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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA. FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN. MAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN Y GESTIÓN DEL RECURSO HUMANO. CURSO MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES. INVESTIGACION: TEORIA DE PROBABILIDADES. FECHA: 15 MARZO DEL 2105. ALUMNOS: JORGE CORTEZ 2728-07-11883 BLADEMIR MENDEZ. 2728-96-2594 Introducción. Esta investigación presenta brevemente los principios de la teoría de la probabilidad. Dicha teoría representa una de las herramientas matemáticas más importantes para la física, en especial para la teoría de la Mecánica Cuántica, así como en los desarrollos de la Física Estadística. La teoría de la probabilidad se presenta en forma de apuntes esquemáticos y sin demostraciones. El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos. Teoría de probabilidades. La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Muchos fenómenos naturales son aleatorios, pero existen algunos como el lanzamiento de un dado, donde el fenómeno no se repite en las mismas condiciones, debido a que la características del material hace que no exista una simetría del mismo, así las repeticiones no garantizan una probabilidad definida. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí. (wikipedia, 2015) Concepto de espacio muestral, evento y probabilidad de un evento. En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de σ-álgebra,1 llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}. (Castañeda, 2010) Eventos mutuamente excluyentes. Regla de adición Un evento mutuamente excluyente es uno en el que la aceptación de una alternativa automáticamente excluye otras posibles alternativas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos. Leyes. El campo de las leyes es muy consciente de los eventos mutuamente excluyentes. Si bien esto es verdad en muchos crímenes, un escenario común sería recibir una multa por exceso de velocidad. La persona excedió el límite de velocidad o no. Este es un ejemplo simple, pero por lo general todo el fundamento de culpable o inocente se basa en un evento mutuamente excluyente, y por eso la importancia de un testigo. Si puede probarse que el acusado estaba haciendo algo más a la hora del crimen, no puede ser el culpable (en muchos casos). Regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad: El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de conjuntos Ejemplos ilustrativos 1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción. Solución: A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo. (Buenas Tareas) Eventos independientes. Regla de multiplicación. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. La regla de la multiplicación para eventos independientes: P= Pa x Pb Ejemplos: Calcula la probabilidad de obtener un numero par aL tirar un dado y de obtener un sol al tirar una moneda. Pa=(1,2,3,4,5,6) Pb=Moneda(águila)(sol) Pa=3/6 (2,4,6) Pb=1/2 La probabilidad de Yoloh de pasar matemáticas es de 3/4 mientras que la probabilidad de Daniel es de 2/3 ¿Cual es la probabilidad de que el examen sea aprobado por uno de los dos? Y=3/4 PY=1/1 - ¾ D=2/3 PY=4 - 3 / 4 = ¼ PD= 1/1 - 2/3= 3 - 2 / 3 =1/3 P=PY x PD =1/4 - 1/3 =1/12 P=1/1 -1/12= 11/12=0.91 (Blog de matematicas, 2011) Eventos dependientes. Regla probabilidad condicional. Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar pruebas complementarias ilustra este principio. La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad. Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral. Ejemplo: Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas vasculares. Un estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los individuos con placas de ateroma están expuestos a muerte súbita por desprendimiento de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma? A1 = {problemas vasculares}; A2 = {placas de ateroma}; A3 = {expuesto a muerte súbita por....} p (A1) = 0,001; p (A2|A1) = 0,20; p (A3|A1 Ç A2) = 0,1 p (A1 Ç A2 Ç A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002 (Salud Madrid, 2015) Probabilidades conjuntas y marginales. PROBABILIDAD CONJUNTA Y MARGINAL Definición de Probabilidad Conjunta: Cuando dos o más variables tienen comportamientos conjuntos lo cual es igual a Definición de Probabilidad Marginal: Comportamiento de una variable sin considerar otra. Para la variable aleatoria Y: lo cual es igual a Similarmente se hace para la variable aleatoria X probabilidad Conjunta a partir de las probabilidades Marginales función de distribución de probabilidad: Buenas Tareas. (25 de 04 de 2014). PROBABILIDAD CONJUNTA: La que da la probabilidad de la intersección de dos eventos. La tabla de probabilidad conjunta proporciona un resumen de la información de probabilidad. PROBABILIDAD MARGINAL: Se ubica a los márgenes de la tabla de probabilidad conjunta y brinda la probabilidad de cada evento por separado. P (B|H) = 0.24/0.80 = 0.30 P (B|M)= 0.03/0.20 = 0.15 Diagrama de árbol para cálculo de probabilidades Es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades. EJEMPLO: En una bolsa se han colocado 4 pelotas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una pelota de la primera bolsa y sin verla, se mete en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que la pelota que se saque de esta última sea negra? (hispavista, 2015) Diagrama de Árbol de Probabilidades. Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol. El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad. Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación. En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1. Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno. Ejemplos Una universidad está formada por tres facultades: La 1ª con el 50% de estudiantes. La 2ª con el 25% de estudiantes. La 3ª con el 25% de estudiantes. Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad. ¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad? ¿Probabilidad de encontrar un alumno varón? pero también podría ser lo contrario. (wikipedia, 2015) Teorema de bayes. En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados. Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales expresión: . Entonces, la probabilidad viene dada por la donde: Son las probabilidades a priori. es la probabilidad de son las probabilidades a posteriori en la hipótesis . Aplicaciones: El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial. . (wikipedia, 2015) Bibliografía. Blog de matematicas. (09 de 06 de 2011). Recuperado el 11 de 03 de 2015, de http://mateconangelesuic.blogspot.com/2011/06/eventos-independientesregla-de-la.html Buenas Tareas. (25 de 04 de 2014). Recuperado el 09 de 03 de 2015, de http://www.buenastareas.com/ensayos/Probabilidad-Conjunta-yMarginal/651883.html hispavista. (09 de 03 de 2015). Recuperado el 09 de 03 de 2015, de http://metodosunoydos.galeon.com/enlaces2221651.html Salud Madrid. (2015). Recuperado el 11 de 03 de 2015, de http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_15.html wikipedia. (25 de 02 de 2015). Recuperado el 10 de 03 de 2015, de http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad wikipedia. (10 de 02 de 2015). Recuperado el 09 de 03 de 2015, de http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_%C3%A1rbol wikipedia. (14 de 01 de 2015). Recuperado el 09 de 03 de 2015, de http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes Buenas Tareas. (s.f.). Recuperado el 10 de 03 de 2015, de http://www.buenastareas.com/ensayos/Regla-General-De-La-AdiciónDe/5662260.html Castañeda, L. B. (2010). wikipedia. Recuperado el 10 de 03 de 2015, de http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_muestral