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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
NATURALES
FACULTAD DEY CIENCIAS
EXACTAS Y
NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
GRADO: 9
TALLER Nº: 4
Grado 9
Taller # 4 II
SEMESTRE
Nivel II
FACTORIZACIÓN
RESEÑA HISTÓRICA
Emmy Noether fue una matemática alemana de origen judío que realizó
sus investigaciones en las primeras décadas del siglo XX. Mediante su
primera especialización sobre invariantes algebraicos consiguió demostrar
dos teoremas esenciales para la teoría de la relatividad que permitieron
resolver el problema de la conservación de la energía. Su aportación más
importante a la investigación matemática fueron sus resultados sobre la
axiomatización y el desarrollo de la teoría algebraica de anillos, módulos,
ideales, grupos con operadores, etc. En este contexto, que se llamó álgebra moderna, aplicó
sus conocimientos sobre invariantes dando rigor y generalidad a la geometría algebraica.
Sus investigaciones en álgebra no conmutativa destacan, sobre todo, por el carácter
unificado y general que dio a los conocimientos acumulados durante décadas. Sus
publicaciones serían suficientes para valorar su decisiva contribución a las matemáticas, pero
hay que considerar, además, que nunca le interesó mucho publicar y siempre permitió a sus
colegas y a sus estudiantes desarrollar resultados interesantes a partir de las sugerencias
que ella les hacía.
 OBJETIVO GENERAL
Hacer un repaso de las operaciones algebraicas más utilizadas y así recordar algunos
conceptos fundamentales para desarrollar cualquier operación en el campo de las
matemáticas.
 OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Identificar cada uno de los casos de factorización y su método de solución.
 Establecer relaciones entre los casos de factorización y los productos notables.
 GLOSARIO
Factorización, producto notable.
1
 DESARROLLO TEÓRICO
CASOS DE FACTORIZACION
La factorización es la descomposición de un objeto (por ejemplo, un número, una matriz o
un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos
todos, resulta el objeto original.
Caso I - Factor común: Sacar el factor común es extraer la variable común de un polinomio,
binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio
ab  ac  ad  ab  c  d 
ax  bx  ay  by  a  bx  y 
Factor común polinomio
ab  bc  ba  c
Caso II - Factor común por agrupación de términos: Para trabajar un polinomio por
agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se
repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada
una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
ab  ac  bd  dc  ab  ac  bd  dc  ab  c  d b  c  a  d b  c
Caso III - Trinomio cuadrado perfecto: Se identifica por tener tres términos, de los cuales
dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para
solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los
términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer
término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al
segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
x  a 2  x 2  2ax  a 2
x  a 2  x 2  2ax  a 2
2
La suma o diferencia de dos cantidades al cubo también es una factorización muy conocida
x  a 3  x 3  3ax 2  3a 2 x  a 3
x  a 3  x 3  3ax 2  3a 2 x  a 3
Análogamente al trinomio cuadrado perfecto una suma o diferencia al cuba se identifica
porque hay dos cantidades elevadas al cubo una que es tres veces la primera al cuadrado
por la segunda y otra tres veces la segunda al cuadrado por la primera.
Caso IV - Diferencia de cuadrados: Se identifica por tener dos términos elevados al
cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a
los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse
las raíces.
x  a x  a   x 2  a 2
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción: Se identifica por tener
tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo
mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el
mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como
ayuda los casos número III y IV.




x 3  a 3  x  a  x 2  ax  a 2
x 3  a 3  x  a  x 2  ax  a 2
Caso VI - Trinomio de la forma x 2  nx  m : Se identifica por tener tres términos, hay una
literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por
medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando
dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o
restados den como resultado el término del medio.
x 2  nx  m  x 2  a  bx  a.b  x  a x  b , donde n  a  b y m  a.b
Caso VII - Trinomio de la forma px 2  nx  m
px 2  nx  m  a.cx  ad  bcx  b.d  ax  bcx  d , donde p  a.c, m  b.d y n  ad  bc
3
EJEMPLOS RESUELTOS
 Ejemplos resueltos.
1. 4 x 3  8x 2  4 x 2 x  2
2.
ad  2a  3b  6  ab  2a  3b  6  ab  2  3b  2  b  2a  3
3. x 2  6 x  9  x 2  2x.3  3 2  x  3x  3  x  3
4. x 2  81  x 2  9 2  x  9x  9
     2x
3
5. 8x 6  27 y 12  2 x 2  3 y 4
6. x 2  2 x  15  x  5x  3

3
2
2

 3 y 4 4x 4  6x 2 y 4  9 y 8


8 8 x 2  22 x  15 8.8 x 2  228 x   8.15 8 x   228 x   120



7. 8 x  22 x  15 
8
8
8
8 x  128 x  10 
2 x  3 4 x  5
8
2
2
 EJERCICIOS PROPUESTOS
Factorizar cada uno de los siguientes ejercicios.
5 4 8
15
x y  10 x 5 y 6  x 6 y 4 =
8
4
2
2
2. 4ax x  1  a x  1 
3. x 2  2 xy  z 2  2 xy  2 xz  2 yz 
4. 49 x 2 n  100 x 2 m 
5. y 7  y 6  y  1 
6. x 2  11x  24 
7. 6 x 2  19 x  10 
8. 7a 12  33a 6  10 
9. 4a 2  7abc  15b 2 c 2 
3
10. a  1  1 
1.

 

11. a 2  9a  18 
x3
a 2 x3 a 2
1


12.
8
32
4
13. x 4  b 4  c 4  2 x 2 b 2  2 x 2 c 2  2b 2 c 2 
y3 x
x3

  y
14.
297 11 3
15. x 3  3ax 2  2a 2 x  x 2  3ax  2a 2 
16. t 3n  7t 2 n  8t n 
17. L 1  dg h 2  L1  dg  
18. 5 2 x  5 x 1  4 
19. x 3n  7 x 2 n  8 x n 
20. x 3  x 2  x  1 
9
21.  x  2  
22. a  b   a  3 
2
23. 4
a  b10
a  b2
2

81 
.
24.
3  27 
9 2 n 1
n 1 n
n 1 n 1
n  2 n 1
=
25. z 5 x 2  4 z 5 x 3 y 4  4 x 5  16 x 6 y 4 
26. 5 x 2  27 x  18 
1
 c 3 a 1b 2 
27.   2  2  
 c a b 
28. 70 x 2  20 xy  168x  48 y 
29. 12 x 5 y  48x 3 y  24 x 4 y  96 x 2 y 
30. 4 g 2  12 gh  12 g  9h 2  18h  9 
4
 PEQUEÑOS RETOS
1. El máximo número de cuadrados que se pueden construir utilizando la trama del dibujo,
cumpliéndose que los vértices de cada uno de ellos sean puntos de la misma es
a. 15
b. 18
c. 20
d. 14
2. Se introducen 9 esferas de cristal iguales entre si, en un recipiente vacio cuya capacidad
es de 30 litros y luego se llena con agua a razón de 0.25 litros por segundo. Si después
de 48 segundos el recipiente ha sido llenado totalmente, entonces el volumen (en litros)
de cada una de las esferas de cristal, es
a. 1 litro
b. 3 litros
c. 2 litros
d. 6 litros .
3. En el siguiente tablero de 2 filas y 4 columnas: En cada casilla de la segunda fila escribir
un número de tal manera que, en cada columna, el número de la segunda fila sea igual a
la cantidad de veces que el dígito de la primera fila aparece en todo el tablero.
5