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CÁLCULO DE CAMPOS ELÉCTRICOS
Y MAGNÉTICOS
Universidad Nacional de Colombia
Física 1000017
G09N30MANUEL
Marzo 2012
Cálculo de Campo Eléctrico
 Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una
distribución lineal de carga λ.
y
x=0
x=L
x=b
x
q= λ x
E
d=b-L
x
Cálculo de Campo Eléctrico
 La longitud L debe tener una carga total q; la distancia entre el punto b y
el extremo más cercano de la distribución de carga es d=b-L
 La distribución de carga λ situada a lo largo del eje x, es la razón de la
carga total sobre la longitud total que a su vez debe ser igual a la razón de
tomar pequeñas fracciones de estas: λ = q/L = q/ x, por consiguiente la
carga esta dada por: q= λ x
 El campo E en el punto b está en la dirección positiva del eje x y su
magnitud se expresa: E = k q/x2 = k λ x/x2
 Cada elemento produce un campo en la dirección x positiva que al sumarlos
producen el campo total en el punto b debido a todos esos segmentos,
aunque están a distancias diferentes, el cual se calcula mediante la
ecuación de campo eléctrico de una distribución continua de carga:
Cálculo de Campo Eléctrico
b
E = d (k λ dx/x2)
donde los límites se extienden desde el extremo más cercano al punto b, de la
distribución de carga (x=b-L=d) hasta el más lejano (x=b). Como k y λ son
constantes, se sacan de la integral, y se resuelve:
b
E = k λ d dx/x2
E = k λ ((-1/b)-(-1/d))
E = k λ ((1/d)-(1/b))
Esta expresión final es la que nos permite calcular directamente el campo
eléctrico en un punto producido por una distribución lineal de carga,
conociendo la distancia del punto con los extremos de dicha distribución.
Cálculo de Campo Eléctrico
Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una
distribución lineal de carga λ.
y
Ey
y=b
x=-L/2
Ex=0
x=0
L
dx
x=L/2
x
Cálculo de Campo Eléctrico
 Se calcula el campo eléctrico en b debido a un elemento de longitud dx, el cual
tiene una carga λ dx. Utilizando el mismo principio del punto anterior, solo que
con dos componentes del campo eléctrico (en x y en y) y por ende un ángulo de
incidencia, se debe hacer un cambio de variable de x a utilizando el hecho de
que x =y tan
y que dx =y sec2 d
y se integra sobre .De este modo
obtenemos que el campo eléctrico en y, esta dado por:
Ey = k λ (sen + sen )/b
Ey = 2k λ sen /b
 La componente
Ex paralela al elemento dx, debe ser nula debido a que la
componente perpendicular de cualquier elemento se cancela con la componente
perpendicular de un elemento que este al lado opuesto de la distribución. Por ende
la resultante del campo eléctrico en el punto b, solo tiene componente en y la cual
ya está expresada en la ecuación última.
Cálculo de Campo Eléctrico
Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de
radio a con una distribución lineal de carga λ.
Halle una expresión para E(y)
y
E2
Ey
E1
y=b
Ex=0
h
(0,0)
a
q
x
Cálculo de Campo Eléctrico
 La distribución lineal tiene una carga total q, por lo tanto la magnitud del
campo eléctrico en el punto b debido a un pequeño segmento de carga q, se
puede expresar como:
E = k q/h2
 El cual posee una componente en y dada por Ey = Ecos , a lo largo del
eje del aro, y una componente Ex=0 perpendicular a dicho eje, nula debido
a que el campo resultante en b debe estar a lo largo del eje y, ya que la
componente perpendicular de cualquier elemento se cancela con lo
componente perpendicular de un elemento que este al lado opuesto del aro.
 Ahora, hallamos h= b2+a2 y cos =b/h
y combinamos estas ecuaciones con las primeras que enunciamos
Cálculo de Campo Eléctrico
Ey = Ecos = (k q/h2)(b/h)
Ey = (k b q)/ (b2+a2)3
 En el aro todos los segmentos tienen exactamente la misma contribución
para el campo eléctrico en el punto b, debido a la igualdad en todas sus
distancias con dicho punto; por lo tanto se pueden sumar fácilmente todos
estos segmentos para obtener el campo eléctrico total en b, así:
Ey = [(k b q)/ (b2+a2)3]
Con este resultado se puede observar que si b=0, entonces el campo
eléctrico seria cero, como ya lo hemos estudiado.
Cálculo de Campo Magnético
Calcule el campo magnético en el punto b producido por una
corriente I que circula por el aro de radio a .
Halle una expresión para B(y)
y
dB θ
dBx
dBy
y=b
h
(0,0) a
I
θ
h
ds
x
Cálculo de Campo Magnético
 El aro se encuentra en el plano xz, por lo que b es un punto axial (en eje y).
 Cualquier elemento ds es perpendicular a h y como todos estos elementos
alrededor del aro están a la misma distancia de b se tiene: h2=b2+a2; así la
magnitud de dB debida al elemento ds se describe como:
dB= ( 0I|ds X h|) =
0I ds
4 h2
4 (b2+a2)
 La dirección de dicho campo magnético es perpendicular al plano formado
por h y ds; el vector dB puede ser descrito por sus componentes dBy a lo
largo del eje y; y su componente dBx paralelo al plano xz, la cual se cancela,
al sumarse sobre todo el aro dando resultar cero por simetría dado que la
componente de un lado del aro tiene una componente perpendicular que se
cancela con la componente de un elemento diametralmente opuesto.
Cálculo de Campo Magnético
 El campo magnético resultante en el punto b debe estar a lo largo del eje y,
determinado al integrar la componente dBy = dBcosθ, obtenido al
descomponer el vector dB en sus componentes, es decir, B = jBy, donde By
está dado por:
By= dB cosθ = ( 0I/4 ) [ (ds cosθ/b2+a2)]
Donde la integral debe ser calculada sobre todo el aro, y como θ, b y a son
constantes para todo elemento del aro, y además cosθ=a/ b2+a2, se tiene:
By =
0I a
ds = 0 I a2
4
(b2+a2) 3
2 (b2+a2) 3
Donde se asumió que ds= 2 a, lo cual describe la circunferencia del aro.
De este modo se obtiene el campo magnético en el punto deseado, ya que se
conocen todos los términos de la expresión final.
Cálculo de Campo Magnético
Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el campo
magnético de una corriente I que fluye por un alambre de
longitud infinita
y
Y=b
h
2
h
1
ds
|ds|=dx
O
I
a
x
Cálculo de Campo Magnético
 El elemento ds está a una distancia h del punto b, se nota que la dirección
del campo magnético en b dada la corriente es hacia afuera. Para calcular el
campo magnético en b se considera O como el origen, |ds|=dx, y r como el
vector unitario dirigido hacia afuera, relacionando estas expresiones:
ds X h = r|ds X h|= r(dx senθ)
Aplicando esto a la Ley de Biot & Savart y con dB = r dB, se tiene:
dB = 0Idx senθ / 4 h2
Se deben relacionar todas las variables para lograr integrar la expresión
h = b/sen θ = b cscθ
,
tanθ = -b/x
x = -b cotθ
,
dx = b csc2θ dθ
Cálculo de Campo Magnético
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de la Ley de biot & Savart:
dB = 0I b csc2θ senθ dθ / 4 b 2 csc 2θ
dB = 0I senθ dθ / 4 b
 Ahora, con la expresión en términos solo de θ se puede obtener el campo
magnético total en el punto b integrando sobre toda la región del alambre,
esto es, todos los elementos que subtienden ángulos comprendidos entre θ1 y
θ2, de esta manera:
θ1
B = ( 0I/4 b)
θ2
senθ dθ
B = ( 0I/4 b)(cosθ1 - cosθ2)
Cálculo de Campo Magnético
 Este resultado es aplicable a cualquier alambre recto al cual se le
quiera determinar el campo magnético en algún punto. En este caso
puntual en el que se supone el alambre con longitud infinita se puede
considerar el ángulo θ1 = 0, y el ángulo θ2 = , de este modo:
(cosθ1 - cosθ2) = (cos0 - cos ) = 2 y la ecuación del campo magnético
queda entonces como sigue:
B = 0I/2 b
 Inherente al campo magnético son las líneas de campo magnético, las
cuales son círculos concéntricos al alambre y están en un plano
perpendicular a este. La magnitud del campo magnético B es
constante en cualquier circulo de radio b, proporcional a la corriente y
decrece con la distancia al alambre.
REFERENCIAS
 FÍSICA TOMO II. Tercera edición revisada (segunda edición en
español). Raymond A. Serway. McGRAW-HILL