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Algunos ejemplos de los aportes de Fermat
Números primos de Fermat.
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma
con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos,
lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al
tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es
primo.
Estos son los cinco primeros números primos de Fermat, la cual van desde n=0
hasta n=4:
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65.537
Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que
ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se
conoce la factorización completa de los doce primeros números de Fermat
(desde n=0 hasta n=11).
Números amigos.
Dos números amigos son dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los
divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a. (Un divisor
propio de un número n es cualquier divisor que no es el mismo número que el que
divide).
Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:

Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman
284.

Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.
Los pitagóricos ya habían observado esta rara relación entre los números 220 y
284: la suma de los divisores de cada uno de ellos, salvo el propio número, es el
otro. Los denominaron números amigos. Durante muchos siglos, la pareja 220 y
284 fueron los únicos amigos conocidos, hasta que en 1636 cuando Fermat
descubrió otra pareja de números amigos. En 1638 Descartes, colega y
competidor de Fermat, encontró la tercera pareja: 9.363.584 y 9.437.056.
La pareja de números que Fermat descubrió fueron los números 17.296 y 18.416,
además de redescubrir una fórmula general para calcularlos, conocida por Tabit
ibn Qurra, alrededor del año 850.
Dicha fórmula es de la siguiente manera:
p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1, donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos,
entonces 2n p q y 2n r son un par de números amigos.
Tomando los números amigos descubiertos de Fermat que son 17.296 y 18.416,
verifiquemos que cumple con la formula general.
Los divisores de 17.296 son: 1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 47, 92, 94, 184, 188, 368, 376,
752, 1081, 2162, 4324, 8648.
Sumando los divisores de 17.296 nos da 18.416
Los divisores de 18.416 son:
1, 2, 4, 8, 16, 1151, 2302, 4604, 9208.
Sumando los divisores 18.416
números amigos.
de nos da 17.296, lo cual nos dice que son
Luego descomponiendo 17.296 y 18.416 nos queda:
17.296= 24 x 23 x 47 y 18.416= 24 x 1151
Cumpliendo así la formula general: 2n p q y 2n r
El par (6232, 6368) también es de números amigos, pero no cumple la formula
general hallada por Tabit ibn Qurra. Veamos:
Los divisores de 6232 son:
1, 2, 4, 8, 19, 38, 41, 76, 82, 152, 164, 328, 779, 1558 y 3116
Sumando los divisores de 6232 nos da 6368.
Los divisores de 6368 son:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 199, 398, 796, 1592 y 3184, lo cual nos dice que son números
amigos.
Luego descomponiendo 6232 y 6368 nos queda:
6.232= 23x19x41 y 6.368= 25x199
Tomando r=199 este según la formula se puede escribir como 9x2 2n-1-1. Luego
199=22x9 + 1
Pero 22 no se puede escribir como 22n-1, por lo tanto no se cumple la formula.
Método para factorizar números grandes.
La cuestión es factorizar un cierto número n. La idea de Fermat es la siguiente:
Si n es igual a la diferencia de dos cuadrados, digamos n= x2 – y2, entonces n
puede factorizarse de forma muy sencilla de forma evidente: n=(x+y)(x-y).
Como x2 debe ser mayor que n se tiene que x debe ser mayor que
. A partir
de esto ya podemos adentrarnos en el método de factorización de Fermat:
Dado un número entero positivo n que queremos factorizar tomamos un entero
positivo x mayor que
(podemos calcular una aproximación de esa raíz
cuadrada a ojo o con el método normal y después elegir x). Calculamos x2 y le
restamos n. Si obtenemos un cuadrado hemos terminado. Si no es así
tomamos x+1, calculamos (x+1)2, restamos n y si hemos obtenido un cuadrado se
acaba. Procedemos de la misma forma hasta encontrar un cuadrado.
Vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del método:
Vamos a factorizar el número 13837. Su raíz cuadrada está entre 117 y 118.
Tomamos x=118. Pero 1182 – 13837 = 87, que no es un cuadrado. Tomamos
ahora x=119. Ahora 1192 – 13837 = 324 = 182. Por tanto despejando n =13837 de
esta expresión tenemos su factorización:
13837 = 1192 – 182 = (119 + 18)(119 - 18) = 137 x 101
Estos son algunos de los aportes de Fermat en específico al álgebra, hay mucho
más aportes y sobre todo en otras áreas que no han sido tratadas en este trabajo.
Debido al enfoque que se quería.