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Número primo
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Número primo
En matemáticas, un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él
mismo y el 1.
Euclides demostró alrededor del año 300 a. C. que existen infinitos números primos. Se contraponen así a los
números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. El número 1, por
convenio, no se considera ni primo ni compuesto.
Los números primos del conjunto de los naturales menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.[1]
La propiedad de ser primo se denomina primalidad, y el término primo se puede emplear como adjetivo. A veces se
habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número
primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por .
El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas que
comprende el estudio de los números naturales. Los números primos están presentes en algunas conjeturas
centenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es
un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos
parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien
definidas.
Historia de los números primos
Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia
Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de
20.000 años (anterior por tanto a la aparición de la escritura) y que fue
hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt[2] parece
aislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos
interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de los
números primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitan
discernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquella
época.[3]
El hueso de Ishango.
Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lo
largo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época.
Los cálculos requerían conocer los inversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas.[4] En el sistema
sexagesimal que empleaban los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60
(números regulares) se calculan fácilmente, por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) y
correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólida
comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.
En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división de
naturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas fracciones egipcias, suma de fracciones
unitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1, como
, por lo que las fracciones de numerador
distinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición
.[5] Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.[6]
en lugar de
Número primo
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Antigua Grecia
La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y
se encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay
infinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para
determinarlos que hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Los Elementos contienen asimismo el
teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo de
Mersenne.
La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite encontrar números
primos. Hoy en día, empero, los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores emplean
otros algoritmos más rápidos y complejos.
Matemáticas modernas
Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en
el estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En
1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración)
el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostrado
por Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes se
conociera un caso especial de dicho teorema en China.
Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1
eran primos (debido a lo cual se los conoce como números
de Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir,
216 + 1). Sin embargo, el siguiente número de Fermat
232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641),
como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se
conoce ningún número de Fermat que sea primo aparte de
los que ya conocía el propio Fermat.
El monje francés Marin Mersenne investigó los números
primos de la forma 2p − 1, con p primo. En su honor, se los
conoce como números de Mersenne.
Pierre de Fermat.
En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen los números primos.
Demostró la divergencia de la serie
, y en 1747 demostró que todos los números perfectos
pares son de la forma 2p-1(2p - 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existen
números perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.
A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando n tiende a infinito,
el número de primos menores o iguales que n es asintótico a
, donde ln(n) es el logaritmo natural de n. Las
ideas que Bernhard Riemann plasmó en un trabajo de 1859 sobre la función zeta, describieron el camino que
conduciría a la demostración del teorema de los números primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada uno por
separado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.
Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, al menos no si el número es
relativamente grande.
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Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizando completamente
el número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer,
desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el test de Pépin para los números de Fermat
(1877). El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamente
factorizado se denomina test de Lucas.
Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1.
Ejemplos de de estos algoritmos son el test de Proth (desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pocklington (1914).
En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raíz
cuadrada de p. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLS de primalidad
que sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. El mejor método conocido de esta clase es el
test de Konyagin y Pomerance del año 1997 que requiere que dicho producto sea mayor que p3/10.[7] [8]
A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número es
primo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunque
son mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT-CL (desarrollado
en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan
los factores de pm-1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuya primalidad se desea verificar, el
test de primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L.
Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente si
el número es primo o no. El desarrollo más reciente es el test de primalidad AKS (2002) que si bien su complejidad
es polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.
Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la matemática
pura.[9] [10] Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los números
primos formaban la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo RSA.
Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de ordenadores. La
búsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. En
los últimos años han ganado popularidad proyectos de computación distribuida tales como el GIMPS, mientras los
matemáticos siguen investigando las propiedades de los números primos.
Primalidad del número 1
La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención. Ambas posturas
tienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría lo
consideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un número
primo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lista de Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el
10.006.721, reimpreso hasta el año 1956[11] empezaba con el 1 como primer número primo.[12]
Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar a 1 en la lista de los números primos. Esta
convención, por ejemplo, permite una formulación muy económica del teorema fundamental de la aritmética: «todo
número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden».[13] [14] Además,
los números primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1, tales como la relación del número con el
valor correspondiente de la función φ de Euler o la función suma de divisores.[15]
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Número primo
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Propiedades de los números primos
Teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número
natural tiene una representación única como producto de factores
primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias
veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.
Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los
que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede
escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier
otra factorización del 23.244 como producto de números primos será
idéntica excepto por el orden de los factores.
La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1
del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número
primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.
Esta ilustración muestra que el 11 es un número
primo, pero el 12 no lo es.
A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en
matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más
números. Así,
• El mínimo común múltiplo de dos o más números es el número natural más pequeño que es múltiplo de todos
ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no
comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.
• El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número natural que divide a todos ellos. Es igual al
producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de
10 y 12 es 2.
• Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir,
si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea
múltiplo de él mismo.
Otras propiedades
• En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en
cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es
coprima con la base.
• De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1.
Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.
• Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor
de a o de b.
• Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisible
por p.
• Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1
o un divisor de p − 1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en
base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.
• Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n.
Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible por n.
• La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.
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• Teoremas de Sylow: Si G es un grupo y pn es la mayor potencia del número primo p que divide el orden de G,
entonces G tiene un subgrupo de orden pn.
• Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G
contiene un elemento de orden p.
• La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números
primos en el sistema decimal, es un número irracional.
• El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuación
meromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:
En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular,
obteniéndose diversos valores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son:
(Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de números
primos).
(Correspondiente al problema de Basilea).
En general
es un número racional cuando n es un número entero positivo par.
• El anillo
es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.
• Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre
si y sólo si p es primo.
• Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie Tn(x),
dividido entre x, es irreducible en
. Además, Tn(x) ≡ xn si y sólo si n es primo.
Números primos y funciones aritméticas
Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales,
desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son
aquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene
.
Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enteros
positivos menores y coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian respectivamente el número de
divisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de números primos es
,
,
.
Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que
toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural n de factorización
se tiene que
con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los números primos
que dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, para
conocer el valor de la función φ sobre n=450=2·32·52 basta con calcular
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.
Características del conjunto de los números primos
Infinitud de los números primos
Véase también: Infinitud de los números primos
Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX
de su obra Elementos[16] Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto
arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno,
. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la
lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto
original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es
alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia
, pero ningún
número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La
consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen
a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.
Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.
Si
se
toma
como
conjunto
el
de
los
n
primeros
números
primos,
entonces
, donde pn# es lo que se llama primorial de pn. Un número primo
de la forma pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puede
elaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primos
menos uno, el lugar del producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primo
primorial a un número primo de la forma pn# ± 1.
No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todos
los factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509
Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas de
las matemáticas tales como al álgebra conmutativa y la topología.[17] Algunas de estas demostraciones se basan en el
uso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo
que se crea una biyección entre los términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.
Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídea
de la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeño
de uno más el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto
que cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta
última sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo que
se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será un
conjunto infinito cuyos términos son todos primos.
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Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos
Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por
Euler en el siglo XVIII. Establece que la serie
es divergente. Uno de los teoremas de
Mertens concreta más, estableciendo que
[18]
donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores de
C y n0 no están especificados.[19]
Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:
En toda progresión aritmética an = a + n·q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí, existen infinitos términos que son
primos.
El postulado de Bertrand enuncia así:
Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n- 2.
Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempre
existe un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión geométrica de primer término
entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un número
primo.
Frecuencia de los números primos
Véase también: Teorema de los números primos
10
4
−0,3
2,2
2,500
102
25
3,3
5,1
4,000
103
168
23
10
5,952
104
1.229
143
17
8,137
105
9.592
906
38 10,425
106
78.498
6.116
130 12,740
107
664.579
44.158
339 15,047
108
5.761.455
332.774
754 17,357
109
50.847.534
2.592.592
1.701 19,667
1010 455.052.511
20.758.029
3.104 21,975
...
...
...
...
...
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Una vez demostrado la infinitud de los
números primos, cabe preguntarse cómo se
distribuyen los primos entre los números
naturales, es decir, cuán frecuentes son y
dónde se espera encontrar el n-ésimo
número primo. Este estudio lo iniciaron
Gauss y Legendre de forma independiente a
finales del siglo XVIII, para el cual
introdujeron la función enumerativa de los
números primos π(n), y conjeturaron que su
valor fuese aproximadamente
Comparación entre las funciones π(n) (azul), n / ln n (verde) y Li(n) (rojo); se
puede ver que la aproximación de π(n) con Li(n) es mejor que la que hay con
.[20]
El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre
1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dos
constantes A y B tales que
para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de aquellas expresiones, éste
debía ser 1.
Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usando
métodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por Bernhard
Riemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo métodos
elementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente,
se conoce el teorema como teorema de los números primos.
El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral:
.
En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando
de esta forma es
para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años.
Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación,
más precisa:[21]
Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo, queda bien
aproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor que este valor.
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Diferencia entre dos primos consecutivos
Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primos
consecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que
2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dos
números primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por los
números 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre
tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los
primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).
Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número natural
n, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Los
números
(n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1
son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión,
que comprende n enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores
corresponden a:
6!+2=722=2·361
6!+3=723=3·241
6!+4=724=4·181
6!+5=725=5·145
6!+6=726=6·121
El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.[22] De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en n es
generalmente mucho menor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separados
de ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320.
La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos[23] ha sido profusamente estudiada en matemáticas, y
alrededor de este concepto se han establecido muchas conjeturas que permanecen sin resolver.
Conclusión
El modelado de la distribución de los números primos es un tema de
investigación recurrente entre los teóricos de números. La primalidad
de un número concreto es (hasta ahora) impredecible a pesar de que
existen leyes, como el teorema de los números primos y el postulado
de Bertrand, que gobiernan su distribución a gran escala. Leonhard
Euler comentó:
Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar
algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos
para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará.[24]
En una conferencia de 1975, Don Zagier comentó:
La distribución de todos los números primos
comprendidos entre 1 y 76.800, de izquierda a
derecha y de arriba abajo. Cada pixel representa
un número. Los píxeles negros representan
números primos; los blancos representan números
no primos.
Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que
espero convencerles de forma tan incontestable que quedarán
permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a
pesar de su definición simple y del papel que desempeñan como
ladrillos
con
los
que
se
construyen
los
números
naturales,
los
números
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primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no
parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede
predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más
asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos
muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su
comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi
militar.[25]
Encontrar números primos
Tests de primalidad
Imagen con 2310 columnas que conserva
múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 en las columnas
respectivas. Como cabe esperar, los números
primos caerán en columnas concretas si los
números están ordenados de izquierda a derecha y
el ancho es un múltiplo de un número primo. Sin
embargo, los números primos también quedan
distribuidos de manera ordenada en
construcciones espirales como la espiral de Ulam,
ya que tienden a concentrarse en algunas
diagonales concretas y no en otras.
Véase también: Test de primalidad
La criba de Eratóstenes es una manera
sencilla de hallar todos los números primos
menores o iguales que un número dado. Se
basa en confeccionar una lista de todos los
números naturales desde el 2 hasta ese
número y tachar repetidamente los múltiplos
de los números primos ya descubiertos. La
criba de Atkin, más moderna, tiene una
mayor complejidad, pero si se optimiza
apropiadamente también es más rápida.
También existe una reciente criba de
Sundaram que genera únicamente números
compuestos, siendo los primos los números
faltantes.
En la práctica, lo que se desea es determinar
La criba de Eratóstenes fue concebida por Eratóstenes de Cirene, un matemático
si un número dado es primo sin tener que
griego del siglo III a. C. Es un algoritmo sencillo que permite encontrar todos los
confeccionar una lista de números primos.
números primos menores o iguales que un número dado.
Un método para determinar la primalidad de
un número es la división por tentativa, que
consiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Si
alguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado n
menor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el
siguiente número primo, 11, ya es mayor que √120. Es el test de primalidad más sencillo, y rápidamente pierde su
utilidad a la hora de comprobar la primalidad de números grandes, ya que el número de factores posibles crece
demasiado rápido a medida que crece el número potencialmente primo.
En efecto, el número de números primos menores que n es aproximadamente
.
De esta forma, para determinar la primalidad de n, el mayor factor primo que se necesita no es mayor que √n,
dejando el número de candidatos a factor primo en cerca de
.
Número primo
Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de n, pero, como los n grandes son de interés, el número de
candidatos también se hace grande: por ejemplo, para n = 1020 se tienen 450 millones de candidatos.
Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad determinísticos que se basan en propiedades que caracterizan a
los números primos, pero su utilidad computacional depende mucho del test usado. Por ejemplo, se podría emplear el
teorema de Wilson para calcular la primalidad de un número, pero tiene el inconveniente de requerir el cálculo de un
factorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se manejan números grandes. Aquí entre en juego
el tiempo de ejecución del algoritmo empleado, que se expresa en la notación de Landau. Para poder determinar la
primalidad de números cada vez más grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algoritmos cuyo tiempo de
ejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que se pueda expresar como un polinomio. Si bien el test
de primalidad AKS cumple con esta condición, para el rango de números que se usa en la práctica este algoritmo es
extremadamente lento.
Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una alta probabilidad (aunque no segura) de
ser cierta. Se puede comprobar rápidamente la primalidad de un número relativamente grande mediante tests de
primalidad probabilísticos. Estos tests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" e introducirlo en una
fórmula junto con el número potencialmente primo n. Después de varias iteraciones, se resuelve que n es
"definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser primos o bien
pseudoprimos (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: puede
haber números compuestos que el test considere "probablemente primos" independientemente del testigo utilizado.
Esos números reciben el nombre de pseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, los números de Carmichael
son números compuestos, pero el test de Fermat los evalúa como probablemente primos. Sin embargo, los tests
probabilísticos más utilizados, como el test de Miller-Rabin o el obsoleto test de Solovay-Strassen, superado por el
anterior, no tienen este inconveniente, aun siendo igualmente tests probabilísticos.
Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo de
ejecución si se verifican algunas hipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica la hipótesis generalizada de
Riemann, se puede emplear una versión determinística del test de Miller-Rabin, y el test de primalidad por curvas
elípticas podría mejorar notablemente su tiempo de ejecución si se verificaran algunas hipótesis de teoría analítica de
números.
Algoritmos de factorización
Un algoritmo de factorización es un algoritmo que separa uno a uno los factores primos de un número. Los
algoritmos de factorización pueden funcionar también a modo de tests de primalidad, pero en general tienen un
tiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se puede modificar el algoritmo de división por tentativa de
forma que no se detenga cuando se obtenga una división exacta, sino que siga realizando nuevas divisiones, y no
sobre el número original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos más
antiguos que se conocen son el método de Fermat, que se basa en las diferencias entre cuadrados y que es
especialmente eficaz cuando n es el producto de dos números primos próximos entre sí, y el método de Euler, que se
basa en la representación de n como suma de dos cuadrados de dos formas distintas.
Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como las fracciones
continuas o las curvas elípticas, aunque algunos son mejoras de métodos anteriores (la criba cuadrática, por ejemplo,
se basa en una mejora del método de Fermat y posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de
cifras de n). Otros, como el método rho de Pollard, son probabilísticos, y no garantizan hallar los divisores de un
número compuesto.
Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el general number field sieve, que también
posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n.[26] Se ha propuesto un algoritmo
cuyo tiempo de ejecución es polinómico sobre el número de cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere ser
ejecutado en un ordenador cuántico, ya que su simulación en un ordenador normal requiere un tiempo exponencial.
11
Número primo
12
No se conocen algoritmos para factorizar en una computadora tradicional en tiempo polinómico y tampoco se
demostró que esto sea imposible.
Fórmulas que sólo generan números primos
Véase también: Fórmula de los números primos
A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El nivel más alto de
exigencia para una fórmula así sería que asociara a cada número natural n el n-ésimo número primo. De forma más
indulgente, se puede pedir una función f que asocie a cada número natural n un número primo de tal forma que cada
uno de los valores tomados sólo aparezca una vez.
Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.[27] Por ejemplo, el teorema de Wilson asegura que
p es un número primo si y sólo si (p-1)!≡-1 (mod p). Otro ejemplo: la función f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) genera
todos los números primos, sólo los números primos, y sólo el valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambas
fórmulas se basan en el cálculo de un factorial, lo que las hace computacionalmente inviables.
En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas. Cabe subrayar que
ningún polinomio, aun en varias variables, toma sólo valores primos.[28] Por ejemplo, el polinomio en una variable
f(n) = n² − n + 41 devuelve valores primos para n = 0,…, 40, 43, pero f(41) y f(42) son compuestos. Si el término
constante vale cero, entonces el polinomio es múltiplo de n, por lo que el polinomio es compuesto para valores
compuestos de n. En caso contrario, si c es el término constante, entonces f(cn) es múltiplo de c, por lo que si el
polinomio no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos.
Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables recorren los números
naturales) son precisamente los números primos. Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada y
Wiens en 1976:[28]
Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya que, aunque los
valores positivos que toma son todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando se
hacen variar las variables a a z de 0 a infinito.
Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a partir del teorema
de Mills, que indica que existe una constante θ tal que
es siempre un número primo, donde
es la función piso.[29] Todavía no se conoce ninguna fórmula para calcular
la constante de Mills, y las aproximaciones que se emplean en la actualidad se basa en la sucesión de los así
llamados números primos de Mills (los números primos generados mediante esta fórmula), que no pueden ser
obtenidos rigurosamente, sino sólo de manera probabilística, suponiendo cierta la hipótesis de Riemann.
Clases de números primos
De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar,
sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores que
van tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los
números primos, que suelen recibir un nombre colectivo.
Primos primoriales y primos factoriales
Véanse también: Número primo primorial y número primo factorial
Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de los
números primos, son los de la forma p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forma
Número primo
13
n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:
n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …[30]
n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …[31]
Números primos de Fermat
Véase también: Número de Fermat
Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonos
regulares con regla y compás, son los números de la forma
, con n natural. Los únicos números primos de Fermat
que se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio
Fermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores
de n entre 5 y 32 estos números son compuestos.[32]
Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyo
tiempo de ejecución es polinómico: el test de Pépin. Sin embargo, los
propios números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo se lo ha
podido aplicar para valores de n pequeños. En 1999 se lo aplicó para n
= 24. Para determinar el carácter de otros números de Fermat mayores
se utiliza el método de divisiones sucesivas y de esa manera a fecha de
junio de 2009 se conocen 241 números de Fermat compuestos, aunque
en la mayoría de los casos se desconozca su factorización completa.[32]
Construcción de un pentágono regular. 5 es un
número primo de Fermat.
Números primos de Mersenne
Véase también: Número primo de Mersenne
Los números de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, donde p es primo.[33] Los mayores números primos
conocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer,
para determinar si un número de Mersenne es primo o no.
Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M43.112.609 = 243.112.609 - 1, que tiene 12.978.189 cifras en el
sistema decimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento se
anunció el 23 de agosto de 2008 gracias al proyecto de computación distribuida «Great Internet Mersenne Prime
Search» (GIMPS). Desde entonces, se han descubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son menores
que el 45º.[34] [35]
Otras clases de números primos
Existen literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número primo para referirse a un
subconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo, los números primos pitagóricos son los que se
pueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de otra forma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre
4 es 1. Otro ejemplo es el de los números primos de Wieferich, que son aquellos números primos p tales que p2
divide a 2p-1 - 1.
Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:
• Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos.
• Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2p + 1 también es primo. Una
sucesión de números p1,p2,p3,··· ,pn todos ellos primos, tales que pi+1=2pi+1 para todo i ∈ {1,2,···,n-1 }, se
denomina cadena (completa) de Cunningham de primera especie, y cumple por definición que cada uno de los
términos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo n natural existen
Número primo
14
infinitas cadenas de Cunningham de longitud n,[36] aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado prueba de que
dicha afirmación sea cierta.
• Número primo de Wagstaff: p lo es si
, donde q es otro número primo.[37] [38]
También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de numeración empleada
o de la forma de escribir los dígitos, y no de una fórmula matemática. Es el caso de los números somirp (primos al
revés), que son aquellos números primos tales que el número obtenido al invertir el orden de sus cifras también es
primo. También es el caso de los números primos repunit, que son aquellos números primos que son concatenación
de unos. Si, en lugar de considerarse el sistema de numeración decimal se considera el binario, se obtiene otro
conjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de los números primos de Mersenne.
Finalmente, los números primos triádicos son aquellos números que son primos, capicúas y simétricos respecto de
una recta horizontal.
El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa que se conozca
algún número primo que sea de esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el momento ningún número primo de
Wall-Sun-Sun, pero su relevancia radica en que en 1992, antes de la demostración de Wiles del último teorema de
Fermat, se descubrió que la falsedad del teorema para un número primo p dado implicaba que p era un número primo
de Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números primos de esta clase fuera también la
búsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.[39]
Conjeturas
Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, y
una de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como una
conjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de las
matemáticas.
Hipótesis de Riemann
Véase también: Hipótesis de Riemann
Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha, sigue sin
resolverse, es necesario entender la función zeta de Riemann. Sea un número complejo con parte real mayor que
1. Entonces,
La segunda igualdad es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética, y muestra que la función zeta
está íntimamente relacionada con los números primos.
Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores s para los cuales ζ(s) = 0: los triviales, que son s=-2,
s=-4, s=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los no triviales, que son aquellos ceros que no se encuentran en el eje
real. Lo que indica la hipótesis de Riemann es que la parte real de todos los ceros no triviales es igual a 1/2.
La veracidad de la hipótesis implica una profunda conexión con los números primos, en esencia, en el caso de
verificarse, dice que los números primos están distribuidos de la forma más regular posible. Desde un punto de vista
«físico», dice grosso modo que las irregularidades en la distribución de los números primos sólo proceden de ruido
aleatorio. Desde un punto de vista matemático, dice que la distribución asintótica de los números primos (según el
teorema de los números primos, la proporción de primos menores que n es
) también es cierta para intervalos
mucho menores, con un error de aproximadamente la raíz cuadrada de n (para intervalos próximos a n). Está
ampliamente extendido en la comunidad matemática que la hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción más
simple es que los números primos no deberían tener irregularidades significativas en su distribución sin una buena
razón.[40]
Número primo
15
Otras conjeturas
Infinitud de ciertos tipos de números primos
Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hay
infinitos números primos de Fibonacci[41] e infinitos primos de Mersenne, pero sólo un número finito de primos de
Fermat.[42] No se sabe si hay infinitos números primos de Euclides.
Distribución de los números primos
También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los números
primos. Así, la conjetura de los números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, que
son pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de la
anterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en
2n. A su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice que todo número par es la diferencia de dos
números primos.
Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma n2 + 1. Según la conjetura de Brocard, entre los
cuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos. La conjetura de
Legendre establece que, para cada n natural, existe un número primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjetura de
Cramér, cuya veracidad implicaría la de Legendre, dice que
.
Teoría aditiva de números
Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivas de los números con los números primos. Así, la conjetura
de Goldbach dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos, aunque
también existe una versión más débil de la misma conjetura según la cual todo número impar mayor que 5 se puede
escribir como suma de tres números primos.
Los cuatro problemas de Landau
En 1912, Landau estableció en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge una lista de cuatro
de los problemas ya mencionados sobre números primos, que se conocen como los problemas de Landau. Ninguno
de ellos está resuelto hasta la fecha. Se trata de la conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la de
Legendre y la de los primos de la forma n2 + 1.[43]
Número primo
16
Generalización del concepto de número primo
El concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en diversas ramas de
las matemáticas.
Elementos primos en un anillo
Se pueden definir los elementos primos y los elementos
irreducibles en cualquier dominio de integridad.[44] En
cualquier dominio de factorización única, como por
ejemplo, el anillo
de los enteros, el conjunto de
elementos primos equivale al conjunto de los elementos
irreducibles, que en
es {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2,
3, 5, 7, 11, …}.
Considérense por ejemplo los enteros gaussianos
,
es decir, los números complejos de la forma a+bi con a,
b ∈
. Este es un dominio de integración, y sus
elementos primos son los primos gaussianos. Cabe
destacar que el 2 no es un primo gaussiano, porque
admite factorización como producto de los primos
gaussianos (1+i) y (1-i). Sin embargo, el elemento 3 sí
es primo en los enteros gaussianos. En general, los
primos racionales (es decir, los elementos primos del
anillo
) de la forma 4k+3 son primos gaussianos,
pero no lo son aquellos de la forma 4k+1.
Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a
500. Los primos gaussianos son, por definición, los enteros
gaussianos que son primos.
Ideales primos
En teoría de anillos, un ideal I es un subconjunto de un anillo A tal que
• si i, j ∈ I, entonces la suma i + j pertenece a I
• y si x ∈ A, i ∈ I, entonces los productos a × i, i × a pertenecen a I.
Un ideal primo se define entonces como un ideal que cumple también que:
• para cualquier par de elementos a, b del anillo A tales que su producto a × b pertenece a I, entonces, al menos uno
de los dos elementos, a o b, está en I.
• I no es el anillo A entero.
Los ideales primos son una herramienta relevante en álgebra conmutativa, teoría algebraica de números y geometría
algebraica. Los ideales primos del anillo de enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …
Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales primos cuando se
ven sometidos a una extensión de cuerpos. En el ejemplo de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia de un
primo (ya que
y
generan el mismo ideal primo), los ideales primos de la forma
son inertes
(mantienen su primalidad) y los de la forma
pasan a ser producto de dos ideales primos distintos.
Número primo
17
Primos en teoría de la valoración
En teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un cuerpo
sobre
, determinadas funciones de
en
, se consideran las valoraciones
. Cada una de estas valoraciones genera una topología sobre
se dice que dos valoraciones son equivalentes si generan la misma topología. Un primo de
equivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpo
,y
es una clase de
de los números racionales quedan
representados por la función valor absoluto así como por las valoraciones p-ádicas sobre
para cada número
primo p.
Nudos primos
Algunos nudos primos.
En teoría de nudos, un nudo primo es un nudo no trivial que no se puede descomponer en dos nudos más pequeños.
De forma más precisa, se trata de un nudo que no se puede escribir como suma conexa de dos nudos no triviales.
En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogo al teorema fundamental de la aritmética, que
asegura que cada nudo se puede obtener de forma única como suma conexa de nudos primos.[45] Por este motivo, los
nudos primos desempeñan un papel central en la teoría de nudos: una clasificación de los nudos ha sido desde finales
del siglo XIX el tema central de la teoría.
Aplicaciones en la computación
El algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes
(mayores que 10100) que sean primos. La seguridad de este algoritmo radica en que no se conocen maneras rápidas
de factorizar un número grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales.
Números primos en el arte y la literatura
Los números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen se valió
de ellos para crear música no métrica. En obras tales como La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études de
rythme (1949-50) emplea simultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmos
impredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza,
movimientos de duraciones libres y desiguales».[46]
En su novela de ciencia ficción Contact, posteriormente adaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los números primos
podrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manera
informal con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975.[47]
El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un joven
autista muy dotado en matemáticas y cálculo mental, utiliza únicamente los números primos para numerar los
capítulos.
En la novela PopCo de Scarlett Thomas, la abuela de Alice Butler trabaja en la demostración de la hipótesis de
Riemann. El libro ilustra una tabla de los mil primeros números primos.[48]
La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó el premio Strega en 2008.
También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y la
criptografía, por ejemplo, Cube, Sneakers, El amor tiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta última se basa en
la biografía del matemático y premio Nobel John Forbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.[49]
Número primo
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Véase también
•
•
•
•
•
•
Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
Criptografía
Matemática
Espiral de Ulam
Test de primalidad
Tabla de factores primos
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios
Número primo
19
Referencias
[1] (sucesión A000040 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a000040) en OEIS)
[2] Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers P.42 (en francés)
[3] Préhistoire de la géométrie: le problème des sources (http:/ / www. reunion. iufm. fr/ recherche/ irem/ telecharger/ Keller/ Keller3. pdf),
artículo de Olivier Keller (en francés)
[4] « Nacimiento de las matemáticas. (http:/ / almez. pntic. mec. es/ ~agos0000/ Nacimiento. html)». Consultado el 7 de Junio de 2009.
[5] Arnaldez, Roger y otros (1988). Las antiguas ciencias del Oriente.. Barcelona: Ediciones Orbis S.A.. ISBN 84-402-0159-1.
[6] Planetmath.org. « History of prime numbers. (http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ HistoryOfPrimeNumbers. html)». Consultado el 7 de
junio de 2009.
[7] Crandall, Richard (2001). Prime numbers, a computational perspective. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94777-9.
[8] Bernstein, Daniel. « Prime tests (http:/ / cr. yp. to/ primetests. html)». Consultado el 1 de julio de 2009.
[9] Singh, Simon (1998). «Pag. 126». El enigma de Fermat. Editorial Planeta S.A. ISBN 978-84-08-02375-3..
[10] Carles Pina i Estany (2005). « Curiosidades sobre números primos. (http:/ / pinux. info/ primos/ curiosidades. html)». Consultado el 5 de
junio de 2009.
[11] Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994): 36 (en inglés)
[12] Richard K. Guy & John Horton Conway, The Book of Numbers. New York: Springer (1996): 129 - 130 (en inglés)
[13] Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. pp. 118. ISBN 0-19-285361-9. «La exclusión
aparentemente arbitraria del 1 de la definición de número primo … no expresa ningún conocimiento profundo sobre los números: se trata
simplemente de un convenio útil, adoptado para que sólo haya una manera de factorizar cualquier número en sus factores primos»
[14] " Why is the number one not prime? (http:/ / primes. utm. edu/ notes/ faq/ one. html)" (en inglés), accedido el 31-05-2009.
[15] " Arguments for and against the primality of 1 (http:/ / www. geocities. com/ primefan/ Prime1ProCon. html)" (en inglés), accedido el
31-05-2009.
[16] , Euclides (1991-1996). «Vol. II, libro IX, proposición 20.». Elementos. Obra completa, Madrid, Editorial Gredos. ISBN
978-84-249-1463-9.
[17] DiAmOnD (2008). « Demostración topológica de la infinitud de los números primos. (http:/ / gaussianos. com/
demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/ )». Consultado el 5 de junio de 2009.
[18] Véase, por ejemplo, An Introduction to the Theory of Numbers, p. 24. (en inglés)
[19] En general, en la notación de Landau,
indica que
está dominada asintóticamente por
, es decir,
. Para más información, lea notación de Landau.
[20] Con esta expresión se quiere decir que el límite de la razón entre las dos expresiones tiende a 1 cuando n tiende a infinito.
[21] von Koch, Helge (1901). « Sur la distribution des nombres premiers (http:/ / www. springerlink. com/ content/ 077g4j008x57p021/ )».
SpringerLink. Consultado el 6 de junio de 2009.
[22] Nótese que esto no tiene por qué ser verdad en general, por ejemplo, si n es impar, se tiene que n!+(n+1) es divisible entre 2.
[23] (sucesión A001223 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a001223) en OEIS)
[24] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 163 (en inglés)
[25] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 171
[26] Eric W. Weisstein. « Number Field Sieve (http:/ / mathworld. wolfram. com/ NumberFieldSieve. html)» (en inglés). Consultado el 31 de
mayo de 2009.
[27] Introducción del capítulo 3 del libro de Ribenboim The new book of prime number records.
[28] Prime Glossary - Matijasevic's Polynomial (http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ xpage/ MatijasevicPoly. html), accedido el 06-06-2009
[29] W. H. Mills, A prime-representing function (1947) (en inglés)
[30] (sucesión A002982 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a002982) en OEIS)
[31] (sucesión A002981 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a002981) en OEIS)
[32] Keller, Wilfrid (2009). « Fermat factoring status (http:/ / www. prothsearch. net/ fermat. html)». Consultado el 1 de junio de 2009.
[33] DiAmOnD (2008). « Todo número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto (http:/ / gaussianos. com/
todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/ )». Consultado el 7 de junio de 2009.. Por contraposición, se
deduce que, para buscar números primos de Mersenne, basta con buscar entre los números de Mersenne con exponente primo.
[34] DiAmOnD (2008). « ¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! (http:/ / gaussianos. com/ ¡¡tenemos-dos-nuevos-primos-de-mersenne/
)». Consultado el 5 de junio de 2009.
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[36] Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy y Steve Sarasin. « Prime Numbers and the Riemann Hypothesis
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Enlaces externos
• The Prime Pages (http://www.utm.edu/research/primes)
• Sobre el artículo de Manindra Agrawal et al. PRIMES IS IN P, en donde afirman: "We present a deterministic
polynomial-time algorithm that determines whether an input number n is prime or composite" mathmistakes
(http://members.cox.net/mathmistakes/primes.htm)
• Algoritmos eficientes para calcular números primos, por Steve Litt (http://www.troubleshooters.com/codecorn/
primenumbers/primenumbers.htm)
• ¿Es este número primo? (http://www.mste.uiuc.edu/html.f/resource/prime.html)
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Fuentes y contribuyentes del artículo
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