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Tema 1
Nuestro sistema de numeración
Nuestro sistema de numeración es:
Decimal, porque diez unidades de un orden forman una unidad del orden siguiente.
Posicional, porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número.
Los números grandes
Para facilitar la lectura de números grandes, se escriben en grupos de tres cifras, dejando
un espacio entre cada grupo, empezando por la derecha.
El número 75 290 000 se lee setenta y cinco millones doscientos noventa mil.
La numeración romana
I=1
V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500
M = 1000
- Las letras I, X, C y M se pueden repetir dos o tres veces seguidas: III = 3
- Si una letra se pone a la derecha de otra de igual o mayor valor, se suman sus valores:
XV = 15
- Las letras I, X y C escritas a la izquierda de un nº mayor, le restan su valor: XL = 40 _
- Una raya encima de una o varias letras indica que el nº queda multiplicado por 1.000 V
= 5.000
- La letra I solo puede restar a a V y a X. IV = 4; IX = 9
- La letra X solo puede restar a L y a C
- La letra C solo puede restar a D y a M
- Para realizar sumas o restas con números romanos, debemos expresarlos en nuestra
numeración y, después operar.
Tema 2
La suma y la resta. Propiedades
SUMA
16
+
sumando
9 = 25
sumando suma
RESTA
25
minuendo
–
16
=
sustraendo
9
diferencia
- La suma y la resta son operaciones inversas. Para calcular el término que falta en una suma hacemos una resta.
48 + 35 = 83
83 – 48 = 35
- Para calcular el minuendo de una resta, sumamos el sustraendo y la diferencia.
59 – 46 = 13
46 + 13 = 59
PROPIEDADES DE LA SUMA
Conmutativa : el orden de los sumandos no altera la suma.
a+b=b+a
24 + 12 = 12 + 24 = 36
Asociativa : el modo de agrupar los sumandos no altera el resultado de la suma.
(a + b) + c = a + (b + c)
(15 + 5) + 7 = 20 + 7 = 27
15 + (5 + 7) = 15 + 12 = 27
La multiplicación. Práctica y propiedades
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto
axb=bxa
Asociativa: el modo de agrupar los factores no altera el resultado de la multiplicación
(a x b) x c = a x (b x c)
Distributiva de la multiplicación
a) Respecto de la suma: multiplicar un número por una suma da el mismo resultado que multipplicar cada término el nº
por cada término de la suma y después sumar todos los resultados.
c x ( a + b) = c x a + c x b
2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4
b) Respecto de la resta: multiplicar un nº por una resta da el mismo resultado que multiplicar el nº por cada uno de los
términos de la resta y después restar los resultados.
c x ( a – b) = c x a – c x b
2 x (4 – 3) = 2 x 4 – 2 x 3
Práctica de la división
95 77 12 : 736
La jerarquía en las operaciones combinadas
6 x (9 – 6) – 15 : (3 + 2)
- Primero, realizamos la operación que está entre paréntesis. 6 x
- Después, las multiplicaciones y divisiones.
3
18
- 15 :
-
- Por último, las sumas y las restas.
5
3
15
Tema 3
Las potencias
Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales.
5
--- Exponente : nº de veces que se multiplica la base
4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 -----Base : factor que se repite
Se lee «cuatro elevado a cinco».
Cuadrados y cubos
Dos al cuadrado Tres al cubo
Las potencias de exponente dos se denominan cuadrados y las de exponente tres se denominan cubos.
Potencias de base diez
Para calcular el valor de una potencia de base 10, ponemos un uno seguido de tantos ceros como indique el exponente.
Las potencias de base 10 nos permiten:
Expresar números grandes de forma abreviada.
6
7 000 000 = 7 · 10
Descomponer números:
5
4
650 453 = 6 · 10 + 5 · 10
2
+ 4 · 10
+ 5 · 10 + 3
6
Los millones se expresan de forma simplificada así: 1.000.000 = 10 ;
6
4.000.000 = 4 . 10
La raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número es otro número que multiplicado por sí mismo da el primero.
____
Raíz V 36
= 6, porque 6 · 6 = 36
Radicando
Se lee «raíz cuadrada de 36 es igual a 6»
La operación inversa de elevar un número al cuadrado es calcular la raíz cuadrada.
2
11 = 121
______
V 121 = 11
TEMA 4
Los múltiplos de un número
Múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por cualquier otro.
Múltiplos de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18...
Múltiplos de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30...
Si un número es múltiplo de otro, la división del 2º por el 1º es exacta. 40 es múltiplo de 5 porque 40 : 5 = 8
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos números es el menor de los múltiplos comunes de ambos números.
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40...
mín.c.m. (4, 10) = 20
Los divisores de un número
Los divisores de un número son todos los números que caben en él una cantidad exacta de veces o también decimos
que son aquellos valores que dividen al número en partes exactas.
Divisores de 6 : 1, 2, 3, 6.
Divisores de 15 : 1, 3, 5, 15.
- Los números que tienen solo dos divisores sellaman primos: 2,3,5,7 ...
- Los números que tienen más de dos divisores se llaman comopuestos: 4,6,8,9,10 ...
Criterios de divisibilidad:
Nos permiten descubrir si un número es divisible por otro sin hacer la división.
Un número es divisible:
Por 2, si termina en 0 o en cifra par: 276 es divisible por 2 porque termina en cifra par
Por 3, si la suma de sus cifras es divisible por 3: 114 es divisible por 3 porque 1+1+4 = 6 y 6 es divisible por 3.
Por 5, si termina en 0 o 5.
Por 6, si es divisible por 2 y por 3 a la vez. 12 es diviible por 6 porque termina en cifra par y es divisible por 3.
Por 9, si la suma de sus cifras es divisible por 9: Así 855 lo es, porque 8+5+5 = 18 y 18 es divisible por 9
Por 10, si termina en 0.
TEMA 5
Números enteros
Los números que expresan unidades completas, positivos y negativos, junto con el cero, se denominan, de
forma general números enteros. Son números enteros: +3 ; -5 ; 0 ; +1
Cuando un número no lleva ningún signo delante, se entiende que es positivo.
Números positivos y números negativos
Los números que están por encima o a la derecha del cero son los números positivos. Los números que están por
debajo o a la izquierda del cero son los números negativos.
Los números positivos expresan situaciones por encima del valor cero, por ej., la altura de una montaña. Los negativos
representan valores por debajo de cero, por ej. Bajar al tercer sótano.
Ordenación y comparación de números enteros
- Los números enteros quedan ordenados en la recta numérica.
- Un número entero es mayor que otro cuanto más a la derecha de la recta numérica se encuentre y es menor cuanto
más a la izquierda esté.
- Los números enteros que están a la misma distancia de cero se denominan números opuestos +2 es el opuesto de -2.
Suma de números enteros del mismo signo
1º Sumamos los números sin fijarnos en los signos.
2º Al resultado añadimos el signo que llevaban los sumandos.
(+4) + (+3) = +7
(–5) + (–1) = –6
Suma de números enteros de distinto signo
1º Prescindimos del signo de ambos números.
2º Restamos el menor del mayor.
3º Al resultado añadimos el signo del sumando que esté más lejos del cero.
(–3) + (+7) = (+4)
(+6) + (–8) = (–2)
TEMA 6
Números decimales
Son aquellos que tienen una parte decimal en oposición a los números enteros que expresan unidades
completas.
La parte decimal o fraccionaria corresponde al valor decimal situado entre cero y uno.
Los números decimales tienen una parte entera separada por una coma de la parte decimal.
Si dividimos la unidad en diez, cien, mil partes iguales, obtendremos décimas 1/10 = 0,1, centésimas 1/100 =
0,01 y milésimas 1/1000 = 0,001
El número 3,418 se lee: tres unidades y cuatrocientas dieciocho milésimas.
3,418 = 3 U + 4 d + 1 c + 8 m
3,418 = 3 + 0,4 + 0,01 + 0,008
Un número decimal se puede expresar como fracción decimal y una fracción decimal se puede expresar como
número decimal.
0,15 = 15/100
83/10 = 8,3
Suma y resta de números decimales
Para sumar o restar decimales, se colocan los números en columnas haciendo coincidir las comas
decimales y las cifras que faltan se completan con ceros.
13,4 – 7,516
1 3, 4 0 0
- 7, 5 1 6
5, 8 8 4
Multiplicación de números decimales
Primero multiplicamos como si fueran números enteros.
Después separamos en el producto tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores
1, 2 5
x 3, 8
1000
+3 7 5
4,7 5 0
Si multiplicamos un número decimal por 10, 100 ó 1000 corremos la coma hacia la derecha tantos lugares
como ceros tenga la unidad. 3,08 x 10 = 30,08
3,08 x 100 = 308
3,08 x 1000 = 3080
División de un decimal entre un entero
Para dividir un decimal entre un entero, se divide como si fueran enteros, y al “bajar” la cifra de las décimas
se pone la coma en el cociente.
9 1, 2 5 : 25
162
3, 6 5
125
00
Si dividimos un número decimal por 10,100 ó 1000 corremos la coma hacia la izquierda tantos lugares como
ceros tenga la unidad. 420,8 : 10 = 42,08
420,8 : 100 = 4,208
420,8 : 1000 = 4,208
División de decimales
Para dividir dos números decimales, se se transforma el divisor en un número entero; para ello, se
multiplican el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el
divisor. Después, realizamos la división
7 3, 5 4 : 3,5
x10
ax 10
7 3 5, 4 : 3 5
TEMA 7
La fracción como parte de un todo
Para calcular la fracción de una cantidad, se divide por el denominador y se multiplica por el numerador.
3/10 de 40 = (40 : 10) x 3 = 4 x 3 = 12
La fracción como cociente de dos números
El valor decimal de una fracción se calcula dividiendo el numerador entre el denominador.
3/5 3 : 5 = 0,6
Fracciones equivalentes
Dos o más fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico
2/5 = 2 : 5 = 0,4
4/10 = 4 : 10 = 0,4
2/5 y 4/10 son equivalentes.
Podemos obtener fracciones equivalentes de dos formas
AMPLIFICACIÓN: multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número 1/3 = 3/9
SIMPLIFICACIÓN: dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número 6/15 = 2/5
Reducción de fracciones a común denominador
Para reducir fracciones a común denominador
- Se busca un múltiplo común a todos los denominadores.
- Se sustituye cada fracción por otra equivalente que tenga dicho múltiplo por denominador.
Reduce a común denominador 3/4 y 1/3
3/4 = 9/12 y 1/3 = 4/12
Reduce a común denominador y ordena de menor a mayor: 4/5 5/7 11/35
4/5 = 28/35
5/7 = 25/35
11/35
11/35 < 5/7 < 4/5
TEMA 8
Suma y resta de unidades enteras y fracciones
Para sumar o restar una fracción a la unidad:
- Se divide la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador de la fracción y se expresa en forma de
fracción.
- Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
1+ 3/8 = 8/8 + 3/8 = 11/8
1- 3/8 = 8/8 – 3/8 = 5/8
2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5
Suma y resta de fracciones
Para sumar o restar fracciones con distinto denominador:
- Primero se reducen a común denominador.
- Y después se suman o se restan los numeradores dejando el mismo denominador.
2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6
2/3 – 1/5 = 10/15 – 3/15 = 7/15
1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8
Producto de fracciones
Para multiplicar un número por una fracción se multiplica el número por el numerador y se deja el mismo
denominador.
2 x 3/7 = 2 x 3 /7 = 6/7
Para multiplicar dos fracciones,se multiplican los numeradores y los denominadores:
2/3 x 2/5 = 4/15
En las operaciones con fracciones es necesario simplificar los resultados
Cociente de fracciones
Para dividir dos fracciones,se multiplica la primera por la inversa de la segunda:
2/5 : 3/4 = 2x4 / 5x 3 = 8/15
Para dividir un número entero y una fracción, se transforma el número en fracción, poniéndole un 1 como
denominador.
2/5 : 3 = 2/5 : 3/1 = 2/15
TEMA 9
Magnitudes proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al relacionarlas vemos que al multiplicar o dividir
una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Por ejemplo, si un
litro de nata vale 3 euros, dos litros valen el doble; tres litros, el triple ..
La cantidad de nata (litros) y el dinero que pagas (euros) son dos magnitudes proporcionales.
María está haciendo ramos de claveles y en cada uno pone 6. Expresa en una tabla de proporcionalidad directa
los claveles que hay que poner en 2 ramos,en 3, … hasta 6 ramos.
Ramos
1
2
3
4
5
6
Claveles
6
12
18
24
30
36
Problemas de proporcionalidad
Si 5 tabletas de chocolate cuestan 30 euros. ¿Cuánto cuestan 3 tabletas?
Para resolver problemas de proporcionalidad directa, hay dos formas de resolución:
1. Por reducción a la unidad
Calculamos el coste de una tableta 30: 5 = 6 y después calculamos el coste de 3 tabletas 3 x 6 = 18
Nº de
tabletas
Coste (en
€)
5
30
1
6
3
18
2. Utilizando la regla de tres
Nº de
tabletas
Coste (en
€)
5
30
3
x
Expresamos la tabla de proporcionalidad como un par de fracciones equivalentes
5 = 30
3 x
5. x = 3 . 30
x = 3 . 30 = 18
5
El porcentaje o tanto por ciento
El porcentaje es una fracción de denominador 100
65% = 65/100
Un porcentaje indica cuántas partes tomamos de 100.
Cálculo de porcentajes
El 30% de 120 es lo mismo que 30/100 de 120
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se divide la cantidad entre 100 y, después, se multiplica el
resultado por el tanto por ciento.
Para calcular el 30% de 120, dividimos entre 100 y multiplicamos el resultado por 30. 129: 100 = 1,20 x 30 = 36
TEMA 10
Ángulos y su medida
El grado es la unidad principal de medida de ángulos. Un grado resulta de dividir en noventa partes iguales un
ángulo recto. 1/90 = 1º
Para medir ángulos, usamos el transportador o semicírculo graduado.
Los ángulos según su abertura:
Completo
Llano: 180º
Obtuso: más de 90º
Recto: 90º
Agudo: menos de 90º
Según su posición:
Consecutivos: tienen el vértice y un lado en común.
Adyacentes: son consecutivos y además forman un ángulo llano.
Opuestos por el vértice: vértice en común y lados en prolongación.
El grado, el minuto y el segundo
El sistema de unidades para medir ángulos se llama sistema sexagesimal, porque 60 unidades de un orden
forman una unidad del orden siguiente.
Un grado equivale a 60 minutos.
Un minuto equivale a 60 segundos.
1º = 60' = 3 600''
Para pasar de grados a minutos se multiplica por 60.Igual si pasamos de minutos a segundos.
Para pasar de segundos a minutos se divide por 60. Igual si pasamos de minutos a grados.
Suma de ángulos
25º 43' 36''
+ 56º 25' 30''
81º 68'
66”
+1 - 60”
81º 69'
6”
+ 1º– 60'
89º 9'
6”
Resta de ángulos
Pasos:
1. Si el número de segundos del minuendo es menor que el del sustraendo, «cambiaremos» un
minuto en segundos.
2. Si el número de minutos del minuendo es menor que el del sustraendo, «cambiaremos» un grado
a minutos.
3. Restamos entre sí las unidades del mismo orden.
Si al restar falta algún orden de unidades, se sustituye por ceros y después se hacen los cambios de unidad
necesarios.
24º78'
25º 18' 48''
– 14º 53' 23''
10º 25' 25''
TEMA 11
Longitud y superficie
La longitud se mide en unidades lineales. La unidad principal de medida de longitud es el metro.
La superficie se mide en unidades cuadradas. La unidad principal de medida de superficie es el metro
cuadrado.
Perímetro y área
El perímetro es la medida del contorno. Es una longitud y se mide en unidades lineales.
El área es la medida de la superficie y se expresa en unidades cuadradas.
Unidades de medida de longitud
Van de 10 en 10; es decir, cada una es igual a 10 veces la anterior y a la décima parte de la siguiente.
1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m
1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
Múltiplos
Unidad principal
Submúltiplos
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Unidades de medida de superficie
Van de 100 en 100; es decir, cada una es igual a 100 veces la anterior y a la centésima parte de la siguiente.
1 km2 = 100 hm2 = 10 000 dam2 = = 1 000 000 m2
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = = 1 000 000 mm2
Múltiplos
2
km
2
hm
dam
2
1.000.000 m
Unidad principal
2
2
10.000 m
2
m
2
100 m
Submúltiplos
2
2
1m
2
2
dm
cm
mm
2
0,01 m
2
0,0001 m
2
0,00001 m
TEMA 12
Paralelogramos: son polígonos de cuatro lados paralelos entre sí dos a dos.
El perímetro de una figura es la longitud de su contorno.
El área de una figura es la medida de su superficie.
Cuadrado: Perímetro = 4 . lado P = 4 . l
Área = lado . lado A = l . l
Rectángulo: Perímetro = 2 . base + 2 . altura P = 2 . b + 2 . a
Área = base . altura A = b . a
Romboide: Perímetro = 2 . base + 2 . altura P = 2 . b + 2 . a
Área = base . altura A = b . a
Rombo:
Perímetro = 4 . lado P = 4 . l
Área = Diagonal mayor . Diagonal menor A = D . d
2
2
Para hallar el área de algunas figuras es necesario descomponerlas en figuras cuya área sabemos
calcularla. El área de esa figura se calcula sumando el área de cada figura que hemos calculado.
Triángulos
Un, triángulo se puede considerar como la mitad de un rectángulo y, también como la mitad de un
romboide.
Área del triángulo = área del rectángulo = base . altura A = b . a
2
2
2P
Para calcular el área de un polígono irregular, se suele dividir en triángulos. Después se toman medidas y
se hallan sus áreas y por último se suman todas.
Polígonos regulares
Para calcular el área de un polígono regular podemos dividirlo en triángulos iguales, calcular el área de uno
de esos triángulos y multiplicar el área por el número de lados.
O también:
Área del polígono regular = Perímetro . apotema = P . a apotema = la perpendicular desde el centro hasta uno de sus lados
2
2
Circunferencia y círculo
La longitud de una circunferencia es 3,14 veces la de su diámetro. Para calcular la longitud de una circunferencia
se multiplica el diámetro que tenga por 3,14.
El área del círculo se calcula multiplicando 3,14 por el radio elevado al cuadrado.
TEMA 13
Los poliedros
Los poliedros son cuerpos geométricos que tienen todas sus caras planas.
Elementos de un poliedro: caras, aristas y vértices
Clases de poliedros: prismas y pirámides.
Prismas: tienen dos bases y sus caras son paralelogramos.
Pirámides: tiene una base y sus caras laterales son triángulos.
Según sea el polígono de la base, los prismas y las pirámides se denominan triangulares, cuadrangulares,
pentagonales...
Poliedros regulares
Sólo existen cinco poliedros regulares: tetraedro (4 caras que son triángulos equiláteros), cubo ( 6 caras cuadradas), octaedro ( 8 caras
que son triángulos equiláteros), dodecaedro (12 caras que son pentágonos regulares) e icosaedro (20 caras que son triángulos equiláteros)
Los cuerpos redondos
Los cuerpos redondos se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje.
Cilindro: se obtiene haciendo girar un rectángulo. Tiene dos bases.
Cono : se obtiene haciendo girar un triángulo. Tiene una base circular y un vértice.
Esfera: se obtiene haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro.
La medida de volumen
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.
Medir el volumen es calcular el número de unidades cúbicas que caben en su interior.
Unidades de medida de volumen
Metro cúbico (m3): un metro cúbico es el volumen de un cubo de un metro de arista.
Decímetro cúbico (dm3) : es el volumen de un cubo de un decímetro de arista
Centímetro cúbico (cm3) : es el volumen de un cubo de un centímetro de arista.
1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3
1 dm3 = 1000 cm3
El volumen y la capacidad son una misma magnitud. Un litro llena un cubo de un decímetro de arista
1 l = 1 dm3
TEMA 14
Variables estadísticas
Variable estadística: cualquier fenómeno que puede ser estudiado recogiendo,ordenando y analizando datos.
Una variable estadística se llama cuantitativa si toma valores numéricos, y cualitativa si toma valores no
numéricos.
Frecuencia de un valor es el número de veces que se repite.
Frecuencias absoluta y relativa
- El número de veces que se repite un dato de una variable es su frecuencia absoluta.
- El cociente de dividir el número de veces que se repite un dato entre el total de datos es la frecuencia relativa.
- Cuando representamos las frecuencias sobre un círculo, obtenemos un gráfico de sectores.
Histograma
Es la representación gráfica de una variable cuantitativa donde los datos aparecen agrupados en intervalos.
El polígono de frecuencias se construye uniendo los puntos medios de las barras de frecuencias del
histograma.
La media, la mediana y la moda
La media es la suma de todos los datos dividida entre el número de datos. También se llama media aritmética o
promedio.
La mediana es el valor que ocupa la posición central de los datos ordenados. Si el número de datos es par, la
mediana se obtiene sacando la media de los dos valores centrales.
La moda es el dato que más se repite o el que tiene mayor frecuencia.
TEMA 15
Situaciones y experiencias aleatorias
Se dice que una situación cuyo resultado, entre varios posibles, no se puede predecir es una experiencia
aleatoria.
Para analizar una situación aleatoria necesitamos conocer todos los resultados posibles.
Llamamos suceso al conjunto de algunos resultados posibles de una situación aleatoria.
Clases de sucesos
Seguro: se verifica siempre.
Probable o posible: se verifica algunas veces.
Imposible: no se verifica nunca.
Probabilidad y fracciones
Para medir la probabilidad de un suceso, escribimos una fracción. En el numerador ponemos el número de casos
favorables, y en el denominador, el número de casos posibles.
P = nº de casos favorables
nº casos posibles
La probabilidad a partir de los datos
En ciertas ocasiones se pueden estimar probabilidades a partir de datos recogidos en experiencias anteriores.
Este tipo de estimaciones son más fiables cuantos más datos entren en la estadística.
Probabilidad estimada =P = nº de casos favorables
nº casos posibles