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51MECÁNICA J.W.L. S. 51 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Introducción. La generación de energía eléctrica a través del funcionamiento de las turbinas Pelton y de otras se basa primordialmente en los principios de impulso y la cantidad de movimiento. La forma en que están construidas sus álabes o palas permiten un máximo aprovechamiento de la energía cinética del fluido. El movimiento de un cohete se basa en el principio de la conservación de la cantidad de movimiento, éste al expulsar los gases tiene un cambio continuo en su velocidad que es proporcional a la masa de los gases expulsados y a la velocidad de los gases. Un cohete puede cambiar su velocidad en el vacío interplanetario expulsando gases. El movimiento de fluidos y las fuerzas que se originan en los cambios de velocidad es estudiado por los conceptos de impulso y cantidad de movimiento. Los cambios en la dirección de un fluido producen grandes fuerzas en las tuberías forzadas de una turbina. Para evaluar la magnitud de éstas fuerzas se utiliza el principio del impulso y la cantidad de movimiento. El movimiento de cualquier objeto inicialmente en reposo, requiere siempre de la aplicación de fuerzas durante un intervalo de tiempo delimitado. Son éstas fuerzas impulsivas las responsables del movimiento de una máquina o de las piezas móviles de un mecanismo. En las colisiones se generan fuerzas repulsivas de magnitudes enormes. Cuando se alargan los tiempos de contacto éstas fuerzas disminuyen. En las colisiones el principio de la conservación de la cantidad de movimiento es primordial para el análisis. Existen colisiones en las cuales se conserva la energía cinética, en estos casos llamados colisiones elásticas, la energía cinética se conserva al igual que la cantidad de movimiento. En las colisiones llamadas inelásticas las deformaciones en los objetos son permanentes, la energía cinética de los objetos en colisión se reduce. El concepto de impulso dv De la segunda ley de Newton F m , se puede derivar una expresión diferencial dt Fdt m dv , al integrar esta expresión , al término de la izquierda t2 Fdt se le denomina impulso, y utilizaremos el símbolo J , para designarlo. t1 Si las fuerzas que se aplican durante un cierto intervalo de tiempo son constantes, el impulso se calcula como Ft . Siempre que se aplica una fuerza a un objeto, ésta fuerza puede producir un impulso. Todas las fuerzas son impulsivas, es decir todas pueden producir impulsos. Pero en ocasiones la fuerza gravitacional no se considera como una fuerza impulsiva, sobre todo cuando en una colisión las fuerzas que actúan son considerablemente mayores que la fuerza gravitacional. 51 52MECÁNICA J.W.L. S. 52 El concepto de cantidad de movimiento A la integral del término derecho de la ecuación diferencial Fdt m dv , se le conoce como el cambio en la cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento ( p ) de una partícula es el producto de la masa por su velocidad, p mv . Una fuerza horizontal como la de la figura 69, produce un cambio en la cantidad de movimiento. Este cambio no es instantáneo, sino que requiere de un intervalo de tiempo. En el desarrollo anterior de la página 50, vimos que el carro de 150.0 kg parte desde el reposo y que alcanzaba una rapidez de 4.9 m/s en un intervalo de tiempo de 2.45 s, aplicando el concepto de cantidad de movimiento, p1 es la cantidad de movimiento inicial, p1 mv1 , como el carro se encuentra inicialmente en reposo m kg m î p1 0 y p 2 mv 2 150.0 kg (4.9 ) î 735.0 s s kg m î El cambio en la cantidad de movimiento es p p 2 p1 735.0 s Teorema del impulso y la cantidad de movimiento A partir de la segunda ley de Newton, integrando la forma diferencial Fdt m dv observamos que J p2 p1 , este resultado es conocido como el teorema del impulso y la cantidad de movimiento, que dice que el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo durante ese intervalo. Para el desarrollo de la página anterior J Ft 300.0 N î(2.45 s) 735.0 N s î , es kg m î exactamente el cambio en la cantidad de movimiento p p 2 p1 735.0 s En el choque de una pelota de tenis con la raqueta, de una pelota de base ball con el bate, o al disparar un arma de fuego; los conceptos de impulso y cambio en la cantidad de movimiento son muy importantes. Para cambiar la cantidad de movimiento de un objeto, se requiere de un impulso. Por ejemplo cuando una pelota choca con una raqueta, en una fracción de segundo, la cantidad de movimiento se reduce abruptamente hasta cero, y luego aumenta en la dirección opuesta a la inicial. Al disparar un arma de fuego la cantidad de movimiento de la bala aumenta grandemente en una fracción de segundo. En cambio la cantidad de movimiento de un satélite, cambia continuamente de manera paulatina. Analicemos algunos casos. 1.- Una bala de 5.0 g es disparada horizontalmente y sale del cañón de un rifle con una rapidez de 240.0 m/s , ¿Cuál es el impulso aplicado a la bala? Como inicialmente la bala se encuentra en reposo p1 0 , luego la bala al salir del m kg m î cañón tiene una cantidad de movimiento p2 mv2 0.005 kg (240 ) î 1.20 s s Como el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento 52 53MECÁNICA J.W.L. S. 53 kg m kg m kg m J p2 p1 1.20 iˆ 0.0 iˆ 1.20 iˆ s s s ¿Qué fuerza promedio se aplica sobre la bala si esta tarda aproximadamente 0.003 s en salir del cañon? Tomando el impulso como Fpromt p2 p1 m 1.20kg iˆ p2 p1 s 400.0 N iˆ Fprom t 0.003 s 2.- Una persona suelta un balón desde una altura de 1.2 m y el balón rebota hasta una altura de 0.60 m, ¿qué impulso recibe el balón, si su masa es de 0.70 kg? La cantidad de movimiento p1 del balón justo antes de chocar con el piso es m p1 2 g h m ĵ - 3.395 kg ĵ s La cantidad de movimiento p2 , justo después de chocar con el piso es igual a : m p2 2 g h m ĵ 2.40 kg ĵ s kg m kg m kg m ˆj (3.395 ˆj ) 5.795 ˆj El impulso será J p2 p1 2.40 s s s 3.- Un bateador golpea una pelota que recibe horizontalmente. La pelota viaja m inicialmente con una velocidad de 30.0 î , y justo después de golpearla la pelota s m m sale con una velocidad de ( 35.0 î 20.2 ĵ ) ¿Qué impulso recibe la pelota, si la s s masa de ésta tiene un valor de 0.50 kg? m m p1 mv1 0.50 kg (-30.0 ) î - 15.0 kg î s s m m m m p 2 mv 2 0.50 kg (35.0 î 20.2 ĵ) 17.5 kg î 10.1 kg ĵ s s s s como el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento kg m kg m kg m kg m kg m ˆj ) (15.0 ˆj J p 2 p1 (17.5 iˆ 10.1 iˆ) 32.5 iˆ 10.1 s s s s s La magnitud del impulso es de 34.0 kg m/s 53 54MECÁNICA J.W.L. S. 54 Conservación de la cantidad de movimiento En algunas situaciones la cantidad de movimiento de una partícula o de un sistema de partículas se mantiene constante. Cuando el impulso J p2 p1 , es igual a cero, la cantidad de movimiento se mantiene constante. Por ejemplo, un carrito sin fricción sobre un plano horizontal, un deslizador sobre un riel de aire horizontal, un objeto sobre un plano inclinado en el cual la componente tangencial de la fuerza gravitacional es igual que la fricción, o una bola de boliche en donde la fricción es despreciable, son casos en donde J Fdt 0 Figura 82 Nota: En este caso nos interesa analizar el movimiento del carrito, del deslizador, del objeto sobre el plano inclinado y de la bola de boliche. El plano, el riel, el plano inclinado y la mesa forman un sistema con cada objeto respectivo y también J Fdt 0 , para cada uno de ellos. Fdt Fdt En el caso de sistemas de partículas como el de la raqueta de tenis y la pelota, en el momento de contacto se presentan impulsos en direcciones opuestas. Figura 83 Fdt Fdt Al disparar el proyectil de un rifle o pistola también ocurre que se presentan impulsos en ambas direcciones. Nota: Los objetos se dibujan por separado para mayor claridad, en las figuras 83 y 84, pero los impulsos en estos casos se dan durante el contacto. Figura 84 Imagine una pistola con masa de 1.50 kg que dispara un proyectil de 3.0 g con una rapidez de 200.0 m/s. Antes del disparo, la pistola y el proyectil se encuentran en reposo, es decir, para el sistema la cantidad de movimiento p1 0 , luego después del disparo la cantidad de movimiento para la bala es pbala 0.003 kg (200.0 m ) î s m m pbala 0.60 kg î , y por lo tanto p pistola 0.60 kg î , de tal forma que s s p2 pbala p pistola 0 De aquí sabemos que p pistola m pistola v pistola 0.60 kg 54 m î , por lo que s 55MECÁNICA v pistola p pistola m pistola J.W.L. S. 55 m î s 0.40 m iˆ 1.50 kg s 0.60 kg Colisiones Cuando dos objetos chocan, durante el contacto también se conserva la cantidad de movimiento, siempre y cuando durante el intervalo de tiempo de la colisión, no actúen fuerzas externas a las partículas en colisión. Por ejemplo en el caso del bateador de la página anterior, durante la colisión además del impulso recibido por el bate, sobre la pelota, también actúa la fuerza gravitacional. Si el contacto entre el bate y la pelota durara 0.004 s, que es un tiempo relativamente común. El impulso proporcionado por la fuerza gravitacional sería: m m mg Δt ĵ 0.5 kg ( 9.8 2 )( 0.004s ) ĵ 0.0196 kg ĵ , que resulta relativamente s s m pequeña comparada con el valor de 10.1 kg ĵ s Un caso simple de una colisión es cuando dos partículas chocan y se mueven juntas después de la colisión. Veamos el siguiente ejemplo. Dos esferas de la misma dimensión pero de masas diferentes chocan en una colisión central. Justo antes de la colisión, la esfera A se mueve hacia la derecha con una rapidez de 5.0 m/s y la esfera B se encuentra en reposo. Justo después de la colisión los dos objetos se mueven juntos. ¿Cuál es la rapidez con la que se mueven las dos esferas, si la masa de A es de 4.0 kg y la masa de B es de 6.0 kg? Antes de la colisión p1 m A v A , ya que la esfera B está en reposo. Después de la colisión tanto A como B se deben mover con la misma velocidad por lo que p2 (m A m B )v S , donde v S es la velocidad del sistema Igualando la cantidad de movimiento antes y después de la colisión m A v A (m A m B )vS m 4.0 kg (5.0 ) î mA vA m s vS 2.0 î (m A m B ) 4.0 kg 6.0 kg s esto significa que después de la colisión las dos partículas se mueven juntas con una rapidez de 2.0 m/s Si analizamos la energía antes y después de la colisión. E1 1 1 m m A v 2A (4.0 kg)(5.0 ) 2 50.0 J 2 2 s 1 1 m E 2 (m A m B ) v S2 (4.0 kg 6.0kg)(2.0 ) 2 20.0 J 2 2 s 55 56MECÁNICA J.W.L. S. 56 Observamos que existe un cambio de energía mecánica consistente en 30.0 J, esta energía se traduce en deformaciones permanentes, ruido y aumento en la temperatura. m Si las dos partículas A y B después de chocar adquirieran velocidades v A2 1.0 î s m y v B2 4.0 î , es decir no se movieran juntas, sino que A rebota y B se mueve hacia s delante con las velocidades antes indicadas, entonces se conservaría la energía mecánica. E2 1 1 1 m 1 m m A v 2A2 m B v 2B2 (4.0 kg)(1.0 ) 2 (6.0kg)(4.0 ) 2 50.0 J 2 2 2 s 2 s éste tipo de colisión se conoce como colisión elástica y para calcular las velocidades después de la colisión, para que se conserve la energía mecánica, se requiere del siguiente análisis. De la conservación de energía 1 1 1 1 m A v A2 m B v B2 m A v A2 2 m B v B2 2 2 2 2 2 de la conservación de la cantidad de movimiento mA v A mB vB mAv A2 mB vB 2 Agrupando términos en la ecuación de conservación de energía m A v A2 m A v A2 2 mB v B2 2 mB v B2 Agrupando términos en la ecuación de conservación de cantidad de movimiento mAvA mAvA2 mBvB 2 mBvB Dando las direcciones para la ecuación de conservación de cantidad de movimiento (mAv A mAv A2 )iˆ (mB vB 2 mB vB )iˆ Escribiendo en términos de factores la ecuación de energía m A v A2 m A v A2 2 mB v B2 2 mB v B2 mA (vA vA2 )(vA vA2 ) mB (vB 2 vB )(vB 2 vB ) y dividiendo esta ecuación entre (mAv A mAv A2 ) (mB vB 2 mB vB ) resulta (v A v A2 ) (vB 2 vB ) que coincide con los valores que utilizamos en el ejercicio anterior. 5.0m/s –1.0 m/s = 4.0 m/s +0.0 m/s Si sustituimos vB 2 de la última ecuación encontramos que vB 2 v A v A2 sustituyendo en la ecuación de conservación de cantidad de movimiento mA v A mB vB mAv A2 mB vB 2 podemos encontrar v A2 mAvA mBvB mAvA2 mB (vA vA2 vB ) agrupando los términos 56 vB y 57MECÁNICA J.W.L. S. 57 mAvA mBvB mBvA mBvB mAvA2 mBvA2 mAv A 2mB vB mB v A vA2 mA mB para el ejemplo anterior vA2 m m ) î 6.0 kg (5.0 ) î s s 1.0 m î 4.0 kg 6.0 kg s 4.0 kg (5.0 vB 2 vA vA2 vB m m m vB 2 5.0 iˆ 1.0 iˆ 4.0 iˆ s s s No siempre que dos partículas después de chocar viajen con distintas velocidades, se conserva la energía mecánica. Si para las mismas partículas que estudiamos antes, después de chocar la partícula A m tiene una velocidad v A2 2.0 î , entonces para que se cumpla la conservación de s la cantidad de movimiento mA v A mB vB mAv A2 mB vB 2 , m m m 4.0kg(5.0 )î 6.0kg(0.0 )î 4.0kg( 2.0 )î m v mB v B m A v A2 s s s vB2 A A mB 6.0kg m v B2 4.67 î s Checando ahora la energía justo antes de la colisión y justo después de la colisión 1 1 1 1 mAv A2 mB vB2 mAv A2 2 mB vB2 2 2 2 2 2 1 m 2 1 m 1 m (4.0kg)(5.0 ) 0 (4.0kg)( 2.0 ) 2 (6.0kg)( 4.67 ) 2 2 s 2 s 2 s 50.0 J 8.0 J + 65.33J Observamos que la energía justo después de la colisión es mayor que la inicial, esto no es posible, a menos que se proporcione una energía como en el caso de una explosión. m Si por el contrario después de la colisión v A2 0.50 î s Por la cantidad de movimiento mA v A mB vB mAv A2 mB vB 2 , m m m 4.0kg(5.0 )î 6.0kg(0.0 )î 4.0kg( 0.50 )î m v mB v B m A v A2 s s s vB2 A A mB 6.0kg 57 58MECÁNICA J.W.L. S. 58 m v B2 3.67 î , y la energía final sería s 1 m 1 m (4.0kg)(0.50 ) 2 (6.0kg)(3.67 ) 2 0.50 J 40.33J 2 s 2 s E2 = 40.83 J , lo que significa que habría una pérdida de energía mecánica igual a E1-E2 =50.0 J – 40.83 J = 9.17 J E2 En las colisiones elásticas la diferencia E1-E2 = 0 (conservación de energía mecánica) En las colisiones inelásticas la diferencia E1-E2 > 0 (transformación de energía mecánica en otro tipo de energía) En una explosión la diferencia E1-E2 < 0 (transformación de energía de la pólvora en energía mecánica) 58