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1 TRIGONOMETRIA rad equivalen a 180º o 1 rad equivale a 57º 17´ 45´´ RAZONES TRIGONOMETRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO Dado el triángulo rectángulo en C : Se definen: sen ( A ) a c tg ( A ) a b sec ( A ) c b cos ( A ) ctg ( A ) csc ( A ) b c b a c a TABLA DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ALGUNOS ANGULOS A sen ( A ) cos ( A ) tg ( A ) 0º 0 0 1 0 30º 6 1 2 3 2 3 3 45º 4 2 2 2 1 1 2 3 1 0 ∞ 60º 90º 2 3 2 3 2 180º 0 –1 0 270º 3 2 –1 0 -∞ IDENTIDADES FUNDAMENTALES sen 2 ( A ) + cos 2 ( A ) = 1 sec 2 ( A ) = 1 + tg 2 ( A ) csc 2 ( A ) = 1 + ctg 2 ( A ) SIGNO DE CADA RAZON TRIGONOMETRICA Cuadrante sen ( A ) cos ( A ) tg ( A ) 1º + + + 2º + – – 3º – – + 4º – + – 2 PASANDO AL 1er CUADRANTE: sen A 3er Cuadrante sen ( 180º + A ) = – sen A cos ( 180º – A ) = – cos A cos ( 180º + A ) = – cos A tg ( 180º – A ) = – tg A tg ( 180º + A ) = 4º Cuadrante sen ( 360º – A ) = – sen A Ángulos negativos sen ( – A ) = – sen ( A ) cos ( 360º – A ) = cos ( – A ) = tg ( 360º – A ) = – tg A tg ( – A ) = – tg ( A ) 2º Cuadrante sen ( 180º – A ) = cos A OTRAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES sen ( A + B ) = sen ( A ) cos ( B ) + sen ( B ) cos ( A ) sen(75º) = sen(210º) = sen(150º) = tg A cos ( A ) 3 sen ( A – B ) = sen ( A ) cos ( B ) – sen ( B ) cos ( A ) sen(15º) = sen(240º) = sen(150º) = cos ( A + B ) = cos ( A ) cos ( B ) – sen ( A ) sen ( B ) cos(75º) = cos(225º) = 4 cos(1215º) = cos ( A – B ) = cos ( A ) cos ( B ) + sen ( A ) sen ( B ) cos(15º) = cos(225º) = cos(285º) = tg ( A + B ) = tg(75º) = tg ( A ) tg ( B ) 1 – tg ( A ) tg ( B ) 5 tg ( A – B ) = tg ( A ) – tg ( B ) 1 tg ( A ) tg ( B ) tg(15º) = sen ( 2 A ) = 2 sen ( A ) cos ( A ) sen(120º) = cos ( 2 A ) = cos 2 ( A ) – sen 2 ( A ) cos(120º) = tg ( 2 A ) = tg(120º) = 2 tg ( A ) 1 – tg 2 ( A ) 6 A cos 2 = 1 cos ( A ) 2 = 1 – cos ( A ) 2 cos(15º) = A sen 2 sen(7º 30´) = A tg 2 = tg(22º 30´) = Ejercicios: sec(67º 30´) = tg(885º) = 1 – cos ( A ) 1 cos ( A ) = 1 – cos ( A ) sen ( A ) = sen ( A ) 1 cos ( A ) 7 TRANSFORMACIONES DE SUMAS EN PRODUCTOS A B A – B sen ( A ) + sen ( B ) = 2 sen cos 2 2 A – B A B sen ( A ) – sen ( B ) = 2 sen cos 2 2 A B A – B cos ( A ) + cos ( B ) = 2 cos cos 2 2 A B A – B cos ( A ) – cos ( B ) = – 2 sen sen 2 2 OTRAS IDENTIDADES NOTABLES: tg ( A ) + tg ( B ) = sen ( A B ) cos ( A ) cos ( B ) ( cos ( A ) cos ( B ) 0 ) tg ( A ) – tg ( B ) = sen ( A – B ) cos ( A ) cos ( B ) ( cos ( A ) cos ( B ) 0 ) sen 2 ( A ) = 1 – cos ( 2 A ) 2 sen 4 ( A ) = 3 – 4 cos ( 2 A ) cos ( 4 A ) 8 cos 3 ( A ) = 3 cos ( A ) cos ( 3 A ) 4 sen 3 ( A ) = 3 sen ( A ) – sen ( 3 A ) 4 cos 2 ( A ) = cos 4 ( A ) = sen ( 3 A ) = 3 sen ( A ) – 4 sen 3 ( A ) sen ( 4 A ) = 4 sen ( A ) cos ( A ) – 8 sen 3 ( A ) cos ( A ) cos ( 3 A ) = 4 cos 3 ( A ) – 3 cos ( A ) cos ( 4 A ) = 8 cos 4 ( A ) – 8 cos 2 ( A ) + 1 1 cos ( 2 A ) 2 3 4 cos ( 2 A ) cos ( 4 A ) 8 8 LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS Dado un triángulo ABC cualquiera: Siempre se cumple lo siguiente: Ley de los senos: sen ( A ) a = sen ( B ) b = sen ( C ) c Se aplica cuando se conocen las medidas de: a ) Dos lados y uno de los ángulos opuestos a ellos. b ) Dos ángulos y un lado. Ley de los cosenos: a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c cos ( A ) b 2 = a 2 + c 2 – 2 a c cos ( B ) c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b cos ( C ) Se aplica cuando se conocen las medidas de: a ) Los tres lados. b ) Dos lados y el ángulo comprendido por ellos. 9 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS FUNCION DOMINIO CODOMINIO IMAGEN DE x SENO – 2 ; 2 – 1 ; 1 f ( x ) = sen ( x ) – 1 ; 1 f ( x ) = cos ( x ) COSENO 0 ; TANGENTE ; – 2 2 R f ( x ) = tg ( x ) INVERSA DEL SENO – 1 ; 1 – 2 ; 2 f ( x ) = sen – 1 ( x ) INVERSA DEL COSENO – 1 ; 1 INVERSA DE LA TANGENTE R 0 ; ; – 2 2 Función seno: f ( x ) = sen ( x ) f ( x ) = cos –1 (x) f ( x ) = tg – 1 ( x ) 10 Función cosecante: f ( x ) = cosec ( x ) Función inversa del seno: f ( x ) =arcsen(x) 11 Función coseno: f ( x ) = cos ( x ) Función secante: f ( x ) = sec ( x ) 12 Función inversa del coseno: f ( x ) = arccos(x) Función tangente: f ( x ) = tg ( x ) 13 Función cotangente: f ( x ) = cotg ( x ) Función inversa de la tangente: f ( x ) = arctg(x)
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