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ELIPSE
M.5.2.16. Describir la
geométrico en el plano.
elipse
como
lugar
Concepto
Una Elipse es el conjunto de puntos
P, del plano, que verifican que la
suma de las distancias desde cada
uno de ellos a dos puntos fijos
( 𝐹 y 𝐹 ′ ) , llamados focos, es una
cantidad constante, que denotamos
como 2a. Es decir:
𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 𝑃 𝑥, 𝑦 /𝑑 𝑃, 𝐹 + 𝑑 𝑃, 𝐹 ′ = 2𝑎
Elementos de la Elipse
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento 𝐹𝐹 ´ .de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
8. Eje menor: Es el segmento 𝐵𝐵´ de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
9. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
10. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de
los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
2
𝑎
=
2
𝑏
+
2
𝑐
Excentricidad
• Si se observan varias elipses se ve unas
redondeadas y otras son alargadas o
achatadas. Esta característica de la elipse
de ser mas o menos redondeada se mide con
número llamado excentricidad.
Concepto de Excentricidad
• Se llama excentricidad, e, de una elipse al cociente
entre la distancia focal y el eje mayor.
𝑐
𝑒= ,
0<𝑒<1
𝑎
Cuando más se aproxima la excentricidad a 1 mas alargada
o achatada es la elipse, tendiendo confundirse con el eje
mayor; y cuanto mas se aproxima a 0, mas se parece a una
circunferencia.
Ecuación Canónica de la Elipse con centro en el
origen y con eje principal sobre el eje abscisas (x)
•
𝑭′(−𝒄, 𝟎) 𝒚 𝑭(𝒄, 𝟎)
• Cualquier punto de la elipse cumple:
𝑃𝐹 + 𝑃𝐹 ´ = 2𝑎
• Por lo tanto
𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦 2 + 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 2𝑎
Realizando las operaciones llegamos a:
2
2
𝑥
𝑦
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
Ecuación Canónica de la Elipse con centro en el origen
y con eje principal sobre el eje de las ordenadas (y)
F′(0, −c) y F(o, c)
Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑏
𝑎
Ecuación Ordinaria de la Elipse.
• Si el centro de la elipse no se encuentra en el origen del sistema
de coordenadas, tenemos los siguientes casos:
1. Elipse con centro en punto C(h, K) y con eje principal paralelo al
eje X.
𝑥−ℎ 2
𝑦−𝑘 2
+
=1
2
2
𝑎
𝑏
2. Elipse con centro en punto C(h, K) y con eje principal paralelo al
eje Y.
𝑥−ℎ 2
𝑦−𝑘 2
+
=1
2
2
𝑏
𝑎
Ecuación General de la Elipse
• Para calcular la ecuación general de la elipse, a partir de la
ecuación en su forma ordinaria, vamos a expresarla en la
forma.
𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Si la ecuación corresponde a una elipse, entonces los signos de
A y B deben ser iguales.
Bibliografía
• Lehmann, & Lehman, C. H. (2001). Geometría Analítica. Mexico: Hispano
Americana. (págs. 173-190)
• KINDLE, J. H. (s.f.). Teoria y problemas de Geometría Analítica. Shcaum.
• Zill, D. G., & Dewar, J. M. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría
Analítica. México: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
(págs. 489 - 494)
• http://www.vitutor.com/geo/coni/g_1.html