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Matemáticas 0. Álgebra elemental
OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Cuando se tiene una fracción en la que el denominador aparece una expresión con radicales, su
racionalización consiste en encontrar otra fracción equivalente a la dada pero sin raíces en el
denominador.
Ejemplo:
3
La expresión
2
no está racionalizada. Se racionaliza escribiéndola como
que se realiza multiplicando y dividiendo por
3 2
; transformación
2
2 . Naturalmente se cumple que
3
2
=
3 2
.
2
Los casos más corrientes, que escribo en su forma genérica más sencilla, son:
A
A
A
;
;
b+ c
b
b+ c
Se racionalizan multiplicando los dos términos de cada fracción por b , por b − c y por
b − c , respectivamente.
•
Ejemplos:
3
3· 2
3 2
a)
.
=
=
2
2
2· 2
9
9· 21
9 21 9 21 3 21
b)
.
=
=
=
=
2·21
42
14
2 21 2 21· 21
2
2(2 − 3 )
2(2 − 3 )
c)
=
=
= 4−2 3.
4−3
2 + 3 (2 + 3 )(2 − 3 )
(
)(
)
Recuerda que 2 + 3 · 2 − 3 = 2 2 −
d)
e)
f)
=
3−2
2 3 −3
2
5+ 3
( 3 − 2)(2 3 + 3)
=
(2 3 − 3)(2 3 + 3 )
=
3+ 2
2 2− 3
=
2( 5 − 3 )
( 5 + 3 )( 5 − 3 )
=
( 3)
2
= 4 − 3 = 1.
6+3 3−4 3−6
(2 3 )
2
=
− 32
=
− 3
.
3
2( 5 + 3 )
= 5 + 3.
5−3
(3 + 2 )(2 2 + 3 )
(2 2 − 3 )(2 2 + 3 )
=
6 2 +3 3 +2 4 + 6
(2 2 ) − ( 3 )
2
2
=
6 2 +3 3 +4+ 6
=
8−3
4+6 2 +3 3+ 6
.
5
Pequeños retos:
1. Racionaliza las siguientes fracciones:
x
4
2
5
x+ x
1+ 2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 x
8
3 +1
3
x− x
1− 2
2
x + 2x x + x
5 3
x
Soluciones: a)
. b) 2 . c) 3 − 1 . d) −3 − 2 2 . e)
. f)
.
3
2
x2 − x
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José María Martínez Mediano