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Astronomía y navegación
El trabajo de un navegante consiste, fundamentalmente, en llevar una
embarcación de un lugar a otro con seguridad para las personas y las mercancías
que transporta. Esta tarea se ha realizado desde muy antiguo trazando la
trayectoria a seguir sobre una carta de navegación (mapa) que represente la
zona donde se navega, determinando cada cierto tiempo la posición de la
embarcación y representándola en dicha carta, de manera que se puedan hacer
las correcciones oportunas para seguir la trayectoria previamente decidida. De
esto se deduce que hay dos aspectos fundamentales a tener en cuenta: las
técnicas para la elaboración de las cartas marinas (la cartografía) y los métodos
para determinar la posición del barco en el mar. En este trabajo se pretende
explicar los rudimentos del uso de la Astronomía para determinar la posición en
el mar.
Comenzaremos por un caso sencillo: supongamos que navegamos cerca de la
costa y que disponemos de una carta (mapa) que representa la zona donde nos
encontramos, incluidos los puntos significativos de la costa (montañas,
ciudades, ríos, etc.). En este caso disponemos de varios métodos para
determinar nuestra posición. Por ejemplo, podemos tomar los ángulos de
elevación sobre el horizonte de dos montañas cuyas elevaciones sobre el nivel
del mar figuren en el mapa y, usando la trigonometría elemental, calculamos la
distancia horizontal a la que nos encontramos de cada uno de los objetos
observados. Basta con trazar dos circunferencias sobre el mapa, centradas en
los puntos observados, y con radios iguales a las distancias calculadas. El punto
donde nos encontramos es uno de los puntos de corte de dichas circunferencias.
En el siguiente dibujo se representa esta situación. En la parte superior vemos la
costa como si estuviésemos en un barco, desde el que podemos medir los
ángulos de elevación sobre el horizonte de las montañas A y B; resultando ser
éstos de 32° y 40° respectivamente. Para realizar esto podemos usar, por
ejemplo, un sextante. La parte inferior representa el mapa de la zona que
tenemos a nuestra disposición, en el que se observa que la montaña A se eleva
550 metros y la B 965 metros sobre el nivel del mar.
¿Pero qué ocurrirá si nos alejamos de la costa? Dejaremos de ver la tierra y
perderemos todas las referencias visibles con respecto a las cuales determinar
nuestra posición. ¿Todas? ¡No! Nos quedan las referencias que nos han
acompañado siempre, desde el origen de los tiempos y que la humanidad no ha
dejado de observar: LOS ASTROS.
La solucion islámica a la relación de menelao mediante el álgebra
euclidiana
La matemática Islámica fue la que desarrolló lo que hoy conocemos como
funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente y sus inversas) partiendo de
las relaciones entre la longitud de un arco de circunferencia y el segmento de
cuerda que une los extremos de dicho arco. El cociente de ambas longitudes ya
fue desarrollado por Ptolomeo en el siglo II de nuestra era y calculó unas Tablas
en las que la longitud del arco se medía en grados, y aumentando dicha longitud
de medio en medio grado hallo su cociente con el segmento de cuerda
correspondiente con una precisión de siete cifras decimales exactas.
Los matemáticos árabes tuvieron la gran genialidad de definir lo que hoy se
conoce con el nombre de “líneas trigonométricas” que permitían representar las
funciones definidas como segmentos en relación con el arco, definidas todas
ellas sobre una circunferencia de radio unidad lo que hace que la longitud del
segmento sea exactamente igual al valor de la función. En la Fig.-4 se puede ver
el arco AB, si tomamos la línea OA como eje de simetría y trazamos los
simétricos del mencionado arco, y de la recta BC la relación entre la longitud
del arco y de la cuerda es el desarrollo de las Tablas Ptolemaicas que ya he
comentado, pero el cociente entre ambos es idéntico al cociente entre el
semiarco (que es el representado como AB) y la semicuerda AC.
Se define como:
AC = seno del arco AB
OC = coseno del arco AB
AD = tangente del arco AB
FE = cotangente del arco AB
OD = secante del arco AB
OE = cosecante del arco AB
En esta forma fueron definidas inicialmente las líneas trigonométricas, como
representación de las funciones del mismo nombre, en función de la longitud
del arco, de ahí que las funciones inversas (incluso hoy en día) comiencen como
arco cuyo seno, coseno, tangente es...
Más adelante, en el Renacimiento se llegará a la igualdad de que el arco es
equivalente al radio por el ángulo, y como las líneas trigonométricas se han
definido en la circunferencia de radio unidad tendremos que:
a = 1 x arco AB = arco AB
Con lo que las ecuaciones de más arriba quedarían en su forma actual:
AC = sen a
........
Reemplazando el arco por el ángulo, así que ahora, conociendo el significado de
las líneas trigonométricas podremos resolver la ecuación obtenida
Una vez resuelta la ecuacion conocemos los ángulos a, rumbo estimado para la
navegación, CB Complementario de la latitud (también llamada colatitud) del
punto de medición, y el arco navegado d, podremos resolver la ecuación. Se
puede ver que estoy asimilando el arco navegado a los ángulos pero es que otra
de las grandes genialidades de los matemáticos y astrónomos musulmanes fue
la de establecer el radio de la Tierra como unidad, con lo que la geometría
esférica tenía como equivalentes los arcos y los ángulos y todos se medían
utilizando el sistema sexagesimal que Ptolomeo introdujo de los Babilonios.
La Fig.-5 nos va a ayudar a resolver el problema; suponemos que se parte desde
el puerto O con la dirección Sueste 4ª del Este, tras una jornada completa de
navegación el piloto ha determinado el ángulo de navegación media a desviado
del rumbo original debido a vientos y corrientes, sobre un cuadrante como el de
la figura traza el ángulo y obtiene los puntos A y A’; la medida de la latitud nos
proporciona el valor de la colatitud CB que llevado al cuadrante permite trazar
los puntos C y C’; por último la estimación de la distancia d transportada así
mismo al cuadrante permite dibujar los puntos D Y D’. Teniendo en cuenta todo
lo explicado sobre las líneas trigonométricas podemos reescribir la ecuación de
más arriba
La ecuación trigonométrica se ha transformado en una ecuación algebraica
euclidiana que nos dice que la razón del segmento desconocido OX al segmento
D’D es la misma que la razón entre los segmentos OA’ y CC’, la resolución de
dicha igualdad utilizando los elementos clásicos se puede contemplar en la
Fig.6.
Se prolonga la recta A’A en la dirección Sur y por el punto C se traza una
perpendicular a dicha recta prolongada hasta que ambas se corten en el punto
C” , cumpliéndose la igualdad entre los segmentos A’C” y CC’. El punto C” se
une con el origen O y desde el punto D se traza una perpendicular a la recta AA’
de forma que nos corte a la recta OC” en el punto D”. Por D” se traza una
paralela a AA’ que nos corta al eje horizontal en el punto X y a la circunferencia
en un punto no nominado. El segmento D”X será igual al segmento D’D;
aplicando el Teorema de Tales obtenemos otra ecuación que teniendo en cuenta
las igualdades reseñadas anteriormente y sustituyéndolas en dicha ecuación nos
daría otra ecuacion que es la ecuación que queríamos resolver, por tanto, el arco
señalado en la figura 6 como l nos da el valor de la longitud en el punto donde se
ha medido la latitud, con lo que queda perfectamente demostrado que la ciencia
Islámica era capaz de resolver el problema del cálculo de la longitud
perfectamente y de acuerdo con la más pura tradición matemática griega, la
búsqueda de la solución a dicho problema arranca a mediados del siglo XVI con
una competencia entre Nunes y Santa Cruz lo que prueba que la solución era
desconocida por el pleno de la Cristiandad y únicamente algunos elementos
concretos de ella fueron en su tiempo capaces de conocerla (Cristóbal Colón es
un caso), y a lo largo de todos estos siglos ningún tratadista pasando por
Newton, Gauss o Rey Pastor dieron con ella.
Como se ha podido comprobar he tomado deliberadamente un valor de d
pequeño con lo que se ha obtenido un valor de l también pequeño, ¿por qué?,
para poner en evidencia las dificultades del método cuando se trabaja con él en
navegaciones reducidas y para poner nuevamente de relieve la diferencia entre
el Islam y la Cristiandad, el profesor Laguarda Trías afirma que:
“El control dimensional inferior al medio centímetro era desconocido en la
Edad Media....
.... los cartógrafos medievales se veían en figurillas para representar las 10
millas mediante espacios del orden de los tres milímetros.”
Pero el admirado profesor no ha hecho mas que estudiar pergaminos y se ha
olvidado que el mundo musulmán utilizó el papel cuyas técnicas de producción
importó desde China desde los primeros tiempos, y así Játiva tenía una fábrica
en los tiempos del califato de Córdoba capaz de abastecer las necesidades de Al
Andalus, y trabajando con papel se podía lograr en el mundo islámico la misma
precisión con la que podían trabajar los delineantes sobre el tablero de dibujo a
mitad del siglo XX, lo que no quiere decir que para ángulos pequeños el sistema
proporcione una precisión razonable, pero desde luego tenían formas de
resolver estos casos.
Tras un período de navegación un piloto musulmán experimentado, y
debidamente formado estaba en condiciones de conocer con bastante
aproximación su posición en el sistema que actualmente llamamos de longitud
y latitud, pero su problema era ¿qué rumbo debía dar al timonel para el siguiente
período de navegación?; es lo que se llama “el problema del navegante”, y por
supuesto que conocía la solución.
El problema del navegante
Anteriormente he supuesto que la nave se dirige a un punto concreto F desde el
origen O y que la línea OF es el viento Sueste 4ª al Este, transcurrido el primer
período de navegación se ha alcanzado el punto B del que conocemos la
diferencia de longitud con respecto al meridiano inicial que pasaba por O; si en
el punto B se conoce el ángulo w que el eje de la nave forma con el meridiano
local, al conocer el ángulo l del meridiano local con el de partida, se conoce la
dirección del eje de la nave con respecto al meridiano de partida, y por tanto el
rumbo que se debe de dar al timonel para el siguiente período de navegación de
forma que la proa se oriente directamente hacia F, puerto de destino. Así que es
necesario resolver el problema de determinar el ángulo del eje de crujía con el
meridiano local, (cuestión que ya había enunciado anteriormente y cuya
solución pospuse) para resolver el problema del navegante.
Vamos a situarnos mentalmente en medio del mar con la nave; a nuestro
alrededor observamos un horizonte que parece plano y está a punto de
amanecer, sabemos que el Sol va a salir aproximadamente por el Este, pero eso
es así únicamente los días equinocciales, esos dos días el Sol sale exactamente
por el Este y se pone sobre el Oeste y el Sur queda exactamente 90º a la derecha
del punto del nacimiento, ese arco que se llama azimut tiene justamente ese
valor; pero si estamos pasados varios días el equinoccio de otoño (por ejemplo)
el azimut en el momento del nacimiento solar es menor de 90º, y el astro sale en
un punto más próximo al punto Sur; si el día es pasado el equinoccio de
primavera el punto de salida se “aleja” del Sur y el azimut vale más de 90º.
Conocido el día en relación con el día del equinoccio el punto exacto por donde
sale el Sol (o por donde se pone) es función de la latitud del punto de
observación, al igual que la declinación que podemos considerar como el
ángulo que forma el plano del Ecuador con el plano que pasando por el centro
terrestre pasa a su vez por los puntos del horizonte por donde sale y se pone el
Sol. Estos parámetros de fecha, declinación, latitud y azimut se encuentran
relacionados entre sí; en primer lugar una curva que recibe el nombre de
analema nos permite conocer la declinación en función de la fecha, con base en
la mencionada cúrvale “astrolabio analemático”, instrumento musulmán del
siglo X permitía efectuar la corrección de la altura de un astro sobre el horizonte
trasformándola en altura del astro sobre el Ecuador, la segunda relación entre
los parámetros mencionados es una ecuación descubierta por los astrónomos
musulmanes que los navegantes conocen perfectamente para los momentos de
la salida o puesta del Sol. Por lo tanto, al anochecer o al atardecer se mide la
latitud, sabiendo los días transcurridos desde el último equinoccio la analema
nos da el valor de la declinación y sabemos si el Azimut debe ser mayor o
menor de 90º, y resolver la ecuación anterior es exactamente igual que resolver
la ecuación que nos daba el valor de la longitud, se utiliza el mismo sistema, con
lo que conocemos para la posición de nuestra nave el ángulo que va a formar el
Sol con el meridiano local cuando salga tras el horizonte, así que en el momento
que el astro está a mitad de su “salida” podemos determinar exactamente la
dirección del meridiano local, y ángulo que forma el eje de la nave con respecto
a dicho meridiano; al ser conocido el ángulo del meridiano local con el
meridiano de partida estamos en condiciones de dar el rumbo de timonel para
aproar en la dirección debida con respecto al meridiano de salida y continuar
nuestra navegación.
Parece un poco complicado recurrir a éste sistema si la nave lleva una brújula,
pero éste sistema garantiza que se navega siempre con respecto al meridiano
geográfico de partida y se obvia el problema de la declinación magnética, y
como se puede leer en el “Diario” colombino los días 13 y 17 de septiembre el
Almirante el Almirante marcó el norte al anochecer y al amanecer, señal que él
sabía como corregir el problema, y es además una constante de dicha narración
dar las distancias navegadas por el día y por la noche lo que le permitiría
utilizando éste sistema navegar siempre con rumbos constantes respecto al
meridiano origen, siendo ese uno de los secretos que mejor guardaba pues en su
época y posterior esa forma de navegar se perdió totalmente, de ahí las
continuas alabanzas que a lo largo del tiempo ha recibido el “genial marino”
que siempre sabía encontrar el rumbo exacto para dirigirse a cualquier puerto.
Un último detalle es saber que la posición del Sol en el amanecer y en el
anochecer es una posición aparente debida a la refracción de los rayos solares
en la atmósfera, pero ya Ptolomeo tiene un tratado de óptica donde intenta
deducir las leyes de la refracción para poder situar correctamente la declinación,
en la Cristiandad fue Roger Bacon quien continuo con dicho estudio, pero la
ciencia islámica fue nuevamente la que sentó las bases de su desarrollo.
Conclusiones
Sobre el plano del horizonte N, S, E y W son direcciones ortogonales, y sobre la
superficie de la Tierra también, pero la dirección EW no está contenida en el
paralelo local, lo que quiere decir que cuando se establece una proyección
conforme entre los rumbos de la Rosa de los Vientos sobre el horizonte, y los
mismos rumbos sobre la superficie de la Tierra, los puntos de igual latitud que
el punto origen no están alineados según la dirección WE del plano, y los puntos
que están sobre un mismo meridiano tampoco están situados según una recta
perpendicular a dicho eje.
Todo esto es perfectamente detectable en la cartografía medieval de los
llamados “portulanos” donde la línea del paralelo 36 que une el estrecho de
Gibraltar con Rodas forma siempre un ángulo con la dirección WE, tal y como
es detectable en el plano de Juan de la Cosa al que según los testigos de los
Pleitos Colombinos el propio Colón le enseñó a cartografiar, lo que demuestra
que utilizó en sus viajes el sistema de navegación aquí expuesto. Demostrar
completamente que los portulanos tienen sus raíces en la cultura islámica
tomando valores tabulados de un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales definido para cada punto por la latitud y la distancia a un meridiano
origen es el resultado de aplicar la forma de navegar que acabo de narrar.
La segunda conclusión es que éste sistema de control de navegación no es un
sistema para navegar por el Mediterráneo, allí las variaciones de latitud son del
orden de la unidad y por lo tanto el navegante siempre se va a enfrentar a
mediciones de ángulos pequeños con lo que resulta mucho más practico trabajar
sobre cartas de navegación proyección conforme de las coordenadas de los
puertos de salida y llegada lo que da aproximación suficiente navegando
siempre según las direcciones de los Vientos de la Rosa. Este sistema de control
es ideal para las travesías oceánicas como demuestra el Primer Viaje de Colón,
ahora ya sabemos como lo pudo hacer y la ruta seguida, la cuestión que resta
pendiente es ¿cuándo fue realizada dicha ruta por primera vez?. Insisto
únicamente la ciencia Islámica estuvo en condiciones de ir, regresar, y
plasmarlo en una ruta que pudiese ser seguida por otras embarcaciones, las
historias de vikingos y similares no tienen ningún argumento científico que las
sustente.