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51MECÁNICA
J.W.L. S. 51
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Introducción.
La generación de energía eléctrica a través del funcionamiento de las turbinas Pelton
y de otras se basa primordialmente en los principios de impulso y la cantidad de
movimiento. La forma en que están construidas sus álabes o palas permiten un máximo
aprovechamiento de la energía cinética del fluido.
El movimiento de un cohete se basa en el principio de la conservación de la cantidad
de movimiento, éste al expulsar los gases tiene un cambio continuo en su velocidad que
es proporcional a la masa de los gases expulsados y a la velocidad de los gases. Un
cohete puede cambiar su velocidad en el vacío interplanetario expulsando gases. El
movimiento de fluidos y las fuerzas que se originan en los cambios de velocidad es
estudiado por los conceptos de impulso y cantidad de movimiento. Los cambios en la
dirección de un fluido producen grandes fuerzas en las tuberías forzadas de una turbina.
Para evaluar la magnitud de éstas fuerzas se utiliza el principio del impulso y la
cantidad de movimiento.
El movimiento de cualquier objeto inicialmente en reposo, requiere siempre de la
aplicación de fuerzas durante un intervalo de tiempo delimitado. Son éstas fuerzas
impulsivas las responsables del movimiento de una máquina o de las piezas móviles de
un mecanismo.
En las colisiones se generan fuerzas repulsivas de magnitudes enormes. Cuando se
alargan los tiempos de contacto éstas fuerzas disminuyen.
En las colisiones el principio de la conservación de la cantidad de movimiento es
primordial para el análisis.
Existen colisiones en las cuales se conserva la energía cinética, en estos casos
llamados colisiones elásticas, la energía cinética se conserva al igual que la cantidad de
movimiento.
En las colisiones llamadas inelásticas las deformaciones en los objetos son
permanentes, la energía cinética de los objetos en colisión se reduce.
El concepto de impulso


dv
De la segunda ley de Newton  F  m
, se puede derivar una expresión diferencial
dt

 Fdt  m dv , al integrar esta expresión , al término de la izquierda
t2

  Fdt

se le denomina impulso, y utilizaremos el símbolo J , para designarlo.
t1
Si las fuerzas que se aplican durante un cierto intervalo de tiempo son constantes, el

impulso se calcula como  Ft .
Siempre que se aplica una fuerza a un objeto, ésta fuerza puede producir un impulso.
Todas las fuerzas son impulsivas, es decir todas pueden producir impulsos. Pero en
ocasiones la fuerza gravitacional no se considera como una fuerza impulsiva, sobre todo
cuando en una colisión las fuerzas que actúan son considerablemente mayores que la
fuerza gravitacional.
51
52MECÁNICA
J.W.L. S. 52
El concepto de cantidad de movimiento


A la integral del término derecho de la ecuación diferencial  Fdt  m dv , se le conoce
como el cambio en la cantidad de movimiento.
La cantidad de movimiento ( p ) de una partícula es el producto de la masa por su


velocidad, p  mv .
Una fuerza horizontal como la de la figura 69, produce un cambio en la cantidad de
movimiento. Este cambio no es instantáneo, sino que requiere de un intervalo de
tiempo. En el desarrollo anterior de la página 50, vimos que el carro de 150.0 kg parte
desde el reposo y que alcanzaba una rapidez de 4.9 m/s en un intervalo de tiempo de

2.45 s, aplicando el concepto de cantidad de movimiento, p1 es la cantidad de


movimiento inicial, p1  mv1 , como el carro se encuentra inicialmente en reposo
m
kg m


 
î
p1  0 y p 2  mv 2  150.0 kg (4.9 ) î  735.0
s
s
kg m
 

î
El cambio en la cantidad de movimiento es p  p 2  p1  735.0
s
Teorema del impulso y la cantidad de movimiento


A partir de la segunda ley de Newton, integrando la forma diferencial  Fdt  m dv
 

observamos que J  p2  p1 , este resultado es conocido como el teorema del impulso y
la cantidad de movimiento, que dice que el cambio en la cantidad de movimiento de un
cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa
sobre el cuerpo durante ese intervalo.
 
Para el desarrollo de la página anterior J  Ft  300.0 N î(2.45 s)  735.0 N s î , es
kg m
 

î
exactamente el cambio en la cantidad de movimiento p  p 2  p1  735.0
s
En el choque de una pelota de tenis con la raqueta, de una pelota de base ball con el
bate, o al disparar un arma de fuego; los conceptos de impulso y cambio en la cantidad
de movimiento son muy importantes.
Para cambiar la cantidad de movimiento de un objeto, se requiere de un impulso. Por
ejemplo cuando una pelota choca con una raqueta, en una fracción de segundo, la
cantidad de movimiento se reduce abruptamente hasta cero, y luego aumenta en la
dirección opuesta a la inicial. Al disparar un arma de fuego la cantidad de movimiento
de la bala aumenta grandemente en una fracción de segundo. En cambio la cantidad de
movimiento de un satélite, cambia continuamente de manera paulatina.
Analicemos algunos casos.
1.- Una bala de 5.0 g es disparada horizontalmente y sale del cañón de un rifle con una
rapidez de 240.0 m/s , ¿Cuál es el impulso aplicado a la bala?
 
Como inicialmente la bala se encuentra en reposo p1  0 , luego la bala al salir del
m
kg m


î
cañón tiene una cantidad de movimiento p2  mv2  0.005 kg (240 ) î  1.20
s
s
Como el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento
52
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J.W.L. S. 53
 
kg m
kg m
kg m

J  p2  p1  1.20
iˆ  0.0
iˆ  1.20
iˆ
s
s
s
¿Qué fuerza promedio se aplica sobre la bala si esta tarda aproximadamente 0.003 s en
salir del cañon?



Tomando el impulso como Fpromt  p2  p1
m

 1.20kg iˆ

p2  p1
s  400.0 N iˆ
Fprom 

t
0.003 s
2.- Una persona suelta un balón desde una altura de 1.2 m y el balón rebota hasta una
altura de 0.60 m, ¿qué impulso recibe el balón, si su masa es de 0.70 kg?

La cantidad de movimiento p1 del balón justo antes de chocar con el piso es
m

p1   2 g h m ĵ  - 3.395 kg ĵ
s

La cantidad de movimiento p2 , justo después de chocar con el piso es igual a :
m

p2  2 g h m ĵ  2.40 kg ĵ
s
 
kg m
kg m
kg m

ˆj  (3.395
ˆj )  5.795
ˆj
El impulso será J  p2  p1  2.40
s
s
s
3.- Un bateador golpea una pelota que recibe horizontalmente. La pelota viaja
m
inicialmente con una velocidad de  30.0 î , y justo después de golpearla la pelota
s
m
m
sale con una velocidad de ( 35.0 î  20.2 ĵ ) ¿Qué impulso recibe la pelota, si la
s
s
masa de ésta tiene un valor de 0.50 kg?
m
m


p1  mv1  0.50 kg (-30.0 ) î  - 15.0 kg î
s
s
m
m
m
m


p 2  mv 2  0.50 kg (35.0 î  20.2 ĵ)  17.5 kg î  10.1 kg ĵ
s
s
s
s
como el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento
 
kg m
kg m
kg m
kg m
kg m

ˆj )  (15.0
ˆj
J  p 2  p1  (17.5
iˆ  10.1
iˆ)  32.5
iˆ  10.1
s
s
s
s
s
La magnitud del impulso es de 34.0 kg m/s
53
54MECÁNICA
J.W.L. S. 54
Conservación de la cantidad de movimiento
En algunas situaciones la cantidad de movimiento de una partícula o de un sistema de
 

partículas se mantiene constante. Cuando el impulso J  p2  p1 , es igual a cero, la
cantidad de movimiento se mantiene constante. Por ejemplo, un carrito sin fricción
sobre un plano horizontal, un deslizador sobre un riel de aire horizontal, un objeto sobre
un plano inclinado en el cual la componente tangencial de la fuerza gravitacional es
igual que la fricción, o una bola de boliche en donde la fricción es despreciable, son



casos en donde J    Fdt  0
Figura 82
Nota: En este caso nos interesa analizar el movimiento del carrito, del deslizador, del
objeto sobre el plano inclinado y de la bola de boliche. El plano, el riel, el plano
inclinado y la mesa forman un sistema con cada objeto respectivo y también



J    Fdt  0 , para cada uno de ellos.
Fdt
Fdt
En el caso de sistemas de partículas como el de la
raqueta de tenis y la pelota, en el momento de contacto
se presentan impulsos en direcciones opuestas.
Figura 83
Fdt
Fdt
Al disparar el proyectil de un rifle o pistola
también ocurre que se presentan impulsos en
ambas direcciones.
Nota: Los objetos se dibujan por separado para
mayor claridad, en las figuras 83 y 84, pero los
impulsos en estos casos se dan durante el contacto.
Figura 84
Imagine una pistola con masa de 1.50 kg que dispara un proyectil de 3.0 g con una
rapidez de 200.0 m/s. Antes del disparo, la pistola y el proyectil se
 encuentran en

reposo, es decir, para el sistema la cantidad de movimiento p1  0 , luego después del

disparo la cantidad de movimiento para la bala es pbala  0.003 kg (200.0
m
) î
s
m
m


pbala  0.60 kg î , y por lo tanto p pistola  0.60 kg î , de tal forma que
s
s




p2  pbala  p pistola  0


De aquí sabemos que p pistola  m pistola v pistola  0.60 kg
54
m
î , por lo que
s
55MECÁNICA

v pistola 

p pistola
m pistola

J.W.L. S. 55
m
î
s  0.40 m iˆ
1.50 kg
s
 0.60 kg
Colisiones
Cuando dos objetos chocan, durante el contacto también se conserva la cantidad de
movimiento, siempre y cuando durante el intervalo de tiempo de la colisión, no actúen
fuerzas externas a las partículas en colisión.
Por ejemplo en el caso del bateador de la página anterior, durante la colisión además del
impulso recibido por el bate, sobre la pelota, también actúa la fuerza gravitacional.
Si el contacto entre el bate y la pelota durara 0.004 s, que es un tiempo relativamente
común. El impulso proporcionado por la fuerza gravitacional sería:
m
m
 mg Δt ĵ  0.5 kg ( 9.8 2 )( 0.004s ) ĵ  0.0196 kg ĵ , que resulta relativamente
s
s
m
pequeña comparada con el valor de 10.1 kg ĵ
s
Un caso simple de una colisión es cuando dos partículas chocan y se mueven juntas
después de la colisión. Veamos el siguiente ejemplo.
Dos esferas de la misma dimensión pero de masas diferentes chocan en una colisión
central. Justo antes de la colisión, la esfera A se mueve hacia la derecha con una rapidez
de 5.0 m/s y la esfera B se encuentra en reposo. Justo después de la colisión los dos
objetos se mueven juntos.
¿Cuál es la rapidez con la que se mueven las dos esferas, si la masa de A es de 4.0 kg y
la masa de B es de 6.0 kg?


Antes de la colisión p1  m A v A , ya que la esfera B está en reposo.
Después de la colisión tanto A como B se deben mover con la misma velocidad por lo



que p2  (m A  m B )v S , donde v S es la velocidad del sistema
Igualando la cantidad de movimiento antes y después de la colisión


m A v A  (m A  m B )vS
m
4.0 kg (5.0 ) î

mA vA
m

s
vS 

 2.0 î
(m A  m B ) 4.0 kg  6.0 kg
s
esto significa que después de la colisión las dos partículas se mueven juntas con una
rapidez de 2.0 m/s
Si analizamos la energía antes y después de la colisión.
E1 
1
1
m
m A v 2A  (4.0 kg)(5.0 ) 2  50.0 J
2
2
s
1
1
m
E 2  (m A  m B ) v S2  (4.0 kg  6.0kg)(2.0 ) 2  20.0 J
2
2
s
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56MECÁNICA
J.W.L. S. 56
Observamos que existe un cambio de energía mecánica consistente en 30.0 J, esta
energía se traduce en deformaciones permanentes, ruido y aumento en la temperatura.
m

Si las dos partículas A y B después de chocar adquirieran velocidades v A2  1.0 î
s
m

y v B2  4.0 î , es decir no se movieran juntas, sino que A rebota y B se mueve hacia
s
delante con las velocidades antes indicadas, entonces se conservaría la energía
mecánica.
E2 
1
1
1
m
1
m
m A v 2A2  m B v 2B2  (4.0 kg)(1.0 ) 2  (6.0kg)(4.0 ) 2  50.0 J
2
2
2
s
2
s
éste tipo de colisión se conoce como colisión elástica y para calcular las velocidades
después de la colisión, para que se conserve la energía mecánica, se requiere del
siguiente análisis.
De la conservación de energía
1
1
1
1
m A v A2  m B v B2  m A v A2 2  m B v B2 2
2
2
2
2
de la conservación de la cantidad de movimiento




mA v A  mB vB  mAv A2  mB vB 2
Agrupando términos en la ecuación de conservación de energía
m A v A2  m A v A2 2  mB v B2 2  mB v B2
Agrupando términos en la ecuación de conservación de cantidad de movimiento




mAvA  mAvA2  mBvB 2  mBvB
Dando las direcciones para la ecuación de conservación de cantidad de movimiento
(mAv A  mAv A2 )iˆ  (mB vB 2  mB vB )iˆ
Escribiendo en términos de factores la ecuación de energía
m A v A2  m A v A2 2  mB v B2 2  mB v B2
mA (vA  vA2 )(vA  vA2 )  mB (vB 2  vB )(vB 2  vB )
y dividiendo esta ecuación entre
(mAv A  mAv A2 )  (mB vB 2  mB vB )
resulta
(v A  v A2 )  (vB 2  vB )
que coincide con los valores que utilizamos en el ejercicio anterior.
5.0m/s –1.0 m/s = 4.0 m/s +0.0 m/s




Si sustituimos vB 2 de la última ecuación encontramos que vB 2  v A  v A2
sustituyendo en la ecuación de conservación de cantidad de movimiento




mA v A  mB vB  mAv A2  mB vB 2

podemos encontrar v A2



 

mAvA  mBvB  mAvA2  mB (vA  vA2  vB )
agrupando los términos
56

 vB
y
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J.W.L. S. 57






mAvA  mBvB  mBvA  mBvB  mAvA2  mBvA2



mAv A  2mB vB  mB v A

vA2 
mA  mB
para el ejemplo anterior

vA2 
m
m
) î  6.0 kg (5.0 ) î
s
s  1.0 m î
4.0 kg  6.0 kg
s
4.0 kg (5.0

 

vB 2  vA  vA2  vB
m
m
m

vB 2  5.0 iˆ  1.0 iˆ  4.0 iˆ
s
s
s
No siempre que dos partículas después de chocar viajen con distintas velocidades,
se conserva la energía mecánica.
Si para las mismas partículas que estudiamos antes, después de chocar la partícula A
m

tiene una velocidad v A2  2.0 î , entonces para que se cumpla la conservación de
s




la cantidad de movimiento mA v A  mB vB  mAv A2  mB vB 2 ,
m
m
m
4.0kg(5.0 )î  6.0kg(0.0 )î  4.0kg( 2.0 )î



m v  mB v B  m A v A2

s
s
s
vB2  A A

mB
6.0kg
m

v B2  4.67 î
s
Checando ahora la energía justo antes de la colisión y justo después de la colisión
1
1
1
1
mAv A2  mB vB2  mAv A2 2  mB vB2 2
2
2
2
2
1
m 2
1
m
1
m
(4.0kg)(5.0 )  0  (4.0kg)( 2.0 ) 2  (6.0kg)( 4.67 ) 2
2
s
2
s
2
s
50.0 J  8.0 J + 65.33J
Observamos que la energía justo después de la colisión es mayor que la inicial, esto
no es posible, a menos que se proporcione una energía como en el caso de una
explosión.
m

Si por el contrario después de la colisión v A2  0.50 î
s




Por la cantidad de movimiento mA v A  mB vB  mAv A2  mB vB 2 ,
m
m
m
4.0kg(5.0 )î  6.0kg(0.0 )î  4.0kg( 0.50 )î



m v  mB v B  m A v A2

s
s
s
vB2  A A

mB
6.0kg
57
58MECÁNICA
J.W.L. S. 58
m

v B2  3.67 î , y la energía final sería
s
1
m
1
m
(4.0kg)(0.50 ) 2  (6.0kg)(3.67 ) 2  0.50 J  40.33J
2
s
2
s
E2 = 40.83 J , lo que significa que habría una pérdida de energía mecánica igual a
E1-E2 =50.0 J – 40.83 J = 9.17 J
E2 
En las colisiones elásticas la diferencia E1-E2 = 0 (conservación de energía
mecánica)
En las colisiones inelásticas la diferencia E1-E2 > 0 (transformación de energía
mecánica en otro tipo de energía)
En una explosión la diferencia E1-E2 < 0 (transformación de energía de la pólvora
en energía mecánica)
58