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ELIPSE
Definición.- Dados dos puntos fijos 𝐹1 y 𝐹2 llamados focos, (𝐹1 ≠ 𝐹2 ) separados por una distancia 2𝑐, y
dada una constante 𝑎 talque, 𝑎 > 𝑐 > 0, se define la elipse ℰ como el conjunto de todos aquellos
puntos 𝑃 tales que la suma de las distancias de 𝑃 a los focos 𝐹1 y 𝐹2 es constante y siempre es igual a 2𝑎,
es decir:
ℰ = {𝑃 ∈ ℝ2 / 𝑑(𝑃, 𝐹1 ) + 𝑑(𝑃, 𝐹2 ) = 2𝑎}
Elementos de una Elipse.
1. Centro (𝐶).
2. Vértices (𝑉1 𝑦 𝑉2 ). Puntos de intersección de la elipse con el eje de focal.
3. Focos (𝐹1 𝑦 𝐹2 ). Puntos fijos, situados sobre el eje focal a 𝑐 unidades del centro.
4. Eje focal(𝐿). Recta perpendicular al eje normal 𝐿1 que pasa por el vértice y focos.
̅̅̅̅). Segmento de recta que une dos puntos de la elipse pasando por el foco.
5. Cuerda focal (𝐴𝐵
6. Lado recto (̅̅̅̅
𝐿𝑅). Es una cuerda focal perpendicular el eje focal.
ECUACIÓN ESTANDAR DE LA ELIPSE
La ecuación estándar de la elipse con centro (0,0), eje mayor y eje menor de longitudes 2𝑎 y 2𝑏, donde
0 < 𝑏 < 𝑎, es:
ORIENTACIÓN
DEL EJE MAYOR
ECUACIÓN
HORIZONTAL
VERTICAL
(sobre el eje x)
(sobre el eje y)
𝑥2 𝑦2
+
=1
𝑎2 𝑏2
𝑎>𝑏>0
𝑥2 𝑦2
+
=1
𝑏2 𝑎2
𝑎>𝑏>0
GRÁFICO
FORMA GENERAL
𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐹 = 0.
FOCOS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
𝐹2 (−𝑐, 0) 𝑦 𝐹1 (𝑐, 0)
𝐹2 (0, −𝑐 ) 𝑦 𝐹1 (0, 𝑐)
donde 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏2
donde 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏2
VÉRTICES
𝑉2 (−𝑎, 0) 𝑦 𝑉1 (𝑎, 0)
𝑉2 (0, −𝑎) 𝑦 𝑉1 (0, 𝑎)
COVÉRTICES
𝐵1 (0, 𝑏) 𝑦 𝐵2 (0, −𝑏)
𝐵2 (−𝑏, 0) 𝑦 𝐵1 (𝑏, 0)
EJEMPLOS
Determinar la ecuación de la elipse, según los datos proporcionados:
a. Un punto se mueve tal que la suma de sus distancias a los puntos (4,0) y (−4,0) es igual a 12.
b. Un punto se mueve tal que la suma de sus distancias a los puntos (0,5) y (0, −5) es igual a 14.
Determina los elementos y grafica la elipse, cuya ecuación es: 9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 36 = 0.
Determina los elementos y grafica la elipse, cuya ecuación es: 16𝑥 2 + 25𝑦 2 = 400.
Determina las coordenadas de los focos de la elipse cuya ecuación es: 4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 1
Determina la ecuación de la elipse de centro en el origen, vértice (0,5) y foco en (0,4).
Determina la ecuación de la elipse con vértices en (−6,0) y (6,0) y la longitud de uno de sus lados rectos
es igual a 20.
La ecuación estándar de la elipse con centro (ℎ, 𝑘), eje mayor y eje menor de longitudes 2𝑎 y 2𝑏, donde
0 < 𝑏 < 𝑎, es:
ORIENTACIÓN
DEL EJE MAYOR
Ecuación
HORIZONTAL
VERTICAL
(paralelo al eje x)
(paralelo al eje y)
(𝑥 − ℎ )2 (𝑦 − 𝑘 )2
+
=1
𝑎2
𝑏2
𝑎>𝑏>0
(𝑥 − ℎ )2 (𝑦 − 𝑘 )2
+
=1
𝑏2
𝑎2
𝑎>𝑏>0
Gráfico
FORMA GENERAL
𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Focos
𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1 (ℎ + 𝑐, 𝑘)
𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐 ) 𝑦 𝐹1 (ℎ, 𝑘 + 𝑐)
donde 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏2
donde 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏2
Vértices
𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1 (ℎ + 𝑎, 𝑘)
𝑉2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1 (ℎ, 𝑘 + 𝑎)
Covértices
𝐵1 (ℎ, 𝑘 + 𝑏) 𝑦 𝐵2 (ℎ, 𝑘 − 𝑏)
𝐵2 (ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1 (ℎ + 𝑏, 𝑘)
EJEMPLOS
1. Determinar la ecuación de la elipse, según los datos proporcionados:
a. Un punto se mueve tal que la suma de sus distancias a los puntos (−2,1) y (−2,7) es igual a 10.
b. Un punto se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (9, −2) y (−7, −2) es
igual a 20.
2. Determina los elementos de la elipse 9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 72𝑥 − 24𝑦 + 144 = 0
3. Determina los elementos de la elipse 𝑥 2 + 16𝑦 2 + 4𝑥 − 32𝑦 − 44 = 0
4. Determina las coordenadas de los vértices de la elipse cuya ecuación es: 4𝑥 2 + 9𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0
5. Determina la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (1, −6), (9, −6) y la longitud de cada
9
lado recto es 2.
EJERCICIOS
1. Hallar la ecuación para la elipse cuyo gráfico se muestra:
a)
b)
c)
d)
2. Encontrar la ecuación de la elipse cuyos focos son 𝐹1 (5,0) y 𝐹2 (−5,0), y tal que la longitud del semieje
mayor es 6.
3. Encontrar la ecuación de la elipse cuyos vértices son 𝑉1 (0,10) y 𝑉2 (0, −10) y sus focos son 𝐹1 (0,2) y
𝐹2 (0, −2).
4. En cada caso, encuentra las ecuaciones de las elipses con centro en el origen y que satisfacen las
siguientes condiciones:
a) Eje mayor 14; eje menor 10
b) Eje mayor 9; eje menor 5
THE BEST WAY TO LEARN MATHEMATICS IS TO DO MATHEMATICS.
PAUL HALMOS
EJERCICIOS ELISPSE
1. Hallar la menor y mayor distancia del punto P(6, −3) a la elipse
𝒞: 3𝑥 2 + 5𝑦 2 − 12𝑥 + 30𝑦 + 42 = 0
2. Considere la familia de elipses, tal que ℎ = 𝑘 y 𝑎 = 5, 𝑏 = 4. Sea 𝑘 un número real positivo.
a) Escriba la ecuación de la familia de elipses.
b) Grafica seis miembros de esta familia en el mismo conjunto de ejes.
c) Escriba una descripción de todos los miembros de esta familia de elipses.
3. Una industria de calzados, produce dos tipos de calzado: para caballeros y para damas. Las cantidades
posibles 𝑥 i 𝑦 están relacionadas por la ecuación
4𝑥 2 + 𝑦 2 − 32𝑥 + 16𝑦 − 1240 = 0
Representar gráficamente la ecuación y diga cuáles son los números máximos de zapatos de cada tipo
que pueden producirse.
4. La industria de bicicletas “Reynoso” fabrica dos tipos de bicicletas denominadas “R1” y “R2”. Las
cantidades posibles 𝑥 i 𝑦 están relacionadas por la ecuación
9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 18𝑥 + 8𝑦 − 2300 = 0
¿Cuáles son los números máximos de bicicletas de cada tipo que pueden producirse?
5. En los ejercicios resuelva algebraicamente el sistema de ecuaciones y justifique gráficamente su
respuesta.
𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4
4𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
𝑥2 𝑦2
𝑥2
2
{
{
𝑐)
𝑐)
+
=1
𝑎) { 4
𝑏) { 9 + 𝑦 = 1
𝑦 − 2𝑥 2 = −3
4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 36
9
𝑥 − 3𝑦 = −3
𝑥2 + 𝑦2 = 4
6. La circunferencia auxiliar de una elipse es la
circunferencia con radio igual a la mitad de la longitud
del eje menor y centro igual que en la elipse (vea la fi
gura). La circunferencia auxiliar es entonces la
circunferencia máxima que puede caber dentro de
una elipse. Encuentre una ecuación para la
circunferencia auxiliar de la elipse 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 16.
7. Los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas elípticas con el Sol en un foco. El punto en la órbita
en el que el planeta está más cercano al Sol se
denomina perihelio, y el punto en el que está
más alejado se llama afelio. Estos puntos son
los vértices de la órbita. La distancia de la
Tierra al Sol es de 147,000,000 km en el
perihelio y 153,000,000 km en el afelio.
Encuentre una ecuación para la órbita de la
Tierra. (Coloque el origen en el centro de la
órbita con el Sol en el eje x.)
8. Una sección cónica o simplemente cónica es la intersección de un plano y un cono doble. Identificar la
cónica resultante. (establecer su respuesta el orden que aparecen las imágenes).
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
9. Representar gráficamente la elipse que tiene por ecuación
8𝑥 2 + 4𝑦 2 − 24𝑥 − 4𝑦 − 13 = 0
Y determinar los vértices, los focos, centro, directrices y excentricidad.
10. El centro de una elipse está en (1, −1), uno de sus focos está en (1, −1 + √5), la excentricidad es
√5
.
3
Determinar la ecuación de la elipse.
11. La órbita del planeta Mercurio es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La longitud del eje mayor
de esta órbita es de 72 millones de millas, y la longitud del eje menor es de 70.4 millones de millas.
¿Cuál es la distancia mínima (en el perihelio) entre Mercurio y el Sol?
¿Cuál es la distancia máxima (en el afelio)?
12. La órbita de la Luna forma una elipse con la Tierra en uno de los focos. La longitud del eje mayor es de
620444 km y la excentricidad es e = 0. 549. Encuentre las distancias máxima y mínima de la Tierra a la
Luna.
13. La excentricidad de una elipse está definida como
𝑐
𝑒 = 𝑎, Como 𝑎 > 𝑐 > 0, entonces 0 < 𝑒 < 1.
Describir la forma de una elipse cuando
a) 𝑒 es aproximadamente cero.
b) 𝑒 es aproximadamente uno.
c) 𝑒 = 0.5
14. Un carpintero quiere construir una mesa elíptica de una lámina
de madera contrachapada, de 4 pies por 8 pies. Él trazará la
elipse con "tachuelas y una cuerda" método ilustrado en las
figura. ¿Qué longitud de cuerda debe usar, y a qué distancia
deben estar las tachuelas, si la elipse bebe ser la mayor posible
que puede ser cortada de la lámina de madera contrachapada?