Download T6G09N07

Cálculo de Campos Eléctricos y Magnéticos
Universidad Nacional de Colombia
Física 1000017
G09N07carlos
2012
Cálculo de Campo Eléctrico
• Calcule el campo eléctrico en el punto b
producido por una distribución lineal de carga λ.
•
x=0
x=L
x=b
Campo Eléctrico E sobre el Eje de una
Carga Lineal Finita
Una carga uniforme Q, distribuida a lo largo del
eje x desde x=0 a x=L, con densidad de carga
lineal λ= Q/L.
y
Para determinar el campo
eléctrico producido por
dq= λ dx
x=b
dicha carga en el punto
X=0
X=L
x
dx
x
x=b sobre el eje x en x=0,
siendo x0>L. Tomamos un elemento dq=λdx de la
carga lineal para considerarla como una carga
puntual.
0
Campo Eléctrico E sobre el Eje de una
Carga Lineal Finita.
Elegimos un pequeño elemento diferencial dx
que dista x del origen.
El punto del campo x=b se encuentra a una
distancia r=x0-x del elemento diferencial dx.
El campo eléctrico E debido a este elemento de
carga esta dirigido a lo largo del eje x y su
magnitud de acuerdo con la ley de Coulomb es:
kdq Ù
kdq
kl dx
dE = 2 r = dEx =
=
2
2
r
( x0 - x) ( x0 - x)
Campo Eléctrico E sobre el Eje de una
Carga Lineal Finita.
Para determinar el campo total integramos para
toda la carga lineal completa desde x=0 a x=L;
Ex = kl ò
L
0
L
dx
( x0 - x)
é 1 ù
= kl ê
ú
ë x0 - x û0
2
ì
ü
ì 1
ï
ï
1ü
L
= kl í
ý = kl í
ý
ï
î x0 - L x0 þ
î x0 ( x0 - L ) ï
þ
Aplicando λ=Q/L tenemos el campo eléctrico Ex:
kQ
Ex =
x0 (x0 - L)
Campo Eléctrico E sobre el Eje de una
Carga Lineal Finita.
kQ
Ex =
x0 (x0 - L)
Puede verse que si x0 es mucho mayor que L, el
campo eléctrico en x0 es aproximadamente:
kQ
E= 2
x0
Lo que nos demuestra que si estamos
suficientemente lejos de la carga lineal, está se
comporta como una carga puntual.
Cálculo de Campo Eléctrico
Calcule el campo eléctrico en el punto b producido
por una distribución lineal de carga λ.
y=b
x=-L/2
x=0
x=L/2
Campo Eléctrico en un Punto de la
Mediatriz de una Carga Lineal Finita
Uniforme.
y
dE
dEy
θ
dEx
Y=b
θο
θ
r
dq= λdx
½L
0
dx
x
Teniendo en cuenta el esquema de la diapositiva
anterior, el elemento cargado se encuentra
sobre el eje x, desde x1=-L/2 a x2=L/2, y el punto
b sobre el eje y, el elemento de carga dq= λdx y
el campo dE.
El campo tiene un componente paralelo a la
carga lineal y otro perpendicular a ésta, dada la
simetría de la distribución al sumar todos los
elementos de carga de la línea, los componentes
paralelos se anulan y el campo E quedara
dirigido a lo largo del eje y.
La magnitud del campo producido por el
elemento de carga dq=λdx es:
kdq kldx
dE = 2 = 2
r
r
Su componente en y es:
Donde:
kldx
kl ydx
dEy = 2 cosq = 3
r
r
cosq = y / r
r = x +y
2
2
El campo total Ey se calcula integrando desde
x=-1/2 L a x=+1/2 L.
Por simetría por la distribución de la carga, cada
mitad de la carga lineal contribuye al campo
total de forma idéntica, lo cual nos permite
integrar de x=0 a x=1/2 L y multiplicando por 2.
es decir:
1
1
1
x=+ L
x= L
x= L dx
Ey = ò 12 dEy = 2 ò 2 dEy = 2kl y ò 2 3
x=0
x=0
x=- L
r
2
dx 1 x 1
ò r 3 = y2 r = y2 senq
θ=0 en x=0, por lo tanto senθ=0 en el limite
inferior; para el limite superior x=L/2, θ=θ0.
1
L
2
senq 0 =
2
æ1 ö
2
ç L÷ + y
è2 ø
El campo es igual:
1
L
2kl y
2kl
2
Ey = 2 senq 0 =
y
y æ 1 ö2 2
ç L÷ + y
è2 ø
Cálculo de Campo Eléctrico
Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de
radio a con una distribución lineal de carga λ.
Halle una expresión para E(y)
y=b
(0,0)
Campo Eléctrico Sobre el Eje de una
Carga Anular.
dEy
θ dE
b
dEI
θ
r
y
dq
a
En la figura anterior se observa un anillo cargado
de radio a. El campo eléctrico dE en el punto b
sobre el eje y debido al elemento dq posee un
componente a lo largo del eje y dEy y uno
perpendicular dEI a ese mismo eje. Cuando los
componentes perpendiculares correspondientes
a todos los elementos se suman, se cancelan
entre sí, de tal modo que el campo neto está
dirigido a lo largo del eje y.
Geométricamente:
r 2 = y2 + a2
y
cosq = =
r
y
y2 + a2
El campo debido al elemento de carga es
kdq
kdq y kdqy
dEy = 2 cosq = 2 =
3
r
r r 2 22
( y +a )
El campo debido al anillo completo cargado es:
Ey =
ò
kydq
(y + a
2
2
)
3
2
Como y no varia al integrar los elementos de
carga:
Ey =
Es decir:
Ey =
ky
2
2
y
+
a
(
)
3
=
2
kQy
(y + a )
2
2
3
2
ò dq
Cálculo de Campo Magnético
Calcule el campo magnético en el punto b producido por
una corriente I que circula por el aro de radio a .
Halle una expresión para B(y)
y=b
(0,0)
Campo Magnético en un Punto Sobre
el Eje de una Espira de Corriente
Circular
x
Id
dBx
R
θ
r
θ
b
z
dB
dBy
y
La figura anterior permite calcular el campo
magnético en un punto del eje de una espira
circular a una distancia y de su centro.
Considerando el elemento de corriente en la
parte superior de la espira, como en todos los
puntos de la espira, Id es tangente a la espira y
Ù
perpendicular a r dirigido desde el elemento
de corriente hacia el punto b. Al igual el campo
magnético dB debido a este elemento se
Ù
Id
encuentra perpendicular a
ya r
Geométricamente:
r = y +R
2
Ù
2
2
Como d y r son perpendiculares:
Ù
d ´r = d
La magnitud de dB es:
Ù
m0
dB =
4p
I d ´r
r2
m0 Id
=
4p y2 + R2
Si se suman los elementos de corriente de la
espira, los componentes perpendiculares de dB
suman 0 , por lo tanto dBx=0, solo calculamos los
componentes de dBy que son paralelos al eje.
Por lo tanto el componente y del campo es:
æ R ö m Id
R
0
÷= 2 2
dB y = dBsenq = dBçç
2
2 ÷ 4p y + R
2
2
y +R
è y +R ø
El campo debido a la espira completa,
integrando dBy alrededor de la espira:
m0
IR
B y = ò dB y = ò
d
3
4p (y2 + R2 ) 2
Como y y R no varían al sumar para todos los
elementos de la espira, podemos escribir:
By =
m0 IR
4p (y + R )
2
2
3
2
òd
La integral d alrededor de la espira es 2πR,
entonces el campo magnético en el eje y de la
espira es igual a:
2
2
m0
2p R I
m0 R I
By =
=
3
3
2
2
2
2
2
4p (y + R )
2(y + R ) 2
En el centro de la espira, y=0:
B=
m0I
2R
Lejos de la espira, y>>R:
B»
m0 IR2
2y3
Cálculo de Campo Magnético
Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el
punto b el campo magnético de una corriente I
que fluye por un alambre de longitud infinita
Y=b
I
Campo Magnético Alrededor de un
Conductor Recto Delgado con Longitud
Infinita.
y
ds = dx
Y=b
r
q1
Ù
r
a
q
q2
ds
O
x
I
X
A partir de la ley de Biot-Savart:
Ù
m 0 Ids´ r
dB =
4p r 2
Guiados por la figura anterior consideramos un
elemento de longitud ds que está a una
distancia r de b.
La dirección del campo magnético en b
generado por el elemento
apunta hacia fuera de
Ù
la hoja, ya que ds´ r se orienta hacia fuera de la
hoja, vector k.
Tomando a O como origen y con b a lo largo del
eje y positivo, con k como vector unitario que
apunta hacia fuera de la pagina, tenemos:
Ù
Ù
ds´r = k ds´r = k(dxsenq )
m0I dxsenq
dB = (dB)k =
k
2
4p r
Ya que todos los elementos de corriente
producen un campo magnético en dirección k,
nos permite calcular el campo magnético de un
elemento de corriente.
Por lo tanto:
m 0 I dxsenq
dB =
4p
r2
r =
Puesto que:
q=
a
= acsc q
senq
x=-acotq
a
-x
Derivando y sustituyendo:
dx = acsc q dq
2
m0I acsc q senq dq m0I
dB = = 2 2
4p
a csc q 4p a
2
Integrando:
m0 I q2
m0 I
B = ò senq dq = (cosq1 -cosq2 )
4p a q1
4p a
En el caso de un alambre recto de longitud
infinita, los ángulos: q = 0
q =p
Con longitud entre:
x = -¥
1
2
x = +¥
Por lo tanto:
(cosq1 -cosq2 )=(cos0-cos p )
El campo magnético:
m0 I
B=
2p a