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Números Racionales Matemática 1º año

Los números racionales son los que se pueden expresar en forma de fracción:
Número Racional 

número entero
número entero
El conjunto de los números racionales se designa con la letra
.
Ejemplos de números racionales son:
a
2
3
b  1,5 
3
2
c  2 
6 6
6


3 3
3
d  0,33... 
1
3
 Un número racional puede expresarse de muchas formas diferentes.
Por ejemplo:
0,5 
1 2 3
25
   ... 
 ...
2 4 6
50
 Los números racionales están ordenados.
El orden se aprecia con claridad en la recta numérica:
También puedes ordenar números racionales de la misma forma que ordenabas fracciones: reduciendo a
común denominador.
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
Todos los números enteros y, por tanto, los
naturales, son también números racionales.
Efectivamente, cualquier entero puede expresarse
como una fracción, por ejemplo:
5
10 20

 ...
2
4
-5
10 10

 ...
2
2
Los números decimales, ¿son racionales?
Recuerda que un número racional sí se puede expresar en forma de fracción. Recuerda también que hay
tres tipos de decimales: exactos, periódicos y los que tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

Decimal finito a fracción.
Un decimal finito es equivalente a una fracción cuyo:

Numerador
es el número formado por cifras significativas del decimal.

Denominador
es una potencia de 10 con tantos ceros como se necesiten para completar hasta
el último lugar ocupado por las cifras significativas.
Ejercicio Resuelto.
a)
Decimal finito:
13
0
,13 
100
100
b)
Decimal finito:
17
0
,00017



  100.000
100.000

Decimal infinito periódico a fracción.
Un decimal infinito periódico es equivalente a una fracción cuyo:

Numerador
es el período.

Denominador
es un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período.
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Ejercicio Resuelto.
41
99
a) Decimal infinito periódico:
0, 41 
b) Decimal infinito periódico:
0,1389 

1.389
9999
Decimal infinito semiperiódico a fracción.
Un decimal infinito semiperiódico es equivalente a una fracción cuyo:

Numerador

Denominador
es la diferencia entre el decimal completo (sin coma decimal) y el anteperíodo.
es un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período y tantos
ceros como cifras tiene el anteperíodo.
125  12 113

900
900
a) Decimal infinito periódico:
0,125 
b) Decimal infinito periódico:
0,4578 
4.578  45 4.533

9.900
9.900
DECIMALES CON INFINITAS CIFRAS NO PERIÓDICAS.
2  1,414213...
  3,141592...
5  2,236067 …
Son números decimales con infinitas cifras no periódicas.
Estos números no pueden transformarse en una fracción y, por tanto, no son números racionales. Los
estudiaremos con mayor profundidad en cursos superiores.
Resumen
Decimales exactos
Son números racionales
NÚMEROS DECIMALES
Decimales periódicos
Números con infinitas cifras
decimales no periódicas.
Son números irracionales
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Recuerda: Para transformar una fracción en un número decimal no tienes más que dividir el
numerador entre el denominador.
Hay tres tipos de números decimales:
1) Decimales exactos: cuando las cifras decimales se acaban.
2) Periódicos puros: cuando las cifras decimales son infinitas y se repiten.
Periódicos mixtos: cuando las cifras decimales son infinitas, hay algunas cifras decimales que no
se repiten y el resto sí.
Tipos de números decimales:
a) Decimales exactos: Tienen un número finito (limitado) de cifras decimales.
Ejemplos:
- Al dividir 3 entre 5 nos da un decimal exacto: 0’6
- Al dividir 3 entre 4 nos da un decimal exacto: 0’75
- Al dividir 3 entre 8 nos da un decimal exacto: 0’375
- Al dividir 18 entre 8 nos da un decimal exacto: 2’25
b) Decimales periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente.
b.1.- Decimales periódicos puros: Todas sus cifras decimales se repiten:
Ejemplos:
- Al dividir 1 entre 3 nos da un decimal periódico puro: 0’333333... Se escribe 0’3
- Al dividir 2 entre 3 nos da un decimal periódico puro: 0’666666... Se escribe 0’6
- Al dividir 25 entre 9 nos da un decimal periódico puro: 2’77777... Se escribe 2’7
- Al dividir 251 entre 99 nos da un decimal periódico puro: 2’5353.. Se escribe 2’53
- 22 entre 7 nos da un decimal periódico puro: 3’142857142857... Se escribe 3’142857
A la cifra o cifras que se repite/n se le/s denomina periodo.
b.2.- Decimales periódicos mixtos: tienen parte no periódica y parte periódica.
Ejemplos:
- Al dividir 7 entre 18 nos da un decimal periódico mixto: 0’38888... Se escribe 0’38
3 es la parte no periódica y 8 es la parte periódica.
- Al dividir 5 entre 6 nos da un decimal periódico mixto: 0’83333... Se escribe 0’83
8 es la parte no periódica y 3 es la parte periódica
c) Decimales no exactos y no periódicos: Tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Ejemplos:
- 2 = 1’41421356237......
-  = 3’141592.....
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