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El país de las mates
(Para estudiantes de 14 años en adelante)
Entras en la llamada Oscura Caverna de la Ignorancia. Se produce un destello de luz
y el Matemático Mágico aparece ante ti.
“Se te van a proponer una serie de problemas para que los resuelvas”, te explica. “Si
aciertas a la primera obtendrás 30 puntos por cada uno de ellos. Si te atascas, puedes
utilizar esos puntos para recibir ayuda. Tus respuestas te llevarán al siguiente paso en el
laberinto”. “Elige tu camino con atención pues El país de las mates está repleto de los
huesos de los exploradores que se perdieron…”
Utiliza el plano que se te ofrece para anotar tu recorrido por el laberinto. El lado de cada
cuadrícula representa 1 Km.
En tu croquis debes poner los nombres de los lugares que visitas y de los personajes que
te encuentras. Las rutas que unen dos puntos serán siempre rectas, pero no olvides que
tu camino puede girar sobre sí mismo y retroceder.
En el plano hay también espacio para que apuntes los puntos que ganas y pierdes.
Se distingue una débil luz hacia el Norte. Avanza con cuidado hacia ella.
Problema nº 1.
Has recorrido dos kilómetros y llegas a la Fuente de Fermat. Un gnomo malhumorado
está sentado en ella.
“Aquí se cruzan tres caminos”, dice con el ceño fruncido. “Para decidir qué camino
tomar debes resolver este problema”.
He aquí tres vistas del mismo cubo
X
¿Qué figura hay en la cara opuesta a X, el triángulo, el cuadrado o el hexágono?
Entrega la resolución completa del problema a tu profesor.
Si te atascas, di a tu profesor que te dé una pista
Fermat fue un matemático francés del siglo XVII. Durante siglos, los matemáticos no
consiguieron encontrar la demostración del llamado Último Teorema de Fermat.
Fermat escribió en el margen de un libro esta nota: “He descubierto una demostración
verdaderamente maravillosa pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”.
Andrew Wiles consiguió finalmente demostrar el Último teorema de Fermat en 1994.
1
Su demostración ocupa unas 200 páginas. ¡Un buen margen! ¿Cuál es el enunciado del
Último teorema de Fermat?
Pista 1:
Construye un cubo con cartulina y marca tres de sus caras como en la primera figura.
Encaja luego las caras de las otras dos figuras.
Si no obtienes una respuesta, pide nuevamente ayuda a tu profesor.
Pista 2:
“Abandonas demasiado pronto”, gruñe el gnomo. “Por ello, pierdes 20 puntos. Sigue
ahora el camino a tu izquierda y pide a tu profesor la segunda prueba”.
Problema nº 2.
“Bien”, gruñe el gnomo, “sigue el camino de tu izquierda y avanza unos 4 Km.”
Por un estrecho túnel. Al final llegas a la Cueva de Cristal. Hay piedras preciosas
esparcidas en el suelo de la cueva. Tomas un cristal de diamante.
¿Cuántas formas de diamante puedes encontrar en esta estructura?”
120
Entrega la resolución del problema al profesor
60
Si te atascas pide ayuda a tu profesor, pero perderás 10 puntos.
Pista 1:
Piensa en las diferentes formas y tamaños de los diamantes. ¿Cuántos hay como éstos?
Ten en cuenta también estos otros y sus versiones de mayor tamaño.
2
Si sigues atascado, olvídate del problema y pide la nueva tarea al profesor, pero pierdes
otros 10 puntos.
Problema nº 3.
“¡Descompusiste el cristal!. Lo que hace un total de 60 diamantes. Esta vez sólo hay
dos caminos entre los que escoger, por lo tanto, tienes que encontrar dos números”,
dice el gnomo.
“Halla dos números enteros n y m, de forma que: 2n-2m=2016”
Entrega la resolución completa del problema a tu profesor.
Si estás atascado, pide ayuda al profesor a cambio de 10 puntos.
Pista 1:
Experimenta. Comienza por encontrar un número n tal que 2n sea mayor que 2016.
¿Cuánto mayor que 2016 es 2n?
¿Es este resultado una potencia de 2?
Si continúas atascado, pierdes 20 puntos y pides el siguiente problema al profesor.
Problema nº 4.
“Bien”, sonríe el gnomo. 211-25=2016.
Te desplazas 3 Km. Hacia el Norte. El camino asciende con una acusada pendiente y te
encuentras a pleno sol en el Cruce de Cantor. Una víbora se está enrollando en mitad
del camino.
“Essstoy tan contenta de que passses por aquí”, te sisea. “Puedesss resolver una
cuestión sibilina: mi padre tiene el doble de años que yo y es 12 veces mayor que mi
mascota el ratón. ¿Cuántas veces era mi padre mayor que yo cuando yo tenía la edad
que el ratón tiene ahora?
Entrega la resolución completa del problema a tu profesor.
Si te atascas puedes pedir ayuda, pero pierdes, como ya sabes, 10 puntos.
Georg Cantor (1845-1918) estableció la teoría de conjuntos e introdujo el concepto de
números infinitos. En su tesis doctoral afirmó: “En matemáticas, el arte de hacerse
preguntas tiene más valor que resolver los problemas”.
3
Pista 1:
Supón que el ratón tiene ahora m años.
Por lo tanto, mi padre tiene 12m años y yo tengo 6m años.
Yo tenía la misma edad que el ratón hace 5m años y mi padre tenía entonces 7m años.
La respuesta es, por lo tanto, 7. Intenta un problema similar y si lo resuelves bien podrás
continuar con el siguiente problema.
¡Ahí va el siguiente problema!
La anaconda tiene algunos ratones.
La boa tiene el doble que la anaconda y 30 más.
La cobra tiene el triple que la boa y sesenta más.
Las tres juntas tienen 270 ratones.
¿Cuántos tiene la anaconda?
Entrega la solución a tu profesor y él te dará el siguiente problema.
Problema nº 5.
“Muchasss graciasss” sisea la víbora, “ahora sé cuál es la edad de mi padre”.
Toma el camino a la izquierda. Avanzas 4 Km. por un camino polvoriento. Llegas a la
Puerta Giratoria de Doppler que te impide el paso. A su lado está sentado un caracol
viscoso que te sonríe afectadamente.
“Lee el mensaje cifrado que está escrito en la puerta y sabrás qué hacer. La clave del
código está en sus factores”.
VANEGTTIIENNAAULVEAEVPIE
Entrega la resolución del problema a tu profesor y si tienes dificultades solicita una
pista, pero pierdes 10 puntos.
Piensa en un número. Escribe todos sus factores primos.
¿Cuántos factores aparecen? ¿Sólo dos factores?, ¿Sólo cuatro factores?, ¿Quizás un
número impar de factores?
Pista 1:
Piensa en este mensaje cifrado de 18 letras:
CICEEAOFALNJDIDMSE
Los posibles factores de 18 son: 3x6, 6x3, 2x9, 9x2, 18x1, 1x18.
En este caso, divide el mensaje en tres grupos de 6 letras es la clave para descifrar el
código. Si volvemos a escribir el mensaje en grupos de 6:
C I C E E A
O F A L N J
D I D M S E
Y leemos por columnas, de arriba abajo: CODIFICAD EL MENSAJE.
Inténtalo ahora con el mensaje original.
Si no lo consigues pide una nueva ayuda, pero pierdes 20 puntos.
Pista 2:
“Deberías haber seguido intentándolo”, chilla el caracol. “Deslízate por la Puerta de
Doppler, pidiendo el sobre del problema nº 6 al profesor.
4
Problema nº 6.
“Bravo”, chilla el caracol. “Descifraste el código y así puedes seguir tu camino.
Puedes pasar por la Puerta de Doppler”.
Deslízate 1 Km. Hacia el Sur. Por un paso angosto entre rocas has llegado al Manantial
de Weber. Tres ranas (amarillas) y tres ranas (rojas) están apoyadas en unas
piedras junto a él.
Quieren permutar su posición pasando al lado contrario.
Cada rana puede desplazarse a una piedra vacía o saltar por encima de una rana
de diferente color para ir a una piedra vacía. No pueden retroceder.
¿Cuántos movimientos necesitarán para consumar todo el cambio?
Si necesitas ayuda ya sabes que por 10 puntos la puedes obtener de tu profesor.
Pista 1:
Intenta resolver primero un caso más sencillo
¿Cuántos movimientos son necesarios en este
caso?
¿Y
cuántos
movimientos ahora?
Inténtalo ahora con el problema original.
Si aún no sabes resolverlo, por 10 puntos más pide una nueva ayuda al profesor.
Pista 2:
Hay un paso crucial en el que se debe mover una de las ranas que están en el extremo
antes de hacer otro movimiento que resulta más obvio.
Problema nº 7.
“Correcto”, croa la rana. “Se necesitan 15 movimientos para que todas las ranas
permuten su posición y pasen al lado contrario. Gira ahora 180º y regresa a la Puerta
de Doppler. Pasas a través de la Puerta de Doppler y sigues recto, sin girar, una
distancia igual a la que había entre la Puerta y el Manantial”.
Llegas a la orilla del Lago Pitágoras.
5
Fede, el barquero, está al borde del agua junto con su hermano pequeño Fran.
Están también sus amigos Jorge y María con sus hermanos menores Juan y Mario,
respectivamente. “Todos queremos cruzar el lago”, explica Fede, “pero en mi
barca sólo caben tres personas y únicamente mi hermano o yo podemos remar. El
problema estriba en que ninguno de los hermanos mayores desea dejar a su
hermano con otros adultos sin que esté él”.¿Cuántos viajes, de ida y vuelta, son
necesarios para cruzar a todos a través del lago?
Entrega la resolución completa del problema a tu profesor.
Si no sabes por donde empezar, pide al profesor que te dé una pista a cambio de 10
puntos.
Pista 1:
Ten en cuenta que los niños no pueden estar solos con otros adultos que no sean sus
hermanos mayores, pero sí que pueden estar con otros niños o solos por completo.
“¿Puedes resolverme otro problema? Dos hombres y dos niños necesitan cruzar el
lago. Su barca puede llevar bien un hombre o bien dos niños. ¿Cuál es el menor
número de viajes que tienen que hacer, de ida y de vuelta, para atravesar el lago?”
“Después de resolver este problema intenta resolver de nuevo el primero”
Si no te aclaras pide otra pista, pero pierdes otros 10 puntos.
Pista 2:
La solución al segundo problema de los barqueros es la siguiente:
VA ; V; J; A; VA; V; P; A; VA; En total son nueve viajes
Intenta resolver el primer problema de los barqueros y lleva la resolución al profesor
para que te dé el problema número 8.
Problema nº 8.
“¡Fantástico!”, dice el barquero. “¡Ahora sé como hacerlo en 5 viajes! Los pasaré al
otro lado y luego vendré a por ti”.
El barquero te lleva en dirección NE unos 6 Km. A través del Lago Pitágoras.
En las orillas del Lago Pitágoras te encuentras a un duende imponente. “Estoy
contento de que hayas venido”, dice sonoramente el duende. “Encuentra los números
que me faltan”.
3
4
5
12
8
15
Entrega el problema resuelto al profesor.
Si necesitas ayuda pide al profesor que te de una pista y, ya sabes, a cambio de 10
puntos.
6
Pista 1:
“Éste es el Lago de Pitágoras”, se mofa el duende. “¿No te sugiere nada ese nombre?
Si todavía estás atascado puedes solicitar una nueva ayuda, pero pierdes 20 puntos.
Pista 2:
32+42=?
52+122=?
82+152=?
Problema nº 9.
“Por tanto, reconoces las ternas pitagóricas”, dice nerviosamente el duende.
32+42=52
52+122=132
82+152=172
“Más vale que continúes tu camino”.
Giras 45º a la izquierda y sigues 2 Km. Por ese camino hasta llegar al Tesoro de
Mersenne.
Dos enanos están trabajando afanosamente apilando lingotes de oro, plata y platino.
“Necesitamos tu ayuda”, gritan. “Queremos distribuir estos lingotes entre algunos de
nuestros hermanos y complacer a tantos como sea posible, pero todos tienen que
recibir una cantidad igual. Hay 42 lingotes de platino, 70 de oro y 112 de plata.
¿Cuántos lotes iguales se pueden hacer?”
Entrega el problema resuelto al profesor.
Como siempre, por 10 puntos puedes solicitar ayuda.
¿Qué sabes sobre los tripletes pitagóricos? 12+62+82=22+42+92
Encuentra otros conjuntos de tres números que tengan esa propiedad
Mersenne estudió los números perfectos (por ejemplo el 28) y los números primos de la
forma 2p-1, donde p es un número primo. ¿A qué números se denomina números
perfectos?
¿Son todos los números de la forma 2p-1 primos cuando p es un número primo?
Pista 1:
Descompón en producto de factores, los números 42, 70 y 112 y ello te ayudará a
resolver el problema.
Para que practiques un poco más, haz este otro problema similar y entrégaselo a tu
profesor junto con el problema nº 10.
“¿Puedes clasificar nuestro montón de joyas?”, te piden los enanos. “Tenemos 30
esmeraldas, 84 zafiros y 90 rubíes. Como en el caso anterior, todos los lotes han de ser
iguales. ¿Cuál es el número máximo de lotes que podemos hacer?”
Problema nº 10
7
“Bien”, declaran los enanos.
“42 = 2 x 3 x 7
70 = 2 x 5 x 7
112 = 24 x 7”
“Estos tres números tienen en común 2 x 7. Por lo tanto, podemos repartir los lingotes
en 14 lotes con: 3 lingotes de platino, 5 de oro y 8 de plata en cada uno”.
Debes estar a 7 Km. del Cruce de Cantor. Si no lo estás, comprueba que giraste bien
45º.
Giras hacia el Oeste y avanzas 2 Km. hasta que llegas al Jardín de Gauss.
Un loro está sentado en el medio de un área vallada. Al principio piensas que el
recinto es circular pero luego te das cuenta de que está formado por 17 lados rectos.
“¡Precioso Poli!”, “Poli se ha convertido en un polígono”, grazna el loro mientras
vuela alrededor, de un lado para otro.
“Lo que quiero saber”, grazna, “es; si dibujo todas las diagonales de mi polígono,
¿cuántas habrá?” (sin contar los bordes de la valla).
Entrega el problema resuelto al profesor.
Si te atascas, pide ayuda, pero pierdes otros 10 puntos.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) estudió la división de la circunferencia, es decir las
raíces de la ecuación xn=1. Demostró que un polígono regular con 17 lados puede ser
construido con la única ayuda de regla y compás.
Pista 1:
Piensa que cada vértice del polígono puede unirse a los restantes vértices, excepto a los
dos adyacentes, porque los segmentos que los unirían son los propios lados del polígono.
“Por haber necesitado ayuda, resuelve, además, este otro problema similar y
entrégaselo al profesor”, dice el loro con mala cara.
“¿Cuántas diagonales hay en mi pagoda de 19 lados?”
8
Problema nº 11.
El loro vuela frenéticamente de un lado al otro del polígono: “119 diagonales”, chilla.
“Cada vértice puede unirse a otros 14 vértices del polígono. Por lo tanto, habrá 17 x
14=238 segmentos. Pero habremos contado dos veces cada segmento (de A a B y de B
238
 119 diagonales”.
a A), por lo que en total habrá
2
“Tendrás una buena vista de El país de las Mates desde la cima de esa montaña”,
promete el loro. “Sube allí corriendo y mira lo que puedes ver”.
Te diriges hacia el Sur y remontas durante 2 Km. las escarpadas pendientes del Monte
de Moivre. En la cima está una cabra anciana y prudente.
“Puedes ver mi reino ahí debajo”, bala.
“Tengo24 Km. de alambre para vallarlo y quiero cerrar la mayor área rectangular
que sea posible. ¿Qué longitud deben tener los lados?”
Si necesitas ayuda, sabes que puede solicitarla al profesor a cambio de 10 puntos.
Si no fuese un rectángulo, ¿Qué forma es la que proporcionaría la mayor área para un
perímetro determinado?
Abraham de Moivre (1667-1754) fue un pionero en los campos de la trigonometría
algebraica y la teoría de las probabilidades. Fue uno de los primeros que empleó los
números imaginarios en trigonometría (el número imaginario i es la raíz cuadrada de -1)
n
y la siguiente fórmula lleva su nombre: cos x  i sen x   cos nx  i sen nx
Pista 1:
“Hagámoslo juntos”, bala la cabra.
9
24=2x+2y
12=x+y
12-x=y
Área = x(12-x)
y
x
“¿Qué valor de x dará el valor más grande del área? Una forma de calcularlo sería
dibujar un gráfico. Otra forma menos fiable sería dibujar varios rectángulos que
tuvieran un perímetro de 24 Km. y calcular cuál es el que tiene mayor área”.
Problema nº 12
“Bien”. Bala la cabra. “El área mayor es la de un cuadradote 6 x 6 Km. Ahora debes
volver con el loro. Te volverá a situar en tu camino”.
“¡Otra vez tú!”, chilla el loro. “Sigue esta vez el camino a tu izquierda”.
Tras andar 2 Km. llegas al desfiladero de Pascal. Huele a quemado y a azufre. Un gran
dragón verde yace enrollado e medio del camino. Según te acercas, levanta un párpado
escamoso y te mira con su diabólico ojo amarillo.
“Sólo estaba contando mi tesoro”, dice bostezando el dragón. “He contado estos
montones de monedas:
3
6
10
“Pero necesito saber cuántas hay en ese montón grande, cuya base tiene 15 monedas.
¿Podrías calcularlo tú?”
Pierdes 10 puntos si solicitas ayuda al profesor.
Pista 1:
“Déjame ayudarte”, dice extasiado el dragón. “El número total de monedas que hay en
el montón es: 1+2+3+…+15. Si agrupamos los números en parejas de la siguiente
forma:
1 2 3 4 5 6 7 8
15 14 13 12 11 10 9
Fíjate que al sumar por columnas se obtiene el mismo resultado, excepto, ¡claro está!
en el caso del 8”.
“Ahora”, prosigue el dragón, “mira el montón de monedas que está allí y calcula
cuántas hay” (el montón tiene 12 monedas en la base). “Entrega la solución de los dos
problemas de montones de monedas al profesor”.
10
Problema nº 13.
El dragón se pone en pie y te examina más cuidadosamente.
“Cosita inteligente”, ríe entre dientes. “El número total de monedas es 120, porque si
agrupas en parejas de la siguiente forma:
1 2 3 4 5 6 7 8
15 14 13 12 11 10 9
Y sumas los elementos de las columnas, excepto de la última, has observado bien que
7  16
 120 ”
todas suman lo mismo, es decir, 16. Por lo tanto, la suma total es
8
“Continúa, pequeñín; tu viaje debe estar llegando a su fin”.
Tus pasos cansados se dirigen una vez más hacia el Sur.
Después de 2 Km. llegas a la orilla del Lago Pitágoras. No hay ni rastro del barquero y
te preguntas cómo podrás cruzar el lago. Cerca está sentado un anciano con las piernas
cruzadas sobre una alfombra vieja y sucia. En cuanto te ve, brillan sus ojos.
“Te daré mi alfombra mágica”, dice, “si puedes darme un Cuadrado Mágico”.
“Esto es lo que quiero que tú hagas”, continúa el hombre.
Rellénalo con los números del 1 al 25. Puedes utilizar cada número sólo una vez.
Para que el cuadrado sea mágico, cada fila, columna o diagonal debe sumar el
mismo número, que es el número mágico”. ¿Cómo sabrías sin necesidad de construir
el cuadrado cuál ha de ser ese número mágico?”
Si necesitas ayuda pide una pista a cambio de 10 puntos.
Los cuadrados mágicos se conocen desde hace tiempo. El artista alemán Durero incluyó
el siguiente cuadrado en su grabado “Melancolía” terminado en 1514. Tiene muchas
propiedades sorprendentes. ¡Búscalas!
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
También puedes hacer cubos mágicos. El cubo se puede rellenar con todos los números
del 1 al 27 de tal forma que todas las filas y columnas sumen 42 (aunque no las
diagonales de las caras).
Pista 1:
“He oído”, explica el hombre, “que puedes empezar el cuadrado de esta forma.
11
5
4
3
2
1
10
9
8
7
6
15
14
13
12
11
20
19
18
17
16
25
24
23
22
21
“Los números que quedan fuera han de colocarse en la casilla vacía de la misma fila o
columna que está más alejada de ellos. Por ejemplo, el número 24 debería colocarse
entre el 6 y el 12 y el 6 entre el 18 y el 24”.
Si necesitas más ayuda para calcular el número mágico, pídela al profesor a cambio de
20 puntos.
Pista 2:
“Piensa en lo que suman los 25 números de que dispones y ten en cuenta que tienes 5
filas y columnas para situarlos y que la suma de los elementos de cada fila o columna
ha de ser la misma”.
Problema nº 14.
“¡Magnífico número mágico es el 65!”, grita el hombre.
“Es el segundo número que se puede expresar de dos formas diferentes como la suma
de los cuadrados de dos números mayores o iguales que cero:
65 = 82 + 12 = 72 + 42. Toma mi misteriosa alfombra mágica”.
Saltas de un brinco a la alfombra que se eleva vertiginosamente hacia el cielo. Te
desplazas unos 6 Km. en dirección SE a través del Lago Pitágoras.
Te bajas en la zona de aterrizaje, que está diseñada como un tablero de ajedrez. Un
caballero, vestido con su armadura, anda como un loco de acá para allá por el tablero.
“¿Cuántos, cuántos?”, pregunta una y otra vez. “¿Cuántos cuadrados diferentes hay
en el tablero?”
Si te atascas da 10 puntos a cambio de ayuda.
Pista 1:
El caballero explica su problema: “Hay un cuadrado grande compuesto por 8 x 8
cuadrados pequeños. Pero también hay ¿? cuadrados formados por 7 x 7 cuadrados
pequeños, y ¿? Cuadrados formados por 6 x 6 cuadrados pequeños,…, y 64 cuadrados
formados por 1 x 1 cuadrados pequeños. ¿Cuántos cuadrados hay en total?
Si necesitas más ayuda, entrega otros 20 puntos más.
Pista 2:
- Hay 1 cuadrado compuesto por 8 x 8 cuadrados pequeños.
- Hay 4 cuadrados compuestos por 7 x 7 cuadrados pequeños.
- Hay 9 cuadrados compuestos por 6 x 6 cuadrados pequeños.
- …
12
- Hay 64 cuadrados compuestos por 1 x 1 cuadrados pequeños.
¿Cuál es la suma total?
El caballero se quita su armadura y se revela como el más terrible de los monstruos: ¡Un
profesor de mates! “¡Ahora puedo utilizar este problema como un horrible deber para
casa!”, dice mientras se aleja riendo a carcajadas.
Problema nº 15
“¡Por fin una solución!”, exclama el caballero.
- Hay 1 cuadrado compuesto por 8 x 8 cuadrados pequeños.
- Hay 4 cuadrados compuestos por 7 x 7 cuadrados pequeños.
- Hay 9 cuadrados compuestos por 6 x 6 cuadrados pequeños.
- …
- Hay 64 cuadrados compuestos por 1 x 1 cuadrados pequeños.
Lo que da un total de 204 cuadrados diferentes”.
Te encuentras un poco agitado por las pruebas pasadas. Recorres 1 Km. a pie hacia el
Sur y llegas al Cruce de Cantor.
La víbora está sentada encima de un montón de piezas de dominó.
“¿Cuántosss puntosss tiene mi juego de dominó?”, sisea.
Si estás muy despistado pide ayuda al profesor a cambio de 10 puntos.
Pista 1:
“Un dominó está formado por 28 piezas”, añade la víbora, “por lo tanto, consta de 56
números. Los números del 0 al 6 se dan con igual probabilidad, es decir, aparecen 8
veces. ¿Puedes calcular ahora el número de puntos?”
Problema nº 16
“Bien observado”, dice sonriendo la víbora. “Un dominó está formado por 28 piezas,
por tanto consta de 56 números. Los números del 0 al 6 se dan con igual probabilidad,
es decir, deben aparecer 8 veces. Por lo tanto, el número de puntos es: 8(0 + 1+ 2
+…+ 6)= 8 x 21=168”.
“Los dominós son de origen chino y representan todos los posibles resultados del
lanzamiento de dos dados chinos. Algunos resultados se dan más de una vez, por lo que
el número de piezas de un dominó chino es de 32. Los dominós aparecieron por
primera vez en Europa, posiblemente importados de China, a finales del siglo XVIII”.
Avanzas 3 Km. y llegas una vez más a la Fuente de Fermat. Esta vez el gnomo no
parece muy contento de verte.
“Esta es la última prueba”, gruñe. “Utilizando todos los dígitos del 1 al 6, halla dos
números de tres cifras que multiplicados entre sí den el mayor número posible”.
Como ya sabes, si necesitas ayuda, entrega 10 puntos y dirígete al profesor.
Pista 1:
“Tendrás la solución mayor si tus dos números son tan grandes y tan parecidos como
sea posible. No te voy a decir la respuesta”, gorgotea el gnomo, “Intenta calcularla por
tu cuenta”.
13
Final.
“¡Muy bien!”, gorgotea el gnomo, “la solución es 631 x 542=342002.
“Tu búsqueda ha terminado”.
Das un suspiro y pasas a su lado. Te diriges hacia el Sur y entras una vez más en la
Oscura Caverna de la Ignorancia.
Estás otra vez dentro de la Oscura Caverna de la Ignorancia. Desde la oscuridad más
profunda te llega la voz del Matemático Mágico.
“Bien mi joven amigo”, retumba. “¿Te indica tu mapa la palabra clave para salir de
aquí?”
Puntuaciones:
500 puntos: Excelente.
Realmente eres, por derecho propio, un Matemático Maestro. Danos la talla de tu
cabeza y veremos si el sombrero del Matemático Mágico puede estirarse para que te
valga.
400 puntos: Hábil.
Llevas camino de llegar a ser un Matemático Maestro, aunque no siempre seas
perfecto. Puedes pedir prestada la capa del Matemático Mágico.
300 puntos: Capaz.
Tu avance a través del laberinto fue algo desordenado, pero conseguiste llegar al final.
Puedes ponerte las afiladas botas del Matemático Mágico.
200 puntos: Mal.
Eres una especie de explorador de segunda clase, algo chapucero en la forma de enfocar
los problemas. Puedes zurcirle los calcetines al Matemático Mágico.
100 puntos: Malísimo.
Parece que te gusta equivocarte más que acertar. Puedes ayudar llevando el lápiz y el
cuaderno de notas del Matemático Mágico, siempre que prometas no romperlos.
Negativo: Desastre.
¿Qué se puede decir? El Matemático Mágico nunca te dejará acercarte a algo de su
propiedad.
14
Resolución de los problemas.
Problema nº 1:
He aquí tres vistas del mismo cubo
X
¿Qué figura hay en la cara opuesta a X, el triángulo, el cuadrado o el hexágono?
Solución:
Es cuestión de visión espacial. Lo mejor es construirse uno e ir haciendo pruebas.
Problema nº 2:
¿Cuántas formas de diamante puedes encontrar en esta estructura?
Solución:
Hay 60
16
12
15
9
3
4
12
3
1
60
120
Problema nº 3:
Halla dos números enteros n y m, de forma que: 2n-2m=2016
Solución:
Se puede empezar descomponiendo 2016=25327. A continuación se realizan una serie
de pruebas, por ejemplo:
23-22=2
24-22=22 3
25-22=22  7
26-22=60…
Se comprueba que para que aparezca el número 7 en la descomposición, uno de los
exponentes de los dos números ha de ser impar. También se observa que el sustraendo
16
coincide con la potencia de dos del resultado. Luego, en este caso, el sustraendo ha de
ser 25. Entonces, 2n es igual a 2016+25= 25327+25=25(327+1)=25 26=211. Por lo tanto
los números son n=11 y m=5
Problema nº 4:
Mi padre tiene el doble de años que yo y es 12 veces mayor que mi mascota el ratón.
¿Cuántas veces era mi padre mayor que yo cuando yo tenía la edad que el ratón
tiene ahora?
Solución:
x= edad del padre.
y= edad de la víbora.
z= edad del ratón.
x  2y 
12 z
 6 z. Sea h el número de años pasados
  2 y  12 z  y 
x  12 z 
2
y  h  z  y  z  h  6 z  z  5z  h
x  2 y  x  5 z  2 y  5 z  12 z  5 z  7 z
Por lo tanto, la solución es 7.
Problema nº 5:
Lee el mensaje cifrado que está escrito en la puerta y sabrás qué hacer. La clave
del código está en sus factores.
VANEGTTIIENNAAULVEAEVPIE
Solución:
Descomponemos 24=233
Los posible productos son: 8x3; 3x8; 4x6; 6x4; 12x 2; 2x12; 24x1; 1x24.
Echando un vistazo se puede observar que empieza a tener sentido la descomposición
3x8
V A N
E G T
T I I
E N N
A A U
L V E
A E V
P I E
El mensaje se puede leer verticalmente y es: Vete a la página veintinueve.
Problema nº 6:
Por un paso angosto entre rocas has llegado al Manantial de Weber. Tres ranas
(amarillas) y tres ranas (rojas) están apoyadas en unas piedras junto a él.
17
Quieren permutar su posición pasando al lado contrario.
Cada rana puede desplazarse a una piedra vacía o saltar por encima de una rana
de diferente color para ir a una piedra vacía. No pueden retroceder.
¿Cuántos movimientos necesitarán para consumar todo el cambio?
Solución:
Posición
inicial
1º
movimiento
2º
movimiento
3º
movimiento
4º
movimiento
5º
movimiento
6º
movimiento
7º
movimiento
8º
movimiento
9º
movimiento
10º
movimiento
11º
movimiento
12º
movimiento
13º
movimiento
14º
movimiento
15º
movimiento
1
R
1
R
1
R
1
R
1
R
1
R
1
O
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
O
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
O
2
A
2
A
2
A
3
R
3
O
3
A
3
A
3
A
3
A
3
A
3
O
3
A
3
A
3
A
3
A
3
A
3
O
3
A
3
A
4
O
4
R
4
R
4
R
4
O
4
R
4
R
4
R
4
R
4
R
4
R
4
O
4
R
4
R
4
R
4
O
5
A
5
A
5
O
5
A
5
A
5
A
5
A
5
A
5
O
5
A
5
A
5
A
5
A
5
A
5
O
5
R
6
A
6
A
6
A
6
O
6
R
6
R
6
R
6
R
6
R
6
R
6
O
6
R
6
R
6
R
6
R
6
R
7
A
7
A
7
A
7
A
7
A
7
A
7
A
7
A
7
A
7
O
7
R
7
R
7
R
7
R
7
R
7
R
Posición Inicial
La rana roja de la casilla 3 ha pasado a la casilla 4
dejando libre la casilla 3
La rana amarilla de la casilla 5 ha pasado a la casilla 3
dejando libre la casilla 5
La rana amarilla de la casilla 6 ha pasado a la casilla 5
dejando libre la casilla 6
La rana roja de la posición 4 ha pasado a la casilla 6
dejando libre la casilla 4
La rana roja de la posición 2 ha pasado a la casilla 4
dejando libre la casilla 2
La rana roja de la posición 1 ha pasado a la casilla 2
dejando libre la casilla 1
La rana amarilla de la posición 3 ha pasado a la casilla
1 dejando libre la casilla 3
La rana amarilla de la posición 5 ha pasado a la casilla
3 dejando libre la casilla 5
La rana amarilla de la posición 7 ha pasado a la casilla
5 dejando libre la casilla 7
La rana roja de la posición 6 ha pasado a la casilla 7
dejando libre la casilla 6
La rana roja de la posición 4 ha pasado a la casilla 6
dejando libre la casilla 4
La rana roja de la posición 2 ha pasado a la casilla 4
dejando libre la casilla 2
La rana amarilla de la posición 3 ha pasado a la casilla
2 dejando libre la casilla 5
La rana amarilla de la posición 5 ha pasado a la casilla
3 dejando libre la casilla 5
La rana roja de la posición 4 ha pasado a la casilla 5
dejando libre la casilla 4
El número total de movimientos ha sido de 15.
18
Problema nº 7:
Fede, el barquero, está al borde del agua junto con su hermano pequeño Fran.
Están también sus amigos Jorge y María con sus hermanos menores Juan y Mario,
respectivamente. “Todos queremos cruzar el lago”, explica Fede, “pero en mi
barca sólo caben tres personas y únicamente mi hermano o yo podemos remar. El
problema estriba en que ninguno de los hermanos mayores desea dejar a su
hermano con otros adultos sin que esté él”.¿Cuántos viajes, de ida y vuelta, son
necesarios para cruzar a todos a través del lago?
Solución:
Los adultos son Fede, Jorge y María. Los niños, hermanos de cada adulto son Fran, Juan
y Mario, respectivamente.
1º viaje de ida: Fede, Juan y María.
2º viaje de vuelta: Fede.
3º viaje de ida: Fran, Juan y Mario.
4º viaje de vuelta: Fran.
5º viaje de ida: Fede y Fran
En total se efectúan 5 viajes.
Problema nº 8:
. “Encuentra los números que me faltan”.
3
4
5
12
8
15
Solución:
Son ternas pitagóricas, y los números buscados son: 5, 13 y 17.
32+42=52
52+122=132
82+152=172
Problema nº 9:
“Queremos distribuir estos lingotes entre algunos de nuestros hermanos y
complacer a tantos como sea posible, pero todos tienen que recibir una cantidad
igual. Hay 42 lingotes de platino, 70 de oro y 112 de plata. ¿Cuántos lotes iguales se
pueden hacer?”
Solución:
Habría que calcular el m.c.d.(42, 70, 112). Dicho valor es 14. Ello quiere decir que
habría que hacer 14 paquetes con tres lingotes de platino, cinco de oro y ocho de plata.
Problema nº 10:
Un loro está sentado en el medio de un área vallada. Al principio piensas que el
recinto es circular pero luego te das cuenta de que está formado por 17 lados rectos.
19
“¡Precioso Poli!”, “Poli se ha convertido en un polígono”, grazna el loro mientras
vuela alrededor, de un lado para otro.
“Lo que quiero saber”, grazna, “es; si dibujo todas las diagonales de mi polígono,
¿cuántas habrá?” (sin contar los bordes de la valla).
Solución:
Hay que tener en cuenta que si una diagonal parte de un vértice no puede llegar al
propio vértice ni a los dos adyacentes. Ello quiere decir que los posibles vértices
receptores serán sólo 14 (17-3); con lo cual el número de diagonales sería de 17x14.
Pero si tenemos en cuenta que la diagonal que va de A a B es la misma que la que va
17  14
 119 .
desde B hasta A, el número total se queda reducido a la mitad, es decir,
2
Problema nº 11:
Tengo24 Km. de alambre para vallarlo y quiero cerrar la mayor área rectangular
que sea posible. ¿Qué longitud deben tener los lados?
Solución:
Imaginemos un rectángulo cuyos lados miden x e y.
24  2 x  2 y; 12  x  y; S  xy  x(12  x);
S ´ 12  2 x  0; x  6
Con lo cual la figura de área máxima es un cuadrado.
Si los estudiantes no conocen el concepto de derivada, lo pueden resolver fijándose en
que la expresión para el área es la de una función cuadrática y que lo que han de hacer
es obtener los valores de x e y para los que la curva alcanza su punto máximo, valores
que coinciden con los del vértice de la parábola.
Problema nº 12:
“Sólo estaba contando mi tesoro”, dice bostezando el dragón. “He contado estos
montones de monedas:
20
3
6
10
“Pero necesito saber cuántas hay en ese montón grande, cuya base tiene 15
monedas. ¿Podrías calcularlo tú?”
Solución:
No hay más que sumar los 15 primeros términos de una progresión aritmética de
diferencia 15 y primer término 1.
1  15
S
15  8 15  120
2
Problema nº 13:
“Te daré mi alfombra mágica”, dice, “si puedes darme un Cuadrado Mágico”.
“Esto es lo que quiero que tú hagas”, continúa el hombre.
“Rellénalo con los números del 1 al 25. Puedes utilizar cada número sólo una vez.
Para que el cuadrado sea mágico, cada fila, columna o diagonal debe sumar el
mismo número, que es el número mágico”. “¿Cómo sabrías sin necesidad de
construir el cuadrado cuál ha de ser ese número mágico?”
Solución:
Para calcular lo que han de sumar las filas, columnas o diagonales, se calcula la suma de
los números del 1 al 25 y se divide dicha suma entre 5. El resultado sería:
1  25
325
25  325;
 65 . El cuadrado mágico se puede construir de la siguiente
2
5
forma:
5
4
10
3
9
15
2
8
14
20
1
7
13
19
25
6
12
18
24
11
17
23
16
22
21
21
Los números que quedan fuera han de colocarse en la casilla vacía de la misma fila o
columna que está más alejada de ellos. Por ejemplo, el número 24 debería colocarse
entre el 6 y el 12 y el 6 entre el 18 y el 24.
Problema nº 14:
Te bajas en la zona de aterrizaje, que está diseñada como un tablero de ajedrez.
Un caballero, vestido con su armadura, anda como un loco de acá para allá por el
tablero. “¿Cuántos, cuántos?”, pregunta una y otra vez. “¿Cuántos cuadrados
diferentes hay en el tablero?”
Solución:
Número de cuadrados Tamaño
64
1x1
49
2x2
36
3x3
25
4x4
16
5x5
9
6x6
4
7x7
1
8x8
Total=204 cuadrados
Problema nº 15:
“¿Cuántos puntos tiene mi juego de dominó?”, sisea la serpiente.
Solución:
Puntuación en una cara Posibles puntuaciones en la otra cara
0
0
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
3
4
5
6
3
3
4
5
6
4
4
5
6
5
5
6
6
6
Suma total de puntos
Suma de puntos
21
27
30
30
27
21
12
168
La suma total de puntos es de 168.
Problema nº 16:
Utilizando todos los dígitos del 1 al 6, halla dos números de tres cifras que
multiplicados entre sí den el mayor número posible.
Solución:
Hay que tener en cuenta que hay que utilizar todas las cifras del 1 al 6. Está claro que la
primera cifra de cada número debe ser lo más grande posible, por lo tanto, los números
han de empezar por 6 y por 5. Si tenemos en cuenta el problema del rectángulo de
mayor área, que resultaba ser un cuadrado, podemos suponer que los dos números
22
deberían ser lo más próximos posible, con lo cual pondríamos 631 y 542. Ese producto
es el mayor posible.
Sucesión de páginas:
Pag. 10  Pag. 27  Pag. 2  Pag. 17  Pag. 3  Pag. 13  Pag. 4  Pag. 21 
Pag. 6  Pag. 29  Pag. 8  Pag. 15 Pag. 16  Pag. 22  Pag. 41  Pag.33 
Pag. 24  Pag. 40  Pag. 31  Pag. 48  Pag. 30  Pag. 59  Pag. 44  Pag. 45
 Pag. 50  Pag. 49  Pag. 51  Pag. 65  Pag. 62  Pag.70  Pag. 71  Pag. 60
 Pag. 57  Pag. 69  Pag. 72
Matemáticos que se mencionan:
Doppler, Cantor, Fermat, Weber, Pitágoras, Marsenne, Gauss, Moivre y Pascal.
23