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CALCULO DE CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS 1) Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. dx x E L SABEMOS 𝜆= b 𝑄 𝑙 𝑑𝑞 𝑑𝐸 = 𝑘𝑒 2 𝑥 LUEGO PARA EL PEDAZO 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥 𝜆𝑑𝑥 𝑑𝐸 = 𝑘𝑒 2 𝑥 INTEGRAMOS 𝑙+𝑏 𝑙+𝑏 𝑑𝐸 = 𝑏 𝑏 Como 𝜆𝑑𝑥 𝑘𝑒 2 𝑥 𝑄 𝜆= 𝑙 1 𝐸 = 𝑘𝑒 𝜆 − 𝑥 𝑙+𝑏 𝐸 = 𝑘𝑒 𝜆 𝑏 𝑞 1 1 𝐸 = 𝑘𝑒 − 𝑙 𝑎 𝑙+𝑎 1 1 − 𝑎 𝑙+𝑎 𝐸= 𝑘𝑒 𝑄 𝑎(𝑙 + 𝑎) 2) Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. Ley de Coulomb para dx x 𝑑𝑞 𝑑𝐸 = 𝑘𝑒 2 𝑟 𝑄 𝜆= 𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑏 𝑟 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑏2 Como las componentes del campo eléctrico en el eje x se cancelan vectorialmente, tan solo la componente en el eje y se superponen. 𝑑𝐸𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐸 = 𝑘𝑒 𝑑𝑞 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟2 Campo eléctrico superpuesto en b Remplazando 𝑑𝑞 𝑏 𝑑𝐸𝑦 = 𝑘𝑒 2 𝑟 𝑟 𝑑𝑞 𝑑𝐸𝑦 = 𝑘𝑒 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝜆𝑑𝑥 𝑏 𝑑𝐸 = 𝑘𝑒 2 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏2 𝑑𝐸 = 𝑘𝑒 𝜆𝑑𝑥 𝑏 𝑥 2 + 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝑏 2 𝐿 2 𝑥 2 + 𝑏2 − 𝑥 +𝑏 2 Resolviendo la integral: 𝑥 = 𝑏𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑏𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 𝑏 𝑏2 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 𝑏2 𝑏2 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 𝑏2 𝑑𝑥 = 𝑏𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 𝑏2 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 𝑏3 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃 𝑑𝜃 1 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑏𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃 = Finalmente para el campo eléctrico 𝐸= 𝑘𝑒 𝜆 𝑏 𝑥 𝑥 2 + 𝑏2 𝐿 2 𝐿 −2 𝑥 𝑥 2 + 𝑏2 𝑘𝑒 𝑄 1 𝐸= 𝑏 𝐿2 2 + 𝑏 4 3) Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de radio a con una distribución lineal de carga λ. Halle una expresión para E(y) . 𝑑𝐸𝑥 = 𝑘𝑒 𝑑𝑞 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟2 𝑄 𝜆= 𝐿 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑏2 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥 Cada partícula 𝑑𝑞 aporta el mismo campo eléctrico 𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 = = 𝑟 𝑥 2 + 𝑏2 Principio de Superposición 𝑑𝑞 𝑑𝐸𝑥 = 𝑘𝑒 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑥 + 𝑏2 𝑑𝐸𝑥 = 𝑘𝑒 𝑥𝑑𝑞 𝑥2 + 3 𝑏2 2 Como la distancia 𝑥 es constante integramos con respecto a 𝑑𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝐸𝑥 = 𝑘𝑒 2 𝑥 + 𝑏2 𝑑𝐸𝑥 = 𝑘𝑒 𝐸 = 𝑘𝑒 𝑥 𝑥 2 + 𝑏2 𝑥𝑑𝑞 𝑥 2 + 𝑏2 3 2 𝑥𝑄 𝑥 2 + 𝑏2 3 2 4) Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el campo magnético de una corriente I que fluye por un alambre de longitud infinita. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑏 𝑟 𝑐𝑡𝑔𝜃 = 𝑥 𝑏 𝑑𝑥 = 𝑏𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 Ley de Biot & Savart 𝑑𝑙 = 𝑑𝑥 𝑟 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑢𝑦 ) 𝜇0 𝐼𝑑𝑙 × 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑢𝑦 ) 𝑑𝐵 = 4𝜋 𝑟2 𝑑𝐵 = 𝐵= 𝜇0 𝐼𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 4𝜋 𝑟2 𝜇0 𝐼 𝑠𝑒𝑛𝜃 4𝜋𝑏 𝜇0 𝐼 𝑏𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 𝑑𝐵 = 𝑏2 4𝜋 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝜇0 𝐼 𝐵= (𝑐𝑜𝑠𝜃1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃2 ) 4𝜋𝑏 𝜇0 𝐼 𝐵= 4𝜋𝑏 𝐿 𝑏2 2 𝐿 + 2 2
