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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO N° 2
“9° OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL JISUNÚ 2011”
4TO DE PRIMARIA
1. Yo comí 6 manzanas, mi hermano comió 4, mi primo comió 8 y tiramos 2 que estaban malas. Habíamos
comprado 2 bolsas con 18 manzanas cada una y dejamos la manzana más grande para mi mamá. ¿Cuántas
manzanas nos quedan?
2. Un hombre lleva en hombros a su hijo que pesa la mitad que él. Con su hijo en hombros, el hombre se pesa
en una báscula y ésta marca 105 kilos. ¿Cuánto pesa el hombre solo?
3. La suma de cinco números, de los cuales cada uno es el doble del anterior, es 62. ¿Cuál es el mayor de los
cinco números?
4. Si escribimos todos los números mayores que 600 y menores que 700, ¿Cuántas veces aparece el dígito 6?
5. Un ascensor sale de la planta baja con 7 personas. Para en todos los pisos.
En cada piso suben 2 personas.
En los pisos pares bajan 3 personas y en los pisos impares no baja ninguna.
¿Cuántas personas hay en el ascensor antes de que se abra la puerta en el piso 11?
6. El cuadrado grande tiene 72 cm de perímetro.
Los cuadrados pequeños tienen lado igual a la mitad del lado del cuadrado grande.
¿Cuál es el perímetro de la figura?
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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO N° 2
“9° OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL JISUNÚ 2011”
5TO DE PRIMARIA
1. Seis amigos desean viajar y deciden, por parejas, utilizar diferentes medios de transporte: avión, tren y coche.
Alejandro no utiliza el coche ya que esté acompaña a Benito que no va en avión. Andrés viaja en avión. Si
Carlos no va acompañado de Darío ni hace uso del avión, ¿en qué medio llega Tomás?
2. Considera un cuadrado de 1 metro de lado, divídelo en cuadraditos de 1 milímetro de lado. ¿Qué longitud
obtendrás si colocas los cuadraditos en línea pegados unos a otros?
3. Con tres rectángulos iguales se formó un rectángulo más grande, como el que se muestra en la figura. Si la
longitud BC = 2, ¿Cuál es la longitud de AB?
4. Una arañita va y viene sobre una rama de 64 cm de largo.
Primero va de una punta a la otra.
Se da vuelta y va hasta la mitad de la rama; allí se da vuelta y va hasta la mitad del camino que recorrió la
última vez.
Hace esto dos veces más, recorriendo cada vez la mitad del camino anterior.
¿Cuántos centímetros recorrió en total?
5. Con una botella de gaseosa se llenan 6 vasos. Después de la fiesta quedaron 15 botellas vacías y 5 botellas
por la mitad.
¿Cuántos vasos se habían llenado en la fiesta?
6. Para llenar el álbum se necesitan 320 figuritas. Ayer Camila tenía completa la cuarta parte. Hoy le regalaron
24 paquetes de 6 figuritas cada uno. Después de abrir todos los paquetes, encontró sólo 37 figuritas repetidas.
¿Cuántas figuritas le faltan todavía para completar el álbum?
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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO N° 2
“9° OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL JISUNÚ 2011”
6TO DE PRIMARIA
1. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el momento de cortar. ¿Qué
fracción del pastel original quedó después de cortar tres veces?
2. El número de cinco dígitos 321ab es divisible entre 156. ¿Cuál es el número?
3. Un pintor está parado sobre el peldaño medio de una escalera. Sube 4 peldaños y baja 8. Luego sube 2 más
y por último sube 11 peldaños hasta llegar al tope de la escalera. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera?
4.
Los
de los pasajeros de un tren turístico son extranjeros. Hay 72 pasajeros bolivianos. Los extranjeros
ocupan las partes de los asientos del tren.
¿Cuántos asientos tiene el tren?
5. Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de los asientos se numera de izquierda a
derecha, comenzando por la primera fila y hacia atrás. ¿En qué número de fila está el asiento número 375?
6. La figura ABCDE tiene 63 cm de perímetro y los lados BC, CD, DE, y EA son iguales. En el rectángulo
ABCE, BC es el doble de AB.
¿Cuál es el perímetro del triángulo CDE?
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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO N° 2
“9° OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL JISUNÚ 2011”
1RO DE SECUNDARIA
1. Un círculo cuyo radio mide 1 cm está inscrito en un cuadrado, y éste a su vez está inscrito en otro círculo,
como se muestra en la figura. ¿Cuántos centímetros mide el radio de éste último círculo?
2. El boleto de entrada al Palacio de las Ciencias cuesta 5 pesos por niño y 10 pesos por adulto. Al final del día
50 personas visitaron el Palacio y el ingreso total de las entradas fue de 350 pesos. ¿Cuántos adultos visitaron el
Palacio?
3. Me comí una rebanada de un pastel redondo que representaba el 15 % del pastel, como indica la figura.
¿Cuál es ángulo que abarca la rebanada del pastel?
4. Si efectuamos el producto de todos los números impares comprendidos entre 1 y 1994, ¿cuál es la cifra de las
unidades del número así obtenido?
5. ¿Cuánto es la suma de las cifras del número N=1092 - 92?
6. ¿Cuántos números múltiplos de 6 menores que 1000 tienen la propiedad de que la suma de sus cifras es 21?
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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO N° 2
“9° OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL JISUNÚ 2011”
2DO DE SECUNDARIA
1. Si x es un número par y y un número impar, ¿cuál de los siguientes números no es impar?
(a) x+y
(b) x+x+1
(c) x2/2
(d) (y+y)/2
(e) xy+1
2. ¿Cuántos números entre 5678 y 9876 tienen la propiedad de que el producto de sus cifras es igual a 343?
3. ¿Cuál es el dígito de las unidades de (1+12)+(2+22)+(3+32)+ ... +(2000+20002)?
4. ¿Cuál es la longitud de x en la figura?
5. En el cine, en la función del domingo, las entradas cuestan $ 7 para menores y $12 para mayores. Cada
mayor compró, además de su entrada, entradas para 2 menores.
Este domingo por la venta de entradas se obtuvieron $1638.
¿Cuántas entradas se vendieron en total?
6. Reemplazando x e y por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65x1y que son múltiplos
de 12.
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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO N° 2
“9° OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL JISUNÚ 2011”
3RO DE SECUNDARIA
1. Si S = 1 + 2 + 3 + ... + 100, ¿cuántos signos + hay que cambiar por signos - para obtener
1991 en lugar de S?
2. Consideremos 48 canicas repartidas en tres montones A, B y C de manera que si del montón
A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego del B pasamos al C tantas canicas como
hay en el C y del C pasamos al A tantas como existen ahora en el A, tendremos el mismo
número de canicas en cada montón. ¿Cuántas canicas había al principio en el montón A?
3. El producto de tres enteros positivos es 1500 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres
números?
4. ¿Cuántas parejas de enteros positivos (a,b) satisfacen a2-b2=15?
5. Un barco navega entre dos orillas paralelas, siguiendo el recorrido de la figura.
Se sabe que <ABC = <CDX y <CBD = <CDB. Calcular <ABC.
(<ABC significa "el ángulo ABC")
6. Con los dígitos1, 2, 3, 4, 5, 6, formar un número de seis cifras distintas abcdef tal que el
número de tres cifras abc sea múltiplo de 4, el número de tres cifras bcd sea múltiplo de 5, el
número de tres cifras cde sea múltiplo de 3 y el número de tres cifras def sea múltiplo de 11.
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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO N° 2
“9° OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL JISUNÚ 2011”
4TO DE SECUNDARIA
1. Sea f una función de números tal que f(2)=3, y f(a+b)=f(a)+f(b)+ab, para toda a y b.
Calcular, f(11).
2. El número -1 es solución de la ecuación de segundo grado 3x2+bx+c=0. Si los coeficientes b
y c son números primos, el valor de 3c-b es:
3. Si haces la división de 1 entre 52000, ¿cuál será el último dígito que aparezca antes de llegar a
puros 0's?
4. Si x2+y2=6xy, con x y, ¿a qué es igual (x+y)/(x-y)?
5. En el tablero de la figura hay cuatro casillas ocupadas.
Escribir en cada una de la seis casillas vacías un número (no necesariamente entero) de modo
que una vez completo el tablero con los 10 números, se verifique que el número escrito en cada
casilla sea igual a la suma de los dos números escritos en las dos casillas sobre las que está
apoyada.
6. En la siguiente figura los lados grandes y chicos son todos iguales entre si. Los lados chicos
miden la mitad de los grandes. Todos los ángulos son rectos y el área de la figura es 200. ¿Cuál
es el perímetro de la figura?
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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO N° 2
“9° OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL JISUNÚ 2011”
5TO DE SECUNDARIA
1. Utilizando exclusivamente dos dígitos distintos, 2 y a, se forma el siguiente número de 90
cifras:
2a22a222a2222a...
Si este número de 90 cifras es múltiplo de 9, dar todos los valores posibles del dígito a.
2. Sean x, y, números reales tales que x + y = 26, x3 + y3 = 5408. Hallar x2 + y2.
3. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación: 23+x + 23-x = 65?
4. Si x2 + 8x - 2 = 0. ¿Qué número representa la expresión x4 + 8x + 16x + 10?
5. Hay que escribir los números del 1 al 9, uno en cada casilla y sin repeticiones, de modo que
la suma de los tres números de cada una de las 4 líneas sea la misma. Ya se escribieron el 6 y el
9. Ubicar los demás números.
6. Si ABCD es un cuadrado de lado 4, M es un punto sobre el segmento AB tal que AM es una
cuarta parte de AB y P es la intersección de la diagonal DB y el segmento MC, ¿Cuánto mide
PC?
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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO N° 2
“9° OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL JISUNÚ 2011”
6TO DE SECUNDARIA
1. ¿Cuánto mide la superficie de la siguiente figura formada con cubos de lado 1?
2. Un cubo de madera se corta con una sierra por los puntos A, C y G, como se indica en la figura. ¿Cuánto
vale el ángulo CAG?
3. Determinar todos los números reales x tales que
.
4. Los números de seis dígitos ABCDEF donde los dígitos varían del 1 al 6 y son todos distintos, se llaman
armoniosos si 1 divide a A, 2 divide a AB, 3 divide a ABC, 4 divide a ABCD, 5 divide a ABCDE, 6 divide a
ABCDEF. ¿Cuántos números armoniosos hay de 6 dígitos?
ab 7

5. Hallar todos los números de dos cifras ab tales que ba 4 .
ACLARACIÓN: ab representa al número que tiene a en las decenas y b en las unidades; ba representa al
número que tiene b en las decenas y a en las unidades.
6. Una escalera tiene numerados los escalones como 0, 1, 2, 3, 4 ...
Una rana está en el escalón 0, salta cinco escalones hacia arriba hasta el escalón 5 y luego dos para abajo hasta
el escalón 3, después sigue saltando alternando, cinco escalones para arriba y dos para abajo. La sucesión de
escalones que pisa la rana es 0, 5, 3, 8, 6... ¿Cuál de los siguientes escalones no pisa la rana?
(a) 1997
(b) 1998
(c) 1999
(d) 2000
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