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Lógica I
Examen parcial: Lógica proposicional
1 de Diciembre de 2004
(1) Formaliza los siguientes enunciados, indicando qué enunciado simple corresponde a
cada constante proposicional que uses: [1 pto]
(a)
(b)
Federico se irá a las Fiji o a las Seychelles si y sólo si le toca la lotería y no
se arruina en la ruleta
Pili no irá a la fiesta a menos que vaya Mili, y si Mili va a la fiesta, ni
Marisol ni Joselito irán.
(2) Formaliza los siguientes argumentos, indicando qué enunciado simple corresponde a
cada constante proposicional que uses, y escribiéndolos en forma condicional con la
conclusión como consecuente: [1,5 ptos]
(a) Aprobaré lógica, si Dios quiere. Aprobaré lógica si y sólo si estudio y hago
todos los ejercicios. Sin embargo, no he hecho los ejercicios, así que Dios no
quiere que apruebe lógica.
(b) Si el euro está fuerte, el petróleo está barato pero las exportaciones resultan
caras. Si Europa se endeuda o la economía no crece, el petróleo no estará barato.
La economía crece si y sólo si ni las exportaciones resultan caras ni la inflación
aumenta. Por tanto, si la inflación aumenta, el euro no está fuerte.
(3) Haz la tabla de verdad completa de la siguiente fórmula y determina si es
tautológica, contingente o contradictoria: [1,5 ptos]
[p  (q  r)]  ¬(¬[p  (¬r  q)]  [¬(¬q  ¬r)  p])
(4) Determina si {1, ..., n} |=  para los siguientes casos:
(a)
 1  p(qr)
(b)
1  (p  r)  ¬(s  t) 2  p
  q  ¬t
 2  ¬p¬q
  pr
[1 pto]
3  ¬s  ¬p
4  p  t
[1,5 ptos]
(5) Demostrar {1, ..., n} |=  para los siguientes casos:
(a)
1  ¬q  s
2  s  ¬r
  ¬(q  r)
[1 pto]
(b)
1  ¬p  (¬q  r)
[1,5 ptos]
2  ¬q  t
3  ¬r
  ¬t  p
(6) Demostrar |= :   [(¬p  q)  (p  ¬q)]  ¬(p  q)
[1,5 pto]
(7) En el ejercicio 2b, deducir la conclusión a partir de las premisas.
[1,5 pto]
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Examen parcial: Lógica proposicional
1 de Diciembre de 2004
Soluciones a los ejercicios 1-4 (los ejercicios 5-7 tienen más de una solución posible):
1 a)
1 b)
p  F se irá a las Fiji q  F irá a las Seychelles
r  a F le toca la lotería
s  F se arruina en la ruleta
(p  q)  (r  ¬s)
p  P irá a la fiesta q  M irá a la fiesta r  Ma irá a la fiesta
s  J irá a la fiesta
(¬p  q)  [q  (¬r  ¬q)]
2 a)
p  aprobaré lógica q  D quiere que apruebe lógica
s  hago todos los ejercicios
[(q  p)  [p  (r  s)]  ¬s]  ¬q
2 b)
p  euro está fuerte q  petróleo está barato
r  exportaciones caras
s  E se endeuda
t  economía crece u  inflación aumenta
([p  (q  r)]  [(s  ¬t)  ¬q]  [t  (¬q  ¬u)]) (u  ¬p)
3)
[p
1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0
1
0
0
1
(q
1
1
0
0
1
1
0
0

1
1
1
1
1
1
0
0
r)]
1
1
1
1
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
1
0
¬
0
1
0
1
0
1
0
0
(¬
0
0
0
0
0
0
1
0
[p
1
0
1
0
1
0
1
0
 (¬
1 0
1 0
1 0
1 0
1 1
1 1
0 1
1 1
r
1
1
1
1
0
0
0
0

1
1
1
1
1
1
0
0
q)]
1
1
0
0
1
1
0
0
 [¬ (¬
1 1 0
0 1 0
1 1 1
0 1 1
1 1 0
0 1 0
1 0 1
1 0 1
r  estudio
q
1
1
0
0
1
1
0
0

0
0
0
0
0
0
1
1
¬
0
0
0
0
1
1
1
1
r)
1
1
1
1
0
0
0
0
 p])
1 1
0 0
1 1
0 0
1 1
0 0
1 1
1 0
Se trata de una fórmula contingente.
4) (a) ([p(qr)]  (¬p¬q))
 (pr)

Supongamos que este condicional
es falso. Entonces las siguientes asignaciones
son obligadas: I[p(qr)]=1, I(¬p¬q)=1, I(p  r)=0.
De la última deducimos que I(p)=0, I(r)=0. Con estos valores de p y de r fijados,
vemos que no hay modo de obtener: I[p  (q  r)]=1 ya que para que esto
ocurra, o bien I(p)=1, o bien I(q r)=1, y ninguna de estas cosas es posible.
Por tanto, el condicional
de las otras 2.
es tautológico, y la fórmula  sí es consecuencia lógica
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Examen parcial: Lógica proposicional
1 de Diciembre de 2004
(b) ([(p  r)  ¬(s  t)]  p  (¬s  ¬p)  (p  t))  (q  ¬t)
Supongamos que este condicional  es falso. Entonces las siguientes asignaciones
son obligadas:
I[(p  r)  ¬(s  t)]=1, I(p)=1, I(¬s  ¬p)=1, I(p  t)=1
I(q  ¬t)=0
Dado que I(p)=1 y I(p  t)=1, entonces I(t)=1
Dado que I(p)=1 y I(¬s  ¬p)=1, entonces I(¬s)=0, y por tanto I(s)=1
Dado que I(t)=1 y I(s)=1, entonces I(s  t)=1, y así I(¬(s  t))=0
Dado que I(¬(s  t))=0 y I[(p  r)  ¬(s  t)]=1, entonces I(p  r)=0
Dado que I(p  r)=0 y I(p)=1, no hay ningún valor de r que satisfaga esto. Hemos
alcanzado una contradicción. Por tanto, el condicional
fórmula  sí es consecuencia lógica de las otras 4.
es tautológico, y la