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Estadística.
Generalidades:
Iniciaremos el curso, repasando los conceptos y procedimientos estadísticos. Insistiendo
sobre todo en el manejo de tablas, y el cálculo de medidas estadísticas de centralización,
dispersión y localización.
Contenidos:
1. Introducción:
1. Conceptos de: Población, muestra, subpoblación.
2. Variables estadísticas, clasificación.
2. Tablas Estadísticas: Tipos
3. Técnicas de recuento.
4. Distintos tipos de frecuencia.
5. Medidas estadísticas:
1. Centralización: Moda, Mediana y Media.
2. Dispersión: Desviación, desviación media, desviación típica, varianza.
3. Localización: Cuartiles, deciles, percentiles.
4. Simetría.
5. Curtosis.
Distribuciones Unidimensionales:
1. Introducción.
2. Población, elementos y caracteres.
3. Variables y atributos.
Introducción:
La palabra "estadística" suele utilizarse bajo dos significados distintos, a saber:
1º Como colección de datos numéricos.- Esto es el significado más vulgar de la palabra
estadística. Se sobrentiende que dichos datos numéricos han de estar presentados de
manera ordenada y sistemática. Una información numérica cualquiera puede no
constituir una estadística, para merecer este apelativo, los datos han de constituir un
conjunto coherente, establecido de forma sistemática y siguiendo un criterio de
ordenación.
Tenemos muchos ejemplos de este tipo de estadísticas. El Anuario Estadístico
publicado por el Instituto Nacional de Estadística, El Anuario de Estadísticas del
Trabajo,…
1
2º Como ciencia.- En este significado, La Estadística estudia el comportamiento de los
fenómenos de masas. Como todas las ciencias, busca las características generales de un
colectivo y prescinde de las particulares de cada elemento. Así por ejemplo al investigar
el sexo de los nacimientos, iniciaremos el trabajo tomando un grupo numeroso de
nacimientos y obtener después la proporción de varones. Es muy frecuente enfrentarnos
con fenómenos en los que es muy difícil predecir el resultado; así, no podemos dar una
lista ,con las personas que van a morir con una cierta edad, o el sexo de un nuevo ser
hasta que transcurra un determinado tiempo de embarazo,…
Por tanto, el objetivo de la estadística es hallar las regularidades que se encuentran en
los fenómenos de masa.
Población, elementos y caracteres.
Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de
personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos
población.
Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En
sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automóvil o
una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo.
A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden
ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo si consideramos como elemento a una
persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres:
Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso, Altura, Color de pelo,Etc.
Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más
aspectos cualidades o caracteres.
La población puede ser según su tamaño de dos tipos:
Población finita: cuando el número de elementos que la forman es finito, por
ejemplo el número de alumnos de un centro de enseñanza, o grupo clase.
Población infinita: cuando el número de elementos que la forman es infinito, o
tan grande que pudiesen considerarse infinitos.. Como por ejemplo si se
realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado. Hay tantos y de
tantas calidades que esta población podría considerarse infinita.
Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los
elementos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma. Este
subconjunto puede ser una muestra, cuando se toman un determinado número de
elementos de la población, sin que en principio tengan nada en común; o una
subpoblación, que es el subconjunto de la población formado por los elementos de la
población que comparten una determinada característica, por ejemplo de los alumnos
del centro la subpoblación formada por los alumnos de 3º ESO, o la subpoblación de los
varones.
2
Variables y atributos.
Como hemos visto, los caracteres de un elemento pueden ser de muy diversos tipos, por
lo que los podemos clasificar en: dos grandes clases:
Variables Cuantitativas.
Variables Cualitativas o Atributos.
Las variables cuantitativas son las que se describen por medio de números, como por
ejemplo el peso, Altura, Edad, Número de Suspensos…
A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases:


Cuantitativas discretas. Aquellas a las que se les puede asociar un número
entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento
de la unidad, por ejemplo número de hermanos, páginas de un libro, etc.
Cuantitativas continuas: Aquellas que no se pueden expresar mediante un
número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos
valores cualesquiera la variable pueda tomar cualquier valor intermedio, por
ejemplo peso, tiempo. etc.
No obstante en muchos casos el tratamiento estadístico hace que a variables discretas
las trabajemos como si fuesen continuas y viceversa.
Los atributos son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras, es
decir, no le podemos asignar un número. Por ejemplo Sexo Profesión, Estado Civil, etc.
A su vez las podemos clasificar en:


Ordenables: Aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación
militar, El nivel de estudios, etc.
No ordenables: Aquellas que sólo admiten una mera ordenación alfabética, pero
no establece orden por su naturaleza, por ejemplo el color de pelo, sexo, estado
civil, etc.
Tablas Estadísticas:
A partir de este momento nos vamos a ocupar de las estadísticas de una sola variable,
"Estadísticas Unidimensionales".
Las tablas estadísticas según el número de observaciones y según el recorrido de la
variable estadística, así tenemos los siguientes tipos de tablas estadísticas:
1. Tablas Tipo I
2. Tablas Tipo II
3. Tablas Tipo III
3
Tablas tipo I:
Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son pequeños, por ejemplo
si tenemos una muestra de las edades de 5 personas, por lo que no hay que hacer nada
especial simplemente anotarlas de manera ordenada en filas o columnas.
Edad de los 5 miembros de una familia:
5, 8, 16, 38, 45
Tablas tipo II:
Cuando el tamaño de la muestra es grande y el recorrido de la variable es pequeño, por
lo que hay valores de la variable que se repiten. Por ejemplo, si preguntamos el número
de personas activas que hay en 50 familias obtenemos la siguiente tabla:
Personas Activas en 50 familias
2
1
2
2
1
2
4
2
1
1
2
3
2
1
1
1
3
4
2
2
2
2
1
2
1
1
1
3
2
2
3
2
3
1
2
4
2
1
4
1
1
3
4
3
2
2
2
1
3
3
Podemos observar que la variable toma valores comprendidos entre 1 y 4, por lo que
precisaremos una tabla en la que resumamos estos datos quedando la siguiente tabla:
Personas Activas
Número de Familias
1
16
2
20
3
9
4
5
Total
50
Tablas tipo III:
4
Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son grandes, por lo que
será necesario agrupar en intervalos los valores de la variable. Por ejemplo si a un grupo
de 30 alumnos les preguntamos el dinero que en ese momento llevan encima, nos
encontramos con los siguientes datos:
450
1152
250
300
175
80
25
2680
605
785
1595
2300
5000
1200
5
180
200
675
500
375
1500
205
985
185
125
315
425
560
Evidentemente, la variable estadística tiene un recorrido muy grande, 4998 pesetas, por
lo que sí queremos hacer una tabla con estos datos tendremos que tomar intervalos. Para
decidir la amplitud de los intervalos, necesitaremos decidir ¿cuántos intervalos
queremos?. Normalmente se suele trabajar con no más de 10 o 12 intervalos.
Amplitud =4998/10 = 499,8 Por lo que tomaremos intervalos de amplitud 500
Debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:
Tomar pocos intervalos implica que la "pérdida de información" sea mayor.
Los intervalos serán siempre Cerrados por la izquierda y Abiertos por la Derecha [ Li-1 ,
Li )
Procuraremos que en la decisión de intervalos los valores observados no coincidan con
los valores de los extremos del intervalo y si esto ocurre que no sea en más de un 5%
del total de observaciones.
Con estas recomendaciones tendremos la siguiente tabla:
[ Li-1 , Li )
Frecuencia
[ 0,500)
16
[ 500, 1000)
6
[ 1000,1500)
3
[ 1500, 2000)
2
[ 2000, 2500)
1
[ 2500, 3000)
1
[ 3000, 3500)
0
[ 3500, 4000)
0
[ 4000, 4500)
0
5
1
[ 4500, 5000)
0
[ 5000,5500)
1
1.3. Técnicas de recuento.
Aunque hoy en día, si se realiza un estudio estadístico importante esta tarea la realiza el
ordenador, ya sea por medio de programas de estadística específicos BMDP, SPSS, o
bien utilizando herramientas informáticas de propósito general como Bases de Datos u
Hojas de Cálculo
A lo largo del curso, veremos como mediante hojas de cálculo o bases de datos
podemos realizar este recuento.
Veamos como realizaríamos este proceso manualmente, para ello veremos diversas
técnicas de ir anotando 53-1-u-puntuaciones:
Aunque el método más utilizado o conocido sea el primero, quizás el más cómodo de
utilizar es el 2º en la mayoría de los casos.
Distintos Tipos de Frecuencia:
Una de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la
tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una
tabla en la que a cada valor de la variable se le asocian determinados números que
representan el número de veces que ha aparecido, su proporción con respecto a otros
valores de la variable, etc. Estos números se denominan frecuencias: Así tenemos los
siguientes tipos de frecuencia:
1.
2.
3.
4.
5.
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Porcentaje
Frecuencia absoluta acumulada
Frecuencia relativa acumulada
6
6. Porcentaje acumulado
7. Ejemplo
Frecuencia absoluta:
La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en
la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por ni
Frecuencia relativa:
La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al
aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia
absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es
necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la
frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por fi
Donde N = Tamaño de la muestra
Porcentaje:
La frecuencia relativa es un tanto por uno, sin embargo, hoy día es bastante frecuente
hablar siempre en términos de tantos por ciento o porcentajes, por lo que esta medida
resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 100. La denotaremos por pi.
Frecuencia Absoluta Acunulada:
Para poder calcular este tipo de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable
estadística ha de ser cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho
sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de
la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual
que el de la variable y lo representaremos por Ni.
Frecuencia Relativa Acumulada:
Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia
absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra, y la denotaremos por Fi
7
Porcentaje Acumulado:
Análogamente se define el Porcentaje Acumulado y lo vamos a denotar por Pi como la
frecuencia relativa acumulada por 100.
Veamos esto con un ejemplo: Tomamos para ello los datos relativos a las personas
activas.
Personas Activas Número Familias
Xi
ni
1
16
2
Fi
pi
Ni
Fi
Pi
16/50 32% 16
16/50
32%
20
20/50 40% 36
36/50
72%
3
9
9/50
18% 45
45/50
90%
4
5
5/50
10% 50
50/50
100%
Total
50
En este ejemplo se puede ver fácilmente como se calculan estas frecuencias.
Medidas Estadísticas:
1. Introducción.
2. Tipos de Medida
3. Algunas consideraciones
8
INTRODUCCIÓN:
En el resto del tema nos ocuparemos exclusivamente de las variables cuantitativas,
puesto que con los atributos no se pueden realizar operaciones aritméticas. Como hemos
estudiado, las variables estadísticas cuantitativas se dividen o clasifican en discretas o
continuas, por lo que necesitaremos precisar cómo se calculan dichas medidas en cada
caso.
En las variables cuantitativas continuas, dado que la tabulación de los datos se hace
mediante intervalos, necesitaremos tomar un valor del intervalo para poder operar. Este
valor se denomina marca de clase y es el 53-1-u-punto medio del intervalo.
Las medidas estadísticas pretenden "resumir" la información de la "muestra" para poder
tener así un mejor conocimiento de la población. Se clasifican en:
TIPOS DE MEDIDA:
1. Medidas de Centralización:
o Que sirven para determinar los valores centrales o medios de la
dsitribución
2. Medidas de Dispersión:
o Nos van a dar una idea sobre la representatividad de las medidas
centrales, a mayor dispersión menor representatividad.
3. Medidas de Localización:
o Útiles para encontrar determinados valores importantes, para una
"clasificación" de los elementos de la muestra o población.
4. Medidas de la Simetría:
o Sirven para ver si la distribución tiene el mismo comportamiento por
encima y por debajo de los valores centrales.
5. Ejemplo del cálculo de los coeficientes de simetría y Curtósis
ALGUNAS CONSIDERACIONES:
El Estadístico Yule ha definido algunas propiedades deseables para una medida
estadística:
1. Debe definirse de manera objetiva: dos observadores distintos deben llegar al
mismo resultado numérico.
2. Usar todas las observaciones y no algunas de ellas solamente, de manera que si
varia alguna observación la medida considerada debe reflejar esta variación.
9
3. Tener un significado concreto: la interpretación debe ser inmediata y sencilla.
4. Ser sencilla de calcular.
5. Prestarse fácilmente al cálculo algebraico: Lo que permitirá demostraciones mas
elegantes.
6. Ser poco sensible a las fluctuaciones muestrales. Esta condición es
imprescindible en la Estadística Matemática y en la Teoría de Sondeos.
Medidas de Centralización:
1. Media
1. Media aritmética
2. Media geométrica
3. Media armónica
2. Mediana
1. Variable discreta.
2. Variable continua.
3. Moda
1. Variable discreta.
2. Variable continua.
MEDIA:
Vamos a estudiar en este apartado los distintos tipos de media que hemos detallado en el
apartado anterior
Media aritmética:
La media aritmética de una variable se define como la suma ponderada de los valores de
la variable por sus frecuencias relativas y lo denotaremos por
expresión:
xi representa
y se calcula mediante la
el valor de la variable o en su caso la
marca de clase.
Propiedades:
1. Si multiplicamos o dividimos todas las observaciones por un mismo número, la
media queda multiplicada o dividida por dicho numero.
10
2. Si le sumamos a todas las observaciones un mismo número, la media aumentará
en dicha cantidad.
3. Además de la media aritmética existen otros conceptos de media, como son la
media geométrica y la media armónica.
Media geométrica:
La media geométrica de N observaciones es la raíz de índice N del producto de todas las
observaciones. La representaremos por G.
Solo se puede calcular si no hay observaciones negativas. Es una medida estadística
poco o nada usual.
Media armónica:
La media armónica de N observaciones es la inversa de la media de las inversas de las
observaciones y la denotaremos por H
Al igual que en el caso de la media geométrica su utilización es bastante poco frecuente.
Mediana:
La mediana es el valor central de la variable, es decir, supuesta la muestra ordenada en
orden creciente o decreciente, el valor que divide en dos partes la muestra.
Para calcular la mediana debemos tener en cuenta si la variable es discreta o continua.
Cálculo de la mediana en el caso discreto:
Tendremos en cuenta el tamaño de la muestra.
11
Si N es Impar, hay un término central, el término
mediana.
Si N es Par, hay dos términos centrales,
que será el valor de la
la mediana será la media de esos dos valores
Veamos un ejemplo.
N Impar
N par
1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27 N=12
1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27,30 N=13
Términos Centrales el 6º y 7º 9 y 12
Término Central el 7º , 12
Me=12
Me=
Cálculo de la mediana en el caso continuo:
Si la variable es continua, la tabla vendrá en intervalos, por lo que se calcula de la
siguiente forma:
Nos vamos a apoyar en un gráfico de un histograma de frecuencias acumuladas.
12
De donde la mediana vale:
amplitud del intervalo
donde ai es la
Veámoslo por medio de un ejemplo.
Supongamos los pesos de un grupo de 50 personas se distribuyen de la siguiente forma:
Ni Como el tamaño de la muestra es N=50, buscamos el intervalo en el que
6 la Frecuencia acumulada es mayor que 50/2=25, que en este caso es el 3º
y aplicamos la fórmula anterior. Luego la Mediana será
Li-1
Li
ni
45
55
6
55
65
10
16
65
75
19
35
75
85
11
46
85
95
4
50
Me=
MODA:
La moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que más se
repite, es la única medida de centralización que tiene sentido estudiar en una variable
cualitativa, pues no precisa la realización de ningún cálculo.
Por su propia definición, la moda no es única, pues puede haber dos o más valores de la
variable que tengan la misma frecuencia siendo esta máxima. En cuyo caso tendremos
una distribución bimodal o polimodal según el caso.
Por lo tanto el cálculo de la moda en distribuciones discretas o cualitativas no precisa de
una explicación mayor; sin embargo, debemos detenernos un poco en el cálculo de la
moda para distribuciones cuantitativas continuas.
13
Apoyándonos en el gráfico podemos llegar a la determinación de la expresión para la
Moda que es:
Otros autores dan una expresión aproximada para la moda que viene dada por la
siguiente expresión:
Veamos su cálculo mediante un ejemplo, para ello usaremos los datos del apartado
anterior
Li-1
Li
ni
Ni
45
55
6
6
55
65
10
16
65
75
19
35
75
85
11
46
85
95
4
50
Utilizando la fórmula aproximada
MEDIDAS DE DISPERSIÓN:
1.
2.
3.
4.
Breve Introducción
Rango
Concepto de desviación
Desviación Media
14
5. Varianza
6. Desviación Típica
7. Cuasivarianza
8. Cuasi Desviación típica
9. Coeficiente de Variación
10. Ejemplo
Breve Introducción
Hasta el momento hemos estudiado los valores centrales de la distribución, pero
también es importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de estos
valores centrales, es por lo que surge la necesidad de estudiar medidas de dispersión.
Rango:
Es la primera medida que vamos a estudiar, se define como la diferencia existente entre
el valor mayor y el menor de la distribución,. Lo notaremos como R. Realmente no es
una medida muy significativa e la mayoría de los casos, pero indudablemente es muy
fácil de calcular.
Hemos estudiado varias medidas de centralización, por lo que podemos hablar de
desviación con respecto a cualquiera de ellas, sin embargo, la mas utilizada es con
respecto a la media.
Desviación: Es la diferencia que se observa entre el valor de la variable y la media
aritmética. La denotaremos por di .
No es una medida, son muchas medidas, pues cada valor de la variable lleva asociada su
correspondiente desviación, por lo que precisaremos una medida que resuma dicha
información.
La primera solución puede ser calcular la media de todas las desviaciones, es decir, si
consideramos como muestra la de todas las desviaciones y calculamos su media. Pero
esta solución es mala pues como veremos siempre va a ser 0.
Luego por lo tanto esta primera idea no es valida, pues las desviaciones positivas se
contrarrestan con las negativas.
Para resolver este problema, tenemos dos caminos:


Tomar el valor absoluto de las desviaciones. Desviación media
Elevar al cuadrado las desviaciones. Varianza.
15
Desviación media:
Es la media de los valores absolutos de las desviaciones, y la denotaremos por dm.
Varianza:
Es la media de los cuadrados de las desviaciones, y la denotaremos por
por
o también
.
Aunque también es posible calcularlo como:
Este estadístico tiene el inconveniente de ser poco significativo, pues se mide en el
cuadrado de la unidad de la variable, por ejemplo, si la variable viene dada en cm. La
varianza vendrá en cm2.
Desviación típica:
Es la raíz cuadrada de la varianza, se denota por Sx o  x.
Este estadístico se mide en la misma unidad que la variable por lo que se puede
interpretar mejor.
Otros dos estadísticos importantes son la cuasivarianza y la cuasidesviación típica, que
como veremos cuando estudiemos el tema de estimación estadística, son los
estimadores de la varianza y desviación típica poblacionales respectivamente.
16
Cuasivarianza:
Es una medida de dispersión, cuya única diferencia con la varianza es que dividimos por
N-1, la representaremos por
o
y la calcularemos de la siguiente forma:
Cuasidesviación típica:
La raíz cuadrada de la cuasivarianza y la denotaremos por SN—1 o  N-1.
Todas estas medidas de dispersión vienen influidas por la unidad en la que se mide la
variable, esto implica que si cambiamos de unidad de medida, los valores de estos
estadísticos se vean a su vez modificados. Además, no permite comparar por ejemplo,
en un grupo de alumnos si los pesos o las alturas presentan mas dispersión. Pues no es
posible comparar unidades de distinto tipo.
Precisamos por lo tanto, una medida "escalar", es decir, que no lleve asociado ninguna
unidad de medida.
Coeficiente de Variación:
Es un estadístico de dispersión que tiene la ventaja de que no lleva asociada ninguna
unidad, por lo que nos permitirá decir entre dos muestras, cual es la que presenta mayor
dispersión. La denotaremos por C.V.
Ejemplo
Veamos por último un ejemplo de cómo se calculan todas estas medidas.
17
45
55
6
6
50
300
-19,4
116,4
2258,16
15000
55
65
10
16
60
600
-9,4
94
883,6
36000
65
75
19
35
70
1330
0,6
11,4
6,84
93100
75
85
11
46
80
880
10,6
116,6
1235,96
70400
85
95
4
50
90
360
20,6
82,4
1697,44
32400
N=
50
420,8
6082
246900
3470
=
Dm=
=
C.V.=
Medidas de Localización: Cuartiles, deciles y percentiles.
Las medidas de localización dividen la distribución en partes iguales, sirven para
clasificar a un individuo o elemento dentro de una determinada población o muestra.
Así en psicología los resultados de los test o pruebas que realizan a un determinado
individuo, sirve para clasificar a dicho sujeto en una determinada categoria en función
de la 53-1-u-puntuaci&oacuteMn obtenida.
1.
2.
3.
4.
5.
Cuartiles.
Deciles.
Percentiles.
Ejemplos de cálculo.
Algunas medidas de dispersión asociadas
Cuartiles
18
Medida de localización que divide la población o muestra en cuatro partes iguales.



Q1= Valor de la variable que deja a la izquierda el 25% de la distribución.
Q2= Valor de la variable que deja a la izquierda el 50% de la distribución =
mediana.
Q3= Valor de la variable que deja a la izquierda el 75% de la distribución.
Al igual que ocurre con el cálculo de la mediana, el cálculo de estos estadísticos,
depende del tipo de variable.
Caso I: Variable cuantitativa discreta:
En este caso tendremos que observar el tamaño de la muestra: N y para calcular
Q1 o Q3 procederemos como si tuviésemos que calcular la mediana de la
correspondiente mitad de la muestra.
Caso II: Variable cuantitativa continua:
En este caso el cálculo es más simple:, sea la distribución que sigue:
[Li-2 -- Li-1)
ni-1
Ni-1
[Li-1 -- Li)
ni
Ni
Siendo el intervalo coloreado donde se encuentra el
Cuartil correspondiente:
y
Deciles
Medida de localización que divide la población o muestra en 10 partes iguales
No tiene mucho sentido calcularlas para variables cualitativas discretas. Por lo que lo
vamos a ver sólo para las variables continuas.
dk = Decil k-simo es aquel valor de la variable que deja a su izquierda el k·10 % de la
distribución.
[Li-2 -- Li-1)
ni-1
Ni-1
[Li-1 -- Li)
ni
Ni
Intervalo donde se encuentra el Decil
correspondiente:
k = 1 .. 9
19
Percentiles:
Medida de localización que divide la población o muestra en 100 partes iguales
No tiene mucho sentido calcularlas para variables cualitativas discretas. Por lo que lo
vamos a ver sólo para las variables continuas.
pk = Percentil k-simo es aquel valor de la variable que deja a su izquierda el k % de la
distribución.
[Li-2 -- Li-1)
ni-1
Ni-1
[Li-1 -- Li)
ni
Ni
Intervalo donde se encuentra el percentil
correspondiente:
k=1 .. 99
EJEMPLO:
Como se puede observar la forma de calcular estas medidas es muy similar a la del
cálculo de la mediana.
Veamos el cálculo de algunas de estas medidas en el ejemplo que estamos estudiando.
Vamos a calcular Q1,Q3, d3, y p45
Li-1
Li
ni
Ni
45
55
6
6
55
65
10 16
65
75
19 35
75
85
11 46
85
95
4
50
Cálculo de Q1: Buscamos en la columna de las frecuencias Acumuladas el valor que
supere al 25% de N=50, corresponde al 2º intervalo.(50/4=12.5)
20
Análogamente calculemos Q3, Buscamos ahora en la misma columna el correspondiente
al 75 %de N que en este caso es el 4º intervalo (3.50/4=37.5)
Veamos ahora el decil 3º. (Corresponde al 30 % 3 · 50 / 10 = 15) sería el 2º intervalo.
Por último veamos el percentil 45 (45·50/100 = 22.5) Corresponde al intervalo 3º.
Algunas medidas de Dispersión asociadas
Una vez estudiadas las medidas de localización surgen dos nuevas medidas de
dispersión, que son:

Recorrido intercuartílico:

Semirecorrido intercuartílico:

Recorrido interdecílico:

Recorrido intercentilico:
Medidas de Simetría:
Las medidas de la asimetría, al igual que la curtosis, van a ser medidas de la forma de la
distribución, es frecuente que los valores de una distribución tiendan a ser similares a
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ambos lados de las medidas de centralización. La simetría es importante para saber si
los valores de la variable se concentran en una determinada zona del recorrido de la
variable.
As<0
Asimetría Negativa a la Izquierda
As=0
As>0
Simétrica
Asimetría Positiva a la Derecha.
Para medir la asimetría se puede realizar atendiendo básicamente a dos criterios:


Comparando la Media y la Moda.
Comparando los valores de la variable con la media.
Comparando la Media y la Moda:
Si la diferencia
es positiva, diremos que hay asimetría positiva o a la
derecha, en el caso de que sea negativa diremos que hay asimetría negativa o a la
izquierda. No obstante, esta medida es poco operativa al no ser una medida relativa, ya
que esta influida por la unidad en que se mida la variable, por lo que se define el
coeficiente de Asimetría como:
Esta medida es muy fácil de calcular, pero menos precisa que el coeficiente de asimetría
de Pearson.
El coeficiente de asimetría de Pearson, se basa en la comparación con la media de todos
los valores de la variable, así que es una medida que se basará en las diferencias
, como vimos en el caso de la dispersión si medimos la media de esas desviaciones sería
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nulas, si las elevamos al cuadrado, serían siempre positivas por lo que tampoco
servirían, por lo tanto precisamos elevar esas diferencias al cubo.
Para evitar el problema de la unidad, y hacer que sea una medida escalar y por lo tanto
relativa, dividimos por el cubo de su desviación típica. Con lo que resulta la siguiente
expresión:
Medida de a53-1-u-puntamiento, Curtosis:
La curtosis es una medida del a53-1-u-puntamiento, que nos indicará si la distribución
es muy a53-1-u-puntada o poco a53-1-u-puntada
Curtosis Negativa
Curtosis nula
Curtosis Positiva
Platicúrtica
Mesocúrtica
Leptocúrtica
Como podemos observar, el coeficiente de curtosis nos mide el grado de a53-1-upuntamiento de la distribución. Este coeficiente lo vamos a denotar por K y se calcula
según la siguiente expresión:
Veamos por último el cálculo de estos dos últimos coeficientes en el ejemplo que
estamos estudiando.
23
45
55
6
6
50
300
-19,4
-43808,304
849881,098
55
65
10
16
60
600
-9,4
-8305,84
78074,896
65
75
19
35
70
1330
0,6
4,104
2,4624
75
85
11
46
80
880
10,6
13101,176
138872,466
85
95
4
50
90
360
20,6
34967,264
720325,638
N=
50
-4041,6
1787156,56
3470
=
Mo=
70.24
As=
Coeficiente de Asimetría de
Pearson As=
K=
Luego es una distribución asimétrica negativa o a la izquierda y Platicúrtica.
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