Download Operaciones con fracciones 2.2

Regla general para operaciones con signos de agrupación
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Las operaciones se realizan de izquierda a derecha
Primero se realizan las operaciones contenidas en los signos de agrupación
Las operaciones se realizan en este orden
o Raíces y potencias
o Divisiones y multiplicaciones
o Sumas y restas
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Operaciones con números enteros
Suma de números enteros
Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son
positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del
número se entiende que es +.
(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9
(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9
Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo del
sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor
absoluto).
(+20) + (-10) = 20 -10 = +10 ( 20 -10 =10, el más grande es +20, se pone +10)
(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5)
(+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el 11, se pone +9)
Producto y Cociente de números enteros: regla de los
signos
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la
regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando
paréntesis.
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(+8) . (+3) = + 24
(-3) . (-2) = + 6
(+4) . ( -1) = - 4
(-2) . (+4) = - 8
Para dividir se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una
división es exacta cuando el resto es 0.
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(-15) : (-15) = +1
8 : 4 = +2
- 4 : (-2) = +2
10 : 2 = +5
10 : (-2) = - 5
(-8) : 4 = - 2
24 : (-4) = - 6
-6:3=-2
Operaciones con fracciones
2.2
Suma y resta de fracciones
1. Cuando tienen el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Después si podemos se simplifica.
2. Cuando tienen distinto denominador
Hay que reducir a común denominador.
1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores los
denominadores y cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes.
2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo
multiplicamos por el número que haya en el numerador.
3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los
numeradores y dejamos el mismo denominador.
4º Si podemos simplificamos.
* Para comparar fracciones de distinto denominador , primero debemos reducirlas a común
denominador, luego ya las podemos ordenar y comparar.
Ejemplos
Multiplicación de fracciones
1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.
2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.
3º Después se simplifica.
Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número tiene como denominador
uno.
Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.
Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el denominador y el numerador es el
nuevo denominador. Una fracción x su inversa da la unidad.
División de fracciones
1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el
nuevo numerador.
2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el
nuevo denominador.
3º Después si podemos se simplifica.
Ejemplos de multiplicación y división de fracciones
Operaciones con paréntesis ( ) y corchetes [ ]
1.2
Prioridad de las operaciones. ¿Qué hacemos primero?
1. Cuando no hay ni paréntesis ni corchetes, hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las
hay. Si hay varios números positivos y negativos los agrupamos y después los sumamos.
2. Cuando hay paréntesis, hacemos primero los cálculos del paréntesis si los hay y después para quitar
el paréntesis aplicamos la regla de los signos , signo que haya delante del paréntesis por signo que
haya dentro. Luego como en el punto 1.
3. Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la regla de los
signos . Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos. Luego hacemos los
productos y divisiones y por último las sumas.
Ejemplos explicados paso a paso
Ejercicios resueltos
x
Progresiones aritméticas
4.1
Concepto de sucesión
Progresiones aritméticas. Término general
Interpolación de términos
La interpolación consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos
hallados se llaman medios aritméticos.
Intercalar entre 2 y 14 tres números a, b, c de manera que los cinco números estén en
progresión aritmética.
Datos: a1 = 2
a5 = 14
n=5
progresión
2, a , b, c, 14
Calculamos la diferencia d aplicando la expresión del término general de una progresión
aritmética.
a 5 = a1 +(n -1)d » 14 = 2 + (5 -1)d
» 14 = 2 + 4d
» d=3
Sabiendo que d = 3 completamos la progresión » 2, 5, 8, 11, 14
Suma de n término consecutivos
Progresiones geométricas
Término general
4.2
Suma de n términos consecutivos de una progresión
geométrica
Suma de los infinitos términos de una progresión
geométrica decreciente
Ejercicios y problemas resueltos de progresiones 4.3
Fórmulas
Operaciones con monomios y polinomios
Operaciones con monomios
5.1
Operaciones con polinomios
Ejercicios resueltos de polinomios
5.2
Los siguientes ejercicios son para practicar lo visto en el punto anterior operaciones con
polinomios. Intenta hacerlos para ver si te has enterado bien de todo.
Expresiones notables
5.3
Importancia de estas expresiones
Si observamos las fórmulas del cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia de
izquierda a derecha , para desarrollarlas lo que se hace es multiplicar por sí mismo el factor
(a+b) o el (a-b). Es una multiplicación de polinomios, pero como estos productos nos dan
siempre el mismo resultado en lugar de multiplicar podemos aplicar la definición para cada
caso y el resultado es el mismo.
También nos pueden dar las expresiones desarrolladas y nosotros debemos saber qué
expresión es. Esto sería leer las fórmulas de derecha a izquierda y se llama factorizar.
La expresión suma por diferencia leída de izquierda a derecha es pasar de la forma
factorizada al binomio sin factorizar.
Necesitamos conocer bien ésto ya que en cursos posteriores aparecerá mucho.
Resuelve estos ejercicios:
Ecuaciones de primer grado
6.1
Concepto
Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer
grado cuando la x (la variable) está elevada a uno.
Pasos para resolver una ecuación de primer grado
1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m ) y
suprimimos los denominadores.
2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos.
3. Al final tendremos a ambos lados del =, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y
otros no.
4. Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, los
números al otro lado.
5. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.
6. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene
que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.
Soluciones de una ecuación de primer grado
Un número real: Es cuando normalmente decimos que nos da solución.
x + 3 = 5 x + 11 ; x - 5 x = 11 - 3 ; - 4 x = 8 ; x = 8 / - 4 ; x = - 2
Todo número real: No importa el valor de x, nos da 0 x = 0
13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x ; - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13 ; 0 = 0
Incompatible: Se anulan las x y nos da 0 x = número. No tiene solución.
6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x ; 5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2 ; 0 x = - 10
Ejercicios resueltos
Resuelve:
Problemas de ecuaciones de primer grado
6.2
Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones
Leer y comprender el enunciado
Designar la incógnita
Plantear la ecuación
Resolver la ecuación
Discusión e interpretación de los resultados
Problema de edades
Problema de mezclas
Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 € el litro y la segunda de 7,2
€ el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros
de mezcla a 7 € el litro?
1. Planteamiento
Clase A
Clase B
Mezcla
Precio por litro en €
6
7,2
7
Número de litros
x
60 - x
60
2. Ecuación
3. Solución
6x + 7,2 (60 - x) = 7.60; x = 10
Clase A 10 litros Clase B 60 -10 = 50 litros
Problemas con soluciones
Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas 8.1
Métodos de resolución algebraica