inferiores después.
19 Un valor del coeficiente de asimetría de Cas = -1, significa que los valores más frecuentes, de los que toma
la variable cuantitativa son mayores que la media aritmética
20 El coeficiente de variación del número de autos vendidos por mes durante un año por un negocio de CV =
16.67%, significa que el valor de la desviación estándar con respecto a la media es de 16.67%
F
V