Download trigonometria

1
TRIGONOMETRIA
 rad equivalen a 180º o 1 rad equivale a 57º 17´ 45´´
RAZONES TRIGONOMETRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO
Dado el triángulo rectángulo en C :
Se definen:
sen ( A )

a
c
tg ( A )

a
b
sec ( A )

c
b
cos ( A )
ctg ( A )
csc ( A )



b
c
b
a
c
a
TABLA DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ALGUNOS ANGULOS
A
sen ( A )
cos ( A )
tg ( A )
0º
0
0
1
0
30º

6
1
2
3
2
3
3
45º

4
2
2
2
1
1
2
3
1
0
∞
60º
90º
2
3
2

3

2
180º

0
–1
0
270º
3
2
–1
0
-∞
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
sen 2 ( A ) + cos 2 ( A ) = 1
sec 2 ( A ) = 1 + tg 2 ( A )
csc 2 ( A ) = 1 + ctg 2 ( A )
SIGNO DE CADA RAZON TRIGONOMETRICA
Cuadrante
sen ( A )
cos ( A )
tg ( A )
1º
+
+
+
2º
+
–
–
3º
–
–
+
4º
–
+
–
2
PASANDO AL 1er CUADRANTE:
sen A
3er Cuadrante
sen ( 180º + A )
= – sen A
cos ( 180º – A )
= – cos A
cos ( 180º + A )
= – cos A
tg ( 180º – A )
= – tg A
tg ( 180º + A )
=
4º Cuadrante
sen ( 360º – A )
= – sen A
Ángulos negativos
sen ( – A ) = – sen ( A )
cos ( 360º – A )
=
cos ( – A )
=
tg ( 360º – A )
= – tg A
tg ( – A )
= – tg ( A )
2º Cuadrante
sen ( 180º – A )
=
cos A
OTRAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES
sen ( A + B ) = sen ( A ) cos ( B ) + sen ( B ) cos ( A )
sen(75º) =
sen(210º) =
sen(150º) =
tg A
cos ( A )
3
sen ( A – B ) = sen ( A ) cos ( B ) – sen ( B ) cos ( A )
sen(15º) =
sen(240º) =
sen(150º) =
cos ( A + B ) = cos ( A ) cos ( B ) – sen ( A ) sen ( B )
cos(75º) =
cos(225º) =
4
cos(1215º) =
cos ( A – B ) = cos ( A ) cos ( B ) + sen ( A ) sen ( B )
cos(15º) =
cos(225º) =
cos(285º) =
tg ( A + B ) =
tg(75º) =
tg ( A )  tg ( B )
1 – tg ( A ) tg ( B )
5
tg ( A – B ) =
tg ( A ) – tg ( B )
1  tg ( A ) tg ( B )
tg(15º) =
sen ( 2 A ) = 2 sen ( A ) cos ( A )
sen(120º) =
cos ( 2 A ) = cos 2 ( A ) – sen 2 ( A )
cos(120º) =
tg ( 2 A ) =
tg(120º) =
2 tg ( A )
1 – tg 2 ( A )
6
 A 
cos 

 2 
= 
1  cos ( A )
2
= 
1 – cos ( A )
2
cos(15º) =
 A 
sen 

 2 
sen(7º 30´) =
 A 
tg 

 2 
= 
tg(22º 30´) =
Ejercicios:
sec(67º 30´) =
tg(885º) =
1 – cos ( A )
1  cos ( A )
=
1 – cos ( A )
sen ( A )
=
sen ( A )
1  cos ( A )
7
TRANSFORMACIONES DE SUMAS EN PRODUCTOS
 A  B
 A – B
sen ( A ) + sen ( B ) = 2 sen 
 cos 

2
2




 A – B
 A  B
sen ( A ) – sen ( B ) = 2 sen 
 cos 

2
2




 A  B
 A – B
cos ( A ) + cos ( B ) = 2 cos 
 cos 

2
2




 A  B
 A – B
cos ( A ) – cos ( B ) = – 2 sen 
 sen 

2
2




OTRAS IDENTIDADES NOTABLES:
tg ( A ) + tg ( B ) =
sen ( A  B )
cos ( A ) cos ( B )
( cos ( A ) cos ( B )  0 )
tg ( A ) – tg ( B ) =
sen ( A – B )
cos ( A ) cos ( B )
( cos ( A ) cos ( B )  0 )
sen 2 ( A ) =
1 – cos ( 2 A )
2
sen 4 ( A ) =
3 – 4 cos ( 2 A )  cos ( 4 A )
8
cos 3 ( A ) =
3 cos ( A )  cos ( 3 A )
4
sen 3 ( A ) =
3 sen ( A ) – sen ( 3 A )
4
cos 2 ( A ) =
cos 4 ( A ) =
sen ( 3 A ) = 3 sen ( A ) – 4 sen 3 ( A )
sen ( 4 A ) = 4 sen ( A ) cos ( A ) – 8 sen 3 ( A ) cos ( A )
cos ( 3 A ) = 4 cos 3 ( A ) – 3 cos ( A )
cos ( 4 A ) = 8 cos 4 ( A ) – 8 cos 2 ( A ) + 1
1  cos ( 2 A )
2
3  4 cos ( 2 A )  cos ( 4 A )
8
8
LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS
Dado un triángulo ABC cualquiera:
Siempre se cumple lo siguiente:
Ley de los senos:
sen ( A )
a
=
sen ( B )
b
=
sen ( C )
c
Se aplica cuando se conocen las medidas de:
a ) Dos lados y uno de los ángulos opuestos a ellos.
b ) Dos ángulos y un lado.
Ley de los cosenos:
a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c cos ( A )
b 2 = a 2 + c 2 – 2 a c cos ( B )
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b cos ( C )
Se aplica cuando se conocen las medidas de:
a ) Los tres lados.
b ) Dos lados y el ángulo comprendido por ellos.
9
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FUNCION
DOMINIO
CODOMINIO
IMAGEN DE x
SENO
 
 
– 2 ; 2 


 – 1 ; 1
f ( x ) = sen ( x )
 – 1 ; 1
f ( x ) = cos ( x )
COSENO
0
; 
TANGENTE
 
 
;
–

2 
 2
R
f ( x ) = tg ( x )
INVERSA DEL
SENO
 – 1 ; 1
 
 
– 2 ; 2 


f ( x ) = sen – 1 ( x )
INVERSA DEL
COSENO
 – 1 ; 1
INVERSA DE LA
TANGENTE
R
0
; 
 
 
;
–

2 
 2
Función seno: f ( x ) = sen ( x )
f ( x ) = cos
–1
(x)
f ( x ) = tg – 1 ( x )
10
Función cosecante: f ( x ) = cosec ( x )
Función inversa del seno: f ( x ) =arcsen(x)
11
Función coseno: f ( x ) = cos ( x )
Función secante: f ( x ) = sec ( x )
12
Función inversa del coseno: f ( x ) = arccos(x)
Función tangente: f ( x ) = tg ( x )
13
Función cotangente: f ( x ) = cotg ( x )
Función inversa de la tangente: f ( x ) = arctg(x)