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COLEGIO SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS
SECUNDARIA
Profesor Daniel Romero
MATEMÁTICA
BLOQUE II - NÚMEROS REALES
CUARTO
Conjuntos numéricos.
Ejercicio 1.
Escribir estos números racionales como fracción.
1
a ) 1,25

b) 3,2

c ) 0,9
d ) 1,1313...
Ejercicio 2.
Descubrí las reglas de formación que se usaron para generar estos números irracionales y escribí las
seis cifras decimales que siguen.
a ) 0,123456...
b) 0,246810...
c) 0,101001000...
Ejercicio 3.
Utiliza el Teorema de Pitágoras para representar en la recta numérica los números:
2 ; 5 ; 8 y 10
Ejercicio 4.
Coloca una cruz en la casilla cuando corresponda.
5
-2,2
2
4,9
9
3

5
5

3,2
25
N
Z
Q
I
R
Ejercicio 5.
Si ubicaras los números de la actividad anterior en la recta numérica, ¿cuál quedaría más a la
izquierda?
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Ejercicio 6.
Cuando sea posible, escribí lo que se pide; cuando no lo sea, explicá por qué.
13 18
y
5
4


b. Un número racional comprendido entre 0,96 y 0,97
a. Un número racional comprendido entre
c. Un número racional comprendido entre
d. El menor racional que sea mayor que 1
2 y 5
Ejercicio 7.
Indica si estas afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).
a.
b.
c.
d.
2
La suma de dos números racionales es otro número racional.
La suma de dos irracionales es siempre un número irracional.
La suma de un número racional y un irracional es otro número racional.
La raíz cuadrada de una fracción es un número irracional.
Ejercicio 8.
Calcula la medida del lado de un cuadrado inscripto en una circunferencia de 5 cm de radio.
Construye. ¿La medida obtenida es un número racional o irracional?
Ejercicio 9.
Expresa los siguientes números mediante una potencia cuya base sea un número entero.
1

8
1

25
1

81

1

125
Ejercicio 10.
Completa cuando sea posible con el opuesto y el inverso de cada número.
1
-2,2
2
1
3
4,9

1,2
 5
Opuesto
Inverso
Ejercicio 11.
Sabiendo que a y b son números reales no negativos, y c es un número natural mayor que 1,
completa para que el enunciado sea verdadero.
a  b 2 ......... a 2  b 2
a  b 2 ......... a 2  b 2
a.b 2 ......... a 2 .b 2
a2
a
.........
;b  0
 
b2
b
a  b ........ a  b
c
a.b ........ c a .c b ; c par 
2
c
c
a.b ........ c a .c b ; c impar 
c
a
a
.......... c ; b  0
b
b
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Ejercicio 12.
¿En qué variarían tus respuestas si a y b pudieran ser reales negativos? Probá con ejemplos.
Ejercicio 13.
Calcula:
33 
 33 
 33 
3
  3 
3
 52 
 5 
2
  5 
2
3
 3
  
 4
3
3
  
4
3
 3
   
 4



0
3
 
4
2
2
  
5
2
 
5



2

3
2
 
5
 2
 
 5
3

1
  2 2 
   
 5  



 


2

5
2
1

 


  2  2  1 
   
   5   
 

2

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Operaciones con radicales.
Ejercicio 14.
Completa los siguientes ejemplos:
4
16  2
2
4

25
6
24  16
porque
15
3
porque
1
porque
1000 
4
0 
4 
Ejercicio 15.
Analiza los siguientes cálculos y modifícalos si encuentras errores:
2
100  25  100  25
4
16 4
2
 16 : 4 81 
81
3
2
12. 3  12.3  36  6
 92  9
Raíces sucesivas.
Podemos reemplazar dos raíces sucesivas por una única raíz, cuyo índice es el producto de los
anteriores. En símbolos:
n m
a  n.m a
Simplificación de radicales.
Si n es par »»»
n
an  a
donde la a entre barras se lee " valor absoluto de a"
Si n es impar »»»
n
an  a
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Ejercicio 16.
Transformen los siguientes radicales en expresiones equivalentes más simples.
a)4 9 
b)5 3 
c)12 5 
10
6
1
d ) 20  
7
20

Exponentes racionales.
Para todo número natural mayor que 1 y a mayor o igual que 0, se cumple que:
n
m
a  m an
Las potencias de exponente racional cumplen con las mismas propiedades que las potencias de
exponente entero. A veces resulta más simple operar los números irracionales de esta manera.
Ejercicio 17.
Expresa las siguientes potencias como una expresión radical y halla su valor aproximado con 5
decimales.
1
52 
 2 3 
1
4
3 77 
 7 9 
1
3
4
4 
 6 5 
4
Ejercicio 18.
Resuelve los siguientes ejercicios combinados, llevando cada valor a un exponente racional.
3
4 .5 2 .4 8

2
a)
 7
b)
5
3
5
3
7

3
c) 5 27 
3
8
9
5
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Suma y resta de radicales
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando. Para la adición y
la sustracción de radicales necesitamos que sean semejantes.
Ejercicio 19.
Resuelve los siguientes ejercicios combinados:
a ) 3  11 3  5 3 
b) 3 7  3 7 
23
7
5
6
Extracción de factores fuera del signo radical.
Para hallar una expresión equivalente a raíz cuadrada de 32, podemos factorear el radicando y luego
aplicar la propiedad distributiva, a saber:
32  25  2.22.22  2. 22 . 22  2.2.2  4 2
Busque una manera más simple de extraer factores.
Ejercicio 20.
Halle el valor exacto del área del rectángulo.
1  27
√3
Ejercicio 21.
Resuelve los siguientes ejercicios combinados:
a) 2  4 2  5 8 
b) 3 375  3 24 
23
81 
5
18
4  64 2  4 32  5 32 
2
d ) 12  75  4 27  3 48 
c)
e) 3 2  200  5 72 
Ejercicio 22.
Calcula el perímetro de un triángulo sabiendo que sus lados miden
18; 32 ; 8
Multiplicación de expresiones radicales.
Con distinto índice.
Para radicales con distinto índice, modificamos los índices de los radicales hasta obtener un mismo
valor, o sea un múltiplo de los anteriores. Por ejemplo:
6
2.4 3  6.2 22 .4.3 33  12 22 .12 33  12
 12
completa.
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Ejercicio 23.
Resuelve y cuando sea posible simplifica:
a )5 2 .4 8 

e) 
c)
7

8.
b) 3

7

32  18 :
8 
200 
d)

98 

1 3 1
:

2
10

45 

3
 1
2
f)

80 .  2 5 
3

2

7
Racionalización de radicales.
En expresiones que contienen denominadores con radicales, es conveniente hacer una
transformación, a ese proceso se lo denomina racionalización de denominadores. Contemplaremos dos
casos:
Caso 1.
El denominador contiene un solo término con un radical.
Ejemplo:
3
3 5 24 3.5 24 3.5 24 3.5 24

.



5
5
2
2 5 2 5 24 5 2.24
25
Ejercicio 24.
Racionaliza las siguientes expresiones:
a) 3
5

4
b)
6. 7

5
c) 4
2

2
d)
1

2. x
5
Caso 2.
El denominador contiene dos términos y en ellos figura alguna raíz cuadrada.
Ejemplo:








3
3
2 5
3. 2  5
3. 2  5
3. 2  5

.



 3. 2  5  6  3 5
2
45
1
2 5 2 5 2 5 42 5 2 5  5
Ejercicio 25.
Racionaliza, si es posible, las siguientes expresiones:
3

5 2
a)
b)
2

12  2
Ejercicio 26.
¿Cuál de los siguientes números es racional?
a)


2
2 8 
b)


2
7  12 
c)
x

x y
d)
2

x 1
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AU TO EVA L UA CI ÓN
N ú m er o s re al e s
Problema 1.
Resuelve:
5
a )3 9 .6 812 
c ) 40  135 
3
3
b)
d)
20
10

100 2
2
7
8

6
Problema 2.
Analiza si la siguiente igualdad es siempre cierta:
ab

n
anb
Problema 3.
Calcula la diagonal del cubo de la figura, sabiendo que su arista mide L cm.
Problema 4.
Sean “r” y “s” dos números. Si a la diferencia de ellos se resta su suma, se obtiene:
a) 0
b)  2r
c ) 2r  s
d ) 2r  2 s
e) 2 s
f ) Ninguna de las anteriores
Problema 5.
Efectúa el cálculo y expresa el resultado como potencia.
a)
b)

3

6
5. 5 
2.
3
c) 3 8.5 81 
22 