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22 ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Examen Selectivo de Secundarias, nivel Benjamín (primero y segundo de secundaria)
Yucatán 2008.
Instrucciones: En la hoja de respuestas llena el rectángulo que consideres que corresponde a
la respuesta correcta. Todos los celulares se deberán apagar al inicio del examen. No se
permite usar calculadora ni escritos de apoyo. La duración del examen es de 1 hora. Los
problemas del uno al cinco valen 3 puntos, los del seis al diez son de 4 puntos y los restantes
son de 5 puntos.
Problema 1.- Dadas 3 monedas colocadas como indica la figura, si en cada movimiento tienes
que voltear dos monedas que estén juntas, ¿cuál es el mínimo número de movimientos que
tienes que hacer para que todas tengan la misma cara hacia arriba?
A
a) 1
b) 2
c) 3
S
A
d) 4
e) 5
Problema 2.- ¿Cuántos enteros positivos múltiplos de 7 y menores que 100 hay?
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
Problema 3.- En sus primeros seis exámenes Tony obtuvo un promedio de 84 puntos. Con el
resultado del séptimo examen su promedio subió a 85 puntos; ¿qué calificación obtuvo Tony
en el séptimo examen?
a) 86
b) 88
c) 89
d) 90
e) 91
1
Problema 4.- En la siguiente cuadrícula se ha dibujado una “Z”, ¿cuál es el color que ocupa la
mayor parte de la “Z”?
a) Blanco
b) Negro
c) Gris
d) Negro y gris
e) Hay igual área
de cada color
Problema 5.- Leo y Bere corren en una pista circular, pero Leo corre cinco veces más rápido
que Bere. Si ambos salieron de la línea de meta (el punto A) al mismo tiempo y se mueven en
el sentido de las manecillas del reloj, ¿en cuál de los cinco puntos de la figura volverán a
coincidir por primera vez?
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
Problema 6.- Si efectuamos el producto de todos los números impares desde el 7 hasta el
2009, ¿cuál es la cifra de las unidades del número así obtenido?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
2
Problema 7.- La siguiente cuadrícula tiene 16 cm2 de área. Calcula el área del triángulo.
a) 4.5 cm2
b) 5.5 cm2
c) 5 cm2
d) 7.5 cm2
e) 6 cm2
Problema 8.- La siguiente figura se armó con tres cuadrados y tres rectángulos. Cada
cuadrado tiene 32 cm de perímetro, mientras que cada rectángulo tiene 22 cm de perímetro.
¿Cuál es el perímetro de toda la figura?
a) 54 cm
b) 60 cm
c) 70 cm
d) 75 cm
e) 80 cm
Problema 9.- Si el camino sigue siempre el mismo patrón
...
¿Cuál es la sucesión de flechas que van del número 2006 al 2008?
2007
a)
2006
2008
2008
b)
2006
2007
2006
c)
2007
2006
2008
d)
2007
2008
e) no se puede
determinar
Problema 10.- Carolina escribe en su libreta una lista con todos los múltiplos de 5 desde el
cero hasta el 200, ¿cuántas veces usó Carolina el dígito “1” al escribir su lista?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 22
e) 24
3
Problema 11.- ¿Cuánto vale 999999999 – 99999999 + 9999999 - 999999 + … – 99 + 9?
a) 999909999
b) 909090909
c) 90909090
d) 900900900
e) 990990990
Problema 12.- ¿Cuántos enteros positivos de dos cifras cumplen que la suma de sus cifras es
par?
a) 52
b) 45
c) 25
d) 10
e) 90
Problema 13.- El juego “7 marinólico” consiste en que una persona diga números
consecutivamente: 1, 2, 3,… pero cuando le toque decir un número múltiplo de 7 o que
termine en 7, en lugar de decir dicho número dice “marinola”. Si Didier dijo “marinola” 50
veces al jugar, ¿a qué número correspondía la última “marinola”?
a) 406
b) 224
c) 140
d) 210
e) 420
Problema 14.- José tiene 5 bolsas de canicas y cada una de ellas contiene canicas rojas y
canicas blancas (es decir, en cada bolsa podría haber canicas de los dos colores). Las bolsas
contienen 20, 21, 22, 23 y 24 canicas cada una. Ayer durante el recreo José perdió una de sus
bolsas. Al llegar a su casa contó todas las canicas en las bolsas restantes y se dio cuenta de que
el total de canicas rojas es 4 veces el total de las canicas blancas; ¿cuántas canicas tenía la
bolsa que José perdió?
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
Problema 15.- En la cocina había un pastel destinado al cumpleaños de Julius, pero al llegar a
su casa nota que el pastel desapareció. En la casa hay cinco niños: Jhonny, Puc, Alan, Lobo y
Álvaro. Julius sabe que alguno, o varios, son los autores del crimen, así que los interroga. He
aquí sus respuestas:
Jhonny: Esto es obra de solamente uno de nosotros.
Puc: No, de dos de nosotros.
Alan: No, de tres de nosotros.
Lobo: No, de cuatro de nosotros.
Álvaro: Entre todos nos lo comimos.
Julius sabe que los inocentes dicen la verdad, mientras que los culpables mienten; ¿entre
cuántos se comieron el pastel?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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liga a la Olimpiada encontrarás los resultados el 2 de marzo, las respuestas oficiales y material de entrenamiento.
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SOLUCIONES EXAMEN BENJAMIN
Problema 1. Es posible lograr que todas las monedas tengan la misma cara en tan
solo dos movimientos. Una forma de hacerlo es como se muestra a continuación.
Las flechas indican las monedas que se deben voltear en cada movimiento.
La respuesta es b)
Problema 2. Primero observemos que 7 x 14 = 98 y que 7 x 15 = 105, así que el
múltiplo de 7 más grande que se encuentra antes del 100 es el catorceavo, es decir,
los números 7 x 1, 7 x 2, ... , 7 x 13 y 7 x 14 son todos los múltiplos de 7 menores
que 100: la respuesta es d).
Problema 3. Supongamos que S es la suma de las primeras seis calificaciones de
S
 84 , entonces S  6  84  504 . El nuevo promedio se
Tony. Sabemos que
6
obtiene sumando las siete calificaciones y dividiéndolo entre 7; llamemos x a la
séptima calificación, entonces S + x es la suma de las siete calificaciones, así que
Sx
 85 ,
despejando
obtenemos
que
así
que
S  x  85  7  595 ,
7
x  595  S  595  504  91 . La séptima calificación debió ser 91: la respuesta es e).
5
Problema 4. Primero contemos los cuadritos que quedan enteros dentro de la figura:
Tenemos cinco cuadritos enteros de
color negro y cinco de color gris y seis
del blanco.
Como podemos observar, solo nos falta
contar tres mitades de cuadrado gris y
tres del negro, del blanco tan solo dos,
Al final, dentro de la figura el negro y el
gris ocupan seis y medio cuadritos y el
blanco siete. La respuesta es a).
Problema 5. :Leo y Bere no pueden encontrarse
durante la primera vuelta de Leo, porque él va a ir
siempre delante de Bere.
Vamos a imaginarnos la pista como una carátula
de reloj con manecillas, con la intención de
simplificar la interpretación; observemos que
luego de la primera vuelta al pasar de nuevo por
el punto C, Leo habrá recorrido 12 + 3 = 15
segmentos, mientras que Bere, que va 5 veces
más lento, habrá recorrido 3 segmentos, así que
los dos coinciden en el punto C:. la respuesta es
c).
6
Problema 6. Primero notemos que el producto de números impares es impar, así
que el resultado de la multiplicación del enunciado es impar. Además, entre los
impares estarán muchos que son múltiplos de cinco, por ejemplo, el 15. Eso significa
que el número que se obtendrá al hacer la multiplicación también será múltiplo de 5,
por lo que terminará en cero o cinco: sólo puede terminar en cero si es par y sólo en
cinco si es impar, luego la respuesta es c).
Problema 7. Como el área de la figura es 16 cm 2 y está formada por 16 cuadritos
iguales, el área de cada cuadradito es 1cm2. Observemos la figura siguiente:
Si juntamos los
pedacitos que tienen el mismo
número obtenemos un cuadrito entero. Así que en total, tenemos cinco cuadritos de
1 cm2, por lo que el área de la figura es 5 cm2. La respuesta es c).
Problema 8. Como el perímetro del cuadrado es 32 cm, cada lado debe medir 8 cm,
ya que 8 x 4 = 32.
Entonces
el
largo
de
los
rectángulos es 8 cm también,
mientras que su perímetro es 22 cm
de perímetro, así que deben tener 3
cm de altura.
Entonces, como podemos apreciar
en la figura, el perímetro es es 8 x 8
+ 2 x 3 = 70 cm. La respuesta es c)
Problema 9. Podemos observar en la secuencia, que los múltiplos de cuatro siempre
quedan después de la flechita que está hacia abajo; como 2008 es múltiplo de 4
tenemos que la única solución posible es d).
7
Problema 10. Hay varias formas de contar, pero tal vez lo más conveniente para
presentar esta solución es que listemos los números que cumplen las condiciones
del enunciado: 10, 15, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155,
160, 165, 170, 175, 180, 185, 190,195. Como podemos observar son 24 dígitos “1”:
la respuesta es el inciso e).
Problema 11. Vamos a agrupar los términos por parejas:
(9999999999-99999999) + (9999999-999999) + (99999-9999) + (999-99) +9.
Esto es igual a:
900000000 + 9000000 + 90000 + 900 + 9 = 909090909.
La respuesta es b).
Problema 12. La primera cifra puede ser par o impar. Si la primera cifra es impar, la
segunda también debe de serlo, tenemos 5 impares, así que hay 5 x 5 = 25 maneras
de combinarlos. Si la primera cifra es par, la segunda también debe de serlo, pero la
primera cifra no puede ser cero así que sólo tenemos cuatro dígitos que pueden
ocupar el lugar de la primera cifra, entonces serían 4 x 5 = 20, números que se
pueden formar de esta manera: la respuesta es 45 que se corresponde al inciso b).
Problema 13. Se dice marinola en los siguientes números 7, 14, 17, 21, 27, 28, 35,
37, 42, 47, 49, 56, 57, 63, 67, 70, 77, … observemos que el 7 es múltiplo de 7 y
termina en 7, lo mismo que el 77. De la misma manera, entre el 77 y el 147 hay 6
números terminados en 7 y 9 múltiplos de 7. Ocurre lo mismo entre el 147 y el 217,
así que desde el 7 hasta el 217 hay (3 X 15) + 4 = 49 números marinólicos, como
Didier dijo “marinola” 50 veces la respuesta es el 224, es decir, el inciso b).
Problema 14. Observemos que 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 110. Llamemos B a la
cantidad de canicas blancas que le quedan a José. El enunciado nos dice que José
tiene 4xB canicas rojas, por lo que en total le quedan 5xB canicas. Es decir que el
número de canicas que le quedan a José es múltiplo de 5 y como el número total de
canicas que tenía es múltiplo de 5, quiere decir, que la cantidad de canicas que se le
perdieron es también múltiplo de 5. Por lo tanto la respuesta es 20, o sea el inciso a).
Problema 15. Hay cinco frases y en cada una de ellas hay una cantidad diferente de
culpables: solo una puede ser verdad y cuatro deben de ser mentira. Puesto que la
frase verdadera sólo puede ser expresada por un inocente, entonces hay cuatro
culpables y Lobo es el único que dice la verdad: la respuesta es d).
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