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TEMA: INECUACIONES RACIONALES
16-04-11 Pregunta de Abril
Tengo que escribir el conjunto A= {xer/ 3x2/x > 4/x} como intervalo o union de
intervalos. Gracias!
Cursando:: CBC
Hola Abril.
(3x - 2)/x > 4/x
Es una ecuación racional. No podemos
simplificar los denominadores (aunque ambos
miembros están divididos por x), porque x
puede ser un número positivo o negativo, y si
fuera negativo habría que invertir la
desigualdad (porque al simplificar estamos
dividiendo por x).
Lo que se hace allí es pasar todos los términos
al mismo miembro, y que quede cero en el
otro:
(3x - 2)/x - 4/x > 0
Y ahora quedó una resta de dos fracciones con
el mismo denominador, así que podemos
directamente restar los numeradores:
(3x - 2 - 4)/x > 0
(3x - 6)/x > 0
Y ahora usamos que:
Una fracción es mayor que cero (positiva),
cuando:
- El numerador y el denominador son mayores
que cero (positivos) (+ por + = +)
ó
- El numerador y el denominador son menores
que cero (negativos) (- por - = -)
(Para ver más sobre esto puedes ver las dos
respuestas que siguen abajo que explican lo
mismo)
Así que hay dos posibilidades:
1) 3x - 6 > 0
y
x>0
2) 3x - 6 < 0
y
x<0
ó
Alternativa 1:
3x - 6 > 0
y
x>0
3x > 6
x > 6/3
x>2
y
x>0
Nos podemos dar cuenta (y sino se grafican en
la recta numérica) que los números que
cumplen esas dos cosas son los números
mayores que 2:
x>2
Números que pertenecen al intervalo:
(2;+∞)
Alternativa 2:
3x - 6 < 0
y
x<0
x<2
y
x<0
Y los que cumplen esas dos cosas son los
números menores que 0:
x<0
Números que pertenecen al intervalo:
(-∞;0)
La solución final es el conjunto formado por los
elementos de los dos intervalos. Como son
intervalos que no tienen ningún número en
común ("disjuntos", lo puedes ver si graficas
los dos en la misma recta numérica), la
solución es la unión de esos dos intervalos:
SOLUCIÓN: (2,+∞) U (-∞;0)
15-04-11 Pregunta de maria alicia
agradeceria el desarrollo de inecuaciones de
primer grado con una sola incognita y con x en
el denominador,desde sencillas a un poco
complicadas
Cursando:: por consulta
Edad:: 63
Nacionalidad:: argentina.
¿Qué opinas de la web?: bien usada,fabulosa
Hola maria alicia. Te muestro algunos
ejemplos:
3+x
----- > 0
x+1
Si eso fuera una ecuación, podríamos pasar a
(x + 1) multiplicando al otro miembro. Pero en
una inecuación no podemos, porque en las
inecuaciones cuando se pasa un número
negativo de "multiplicar a dividir" o viceversa,
se invierte el signo de la desigualdad (de
mayor a menor, o al revés). Y como tenemos
una x en el número que vamos a pasar, no
sabemos si es negativo o positivo (porque eso
depende del valor que se le dé a la x),
entonces no sabemos si invertir la desigualdad
o no. Es decir: No podemos pasar
multiplicando a (x + 1), porque no sabemos si
(x + 1) toma un valor positivo o negativo. Así
que hay dos posibilidades:
- Si (x + 1) fuera positivo, la desigualdad no
se invierte cuando se lo pasa multiplicando, y
entonces la inecuación quedaría así:
3 + x > 0.(x + 1)
- Si (x + 1) fuera negativo, la desigualdad se
invierte. Entonces la inecuación quedaría así
en el siguiente paso:
3 + x < 0.(x + 1)
Y ya que te comento esto, una de las formas
en que se pueden resolver estas inecuaciones
(no es quizás la más común), es planteando
esas dos alternativas. Entonces te puedo
mostrar ya cómo hacerlo de esta manera:
Evaluando las dos posibilidades:
- Supongamos que (x + 1) > 0. Al pasar el (x
+ 1) multiplicando al otro miembro queda así:
3 + x > 0.(x + 1)
(la desigualdad no se invierte, porque estamos
suponiendo que paso un número positivo)
3+x>0
(0 multiplicado por
cualquier cosa dá cero)
x > -3
Pero además supusimos que:
x+1>0
Eso implica que:
x > -1
Entonces, si x > -1, la desigualdad no se
invierte y la solución de la inecuación es x > 3. Eso significa que la solución la forman todos
los números reales mayores que -3, pero que
también son mayores que -1, porque partimos
de esa premisa (x > -1). Así que veamos qué
números cumplen con esas dos cosas:
x > -1
y
x > -3
Lo podemos graficar en la recta numérica para
visualizarlo:
Son todos los números mayores que -1 (donde
se cruzan los dos conjuntos: la intersección de
los dos conjuntos, donde están los números
que cumplen con las dos cosas). Entonces la
solución de esta alternativa es:
x > -1
O como intervalo: (-1;+∞)
- Ahora la otra posibilidad: Supongamos
que (x + 1) < 0, entonces al pasarlo al otro
miembro se invierte la desigualdad. La
inecuación queda así:
3 + x < 0.(x + 1)
3+x<0
x<-3
Y como te expliqué antes, tenemos que tener
en cuenta también que:
x+1<0
x < -1
Representamos:
Y vemos que la solución de esta alternativa es:
x < -1
O como intervalo:
(-∞;-3)
Entonces, las dos alternativas son que:
x>-1
ó
x<-3
La solución de la inecuación es la unión de
esos dos intervalos:
SOLUCIÓN: (-;∞-3) U (-1;+∞)
Y hay otra forma de resolver estas
inecuaciones. Para poder aplicarla, uno de los
miembros debe ser cero. Como en este
ejemplo que te dí:
3+x
------ > 0
x+1
Y si no está el cero solo en alguno de los
miembros, hay que pasar todo al mismo
miembro para que quede el cero así.
Luego, se usa la regla de los signos. Porque
una fracción es una división, y en la división se
usa la regla ésa:
"más por más, es más"
"menos por menos, es más"
"más por menos, es menos"
"menos por más, es menos"
Como que algo sea "mayor que cero" (>0)
significa es "positivo" (+), al decir que la
fracción:
3+x
------ > 0
x+1
Estamos diciendo que esa fracción es positiva,
o que la división entre el numerador y el
denominador dá un número positivo (+).
Como por ejemplo:
+4
---- = +2
+2
-1
1
---- = + ---3
3
(mayor que cero: > 0)
(mayor que cero: > 0)
Entonces, si la fracción es mayor que cero
(positiva, dá "+"), es porque, según la regla
de los signos:
- el numerador y el denominador son positivos
(+ por + = +)
- el numerador y el denominador son
negativos (- por - = +)
Entonces analizamos esas dos alternativas:
1) 3 + x > 0 y x + 1 > 0
ó
2) 3 + x < 0 y x + 1 < 0
1) Alternativa 1:
3+x>0
y
x+1>0
x > -3
y
x > -1
La solución de esta alternativa es:
x > -1
O como intervalo: (-1;+∞)
2) Alternativa 2:
3+x<0
y
x+1<0
x<-3
y
x<-1
La solución de esta alternativa es:
x < -3
O como intervalo: (-∞;-3)
Solución de la inecuación:
Como la solución de la inecuación la forman
todos los números que cumplen alguna de las
dos alternativas, tenemos que:
Solución: (-1;+∞) U (-∞;-3)
Que es la misma solución que hallamos de la
otra manera.
Eso es lo básico para resolver una inecuación
racional de primer grado. Luego, si la
inecuación no tiene la forma de:
Fracción > 0
Fracción <= 0
etc.
hay que llevarla a esa forma, mediante
operaciones y/o pasajes de términos. Luego
de que se llega a esa forma, se sigue el
procedimiento que te mostré. Por ejemplo:
x-4
------ <= 1
3x + 2
Hay que pasar el 1, para que quede 0 en el
segundo miembro:
x-4
------ - 1 <= 0
3x + 2
Y luego, hay que sumar/restar la fracción con
el número, para que quede una sola fracción:
x - 4 - 1.(3x + 2)
----------------- <= 0
(Suma de
Expresiones algebraicas racionales)
3x + 2
x - 4 - 3x - 2
------------- <= 0
3x + 2
-2x - 6
-------- <= 0
3x + 2
Y a partir de ahí podemos empezar el
procedimiento que usa la regla de los signos.
Y otra cosa que hay que tener en cuenta en
estas inecuaciones es que el denominador
nunca puede cero (porque el denominador
está dividendo al numerador, y no se puede
dividir por cero). Así que si la inecuación tiene
el igual (como esta, que es con <=), cuando lo
usamos para el denominador debemos quitarle
el igual (y queda "<" solamente, por ejemplo).
Como el ejemplo que te expliqué completo era
con "mayor" (<), y éste es con "menor", te
termino este ejemplo así tienes otro completo
(y además tiene el "=" que el otro no lo tenía.
Íbamos por:
-2x - 6
-------- <= 0
3x + 2
Y según la regla de los signos, una fracción dá
negativa (-) cuando:
- El numerador es positivo y el denominador
es negativo ( + por - = - )
- El numerador es negativo y el denominador
es positivo ( - por + = - )
Así que las dos posibilidades son:
-2x - 6 >= 0
y
3x + 2 < 0
ó
-2x - 6 <= 0
y
3x + 2 > 0
1) Alternativa 1:
-2x - 6 >= 0
y
3x + 2 < 0
-2x >= 6
y
3x < - 2
x <= 6:(-2)
y
x < -2/3
x <= -3
y
x < -2/3
Si graficas verás que la intersección es:
(-∞;-3)
2) Alternativa 2:
-2x - 6 <= 0
y
3x + 2 > 0
-2x <= 6
y
3x > - 2
x >= 6:(-2)
y
x > -2/3
x >= -3
y
x > -2/3
(-2/3;+∞)
Así que la solución es:
(-∞;-3) U (-2/3;+∞)
Pregunta de Daiana
HOLA NECESITARIA SABER SI ME PODRIAN
DAR UNA EXPLICACION ACERCA DE
INECUACIONES CON DENOMINADORES Y CON
MODULO, YA QUE NO LAS ENTIENDO.MUCHAS
GRACIAS.
Hola Daiana. Primero te explico cómo resolver
una inecuación con denominadores (supongo
que te refieres a las que tienen "x" en el
denominador), y te muestro un ejemplo
resuelto. Cuando tienes una inecuación con
esta forma:
Tienes que usar el siguiente concepto para
resolverla:
"Una fracción es mayor que cero, cuando:
1) El numerador y el denominador
son mayores que cero, ó
2) El numerador y el denominador
son menores que cero.
Y una fracción es menor que cero, cuando:
1) El numerador es mayor que cero y el
denominador es menor que cero, ó
2) El numerador es menor que cero y el
denominador es mayor que cero."
Porque la fracción representa a una división. Y
en la división rige la misma "regla de los
signos" que para la multiplicación:
"más por más es más" (+ por + = +)
"menos por menos es más" (- por - = +)
"más por menos es menos"
"menos por más es menos"
Es eso lo que estamos usando, porque cuando
la regla dice "más" (+) se refiere a algo que es
"positivo", o sea: "mayor que cero". Y cuando
la regla dice "menos" (-), se refiere a algo que
es "negativo": "menor que cero". Por ejemplo:
-10/+2 = -5
Porque "menos por más, es menos". El
numerador tiene el signo "menos" (-), es un
número negativo: "menor que cero". Y el
denominador tiene el signo "más" (+), es un
número positivo: es "mayor que cero".
Primero que nada quería aclararte eso por si
no lo sabías, pues es una relación que veo con
frecuencia que algunos alumnos no hacen, y
por eso les cuestan estas inecuaciones:
"Número positivo = Número mayor que cero"
(x > 0)
"Número negativo = Número menor que cero"
(x < 0)
Y ahora algunos ejemplos para entender el
concepto que usamos para resolver la
inecuación:
¿Cuándo una división dá mayor que cero
(positiva)? Cuando los dos números son
mayores que cero (positivos), ó cuando ambos
son menores que cero (negativos):
+4/+6 = + 2/3 (recordemos que la fracción
representa a una división)
-7/-2 = + 7/2
¿Y cuándo una división dá menor que cero
(negativa)? Cuando los números tienen
distinto signo: uno es mayor que cero
(positivo) y el otro es menor que cero
(negativo):
-7/+8 = - 7/8
+5/-9 = - 5/9
"
Bueno, y ahora vamos a resolver el ejercicio:
Es una fracción mayor que cero. Entonces:
1) 2x + 1 > 0
y
x-3>0
2) 2x + 1 < 0
y
x-3<0
ó
Porque, como te había dicho antes, el
numerador y el denominador tienen que ser: o
los dos positivos (mayores que cero), o los dos
negativos (menores que cero). Ves como eso
se traduce en inecuaciones que ya no son
racionales. Y tenemos dos alternativas: o pasa
una cosa, o pasa la otra. A su vez, dentro de
cada alternativa se tienen que cumplir las dos
cosas al mismo tiempo: (positivo y positivo) ó
(negativo y negativo). Sino, la fracción no
daría positiva. Puede ser que, las alternativas
que yo escribí ahí arriba las hayas visto
expresadas de la siguiente manera:
(2x + 1 > 0 Λ x - 3 > 0) V (2x + 1 < 0 Λ x - 3
< 0)
Es lo mismo, sólo que se usan los símbolos de
Lógica:
"Λ" significa "y". Se usa para enlazar dos
condiciones que deben cumplirse ambas.
"V" significa "ó". Se usa cuando se cumple una
condición o la otra.
Y luego de plantear las alternativas, vamos a
resolver cada una, a ver qué subconjunto de
los números reales cumple las condiciones
expresadas en cada una:
1) "Los dos positivos":
2x + 1 > 0
2x > 0 - 1
2x > -1
x > -1/2
y
x-3>0
x>3
Se debe cumplir que x > -1/2 y que x > 3.
Los números que cumplen la alternativa 1) son
lo que son: mayores que -1/2 y mayores que
3. Representas en la recta numérica esos dos
conjuntos, y verás que la intersección (donde
están los números que cumplen ambas cosas),
es el conjunto formado por todos los números
mayores que 3.
Es el intervalo:
(3 ; + ∞)
2) Ó "los dos son negativos":
2x + 1 < 0
2x < 0 - 1
2x < -1
x < -1/2
y
x-3<0
x<3
Se debe cumplir que x < -1/2 y x < 3.
Representamos en la recta, y vemos que los
números que cumplen ambas cosas son los
menores que -1/2:
Es el intervalo:
(-∞ ; -1/2)
Finalmente, los números que son solución de
la inecuación, son los que: están en el
intervalo (-∞ ; -1/2) ó están en el intervalo (3
; +∞). Si los representamos en la misma
recta, vemos que esos dos conjuntos no tienen
elementos en común (son conjuntos
"disjuntos"):
Así que la única forma de expresar la solución
es como una "Unión" de esos intervalos:
S = (-∞ ; -1/2) U (3 ; +∞)
Ésa es entonces la solución de la inecuación.
La "Unión" es una operación entre conjuntos,
cuyo resultado incluye a todos los elementos
de ambos conjuntos. Sería algo así como la
suma de los elementos de los dos conjuntos:
el resultado son todos los elementos que
pertenecen a un conjunto o al otro.
Atención: Cuando una inecuación con "x" en
el denominador, viene con el signo ≤ ó ≥. hay
que recordar que el denominador de una
fracción nunca puede ser cero (ya que no se
puede dividir por cero, y el denominador de
una fracción está dividiendo al numerador).
Entonces, hay plantear la inecuación para el
denominador, hay que quitarle el "igual" (=).
Por ejemplo, si la inecuación fuera:
Habría que plantear:
2x + 1 ≥ 0 y x - 3 > 0
ó
2x + 1 ≤ 0 y x - 3 < 0
Ves cómo a (x - 3) no le puse el "=", porque
es el denominador, y no puede ser igual a
cero; tendrá que ser mayor o menor, pero no
igual a cero.
Bueno, pero todo lo anterior vale si tenemos
una inecuación con el "0" en el segundo
miembro:
Porque, lo de "positivo", "negativo", equivale a
mayor o menor que cero. Si hay otro número
que no sea cero, o cualquier otra cosa que no
sea cero, no se puede resolver así. Primero
hay que hacer algo (pasos matemáticamente
válido) para que quede solamente el cero de
un lado. Por ejemplo:
No se puede resolver como te mostré antes.
Porque, que una fracción sea mayor que 4 no
significa nada que nos sirva. Tiene que ser
mayor que cero (positivo) para poder usar lo
que vimos arriba. Así que, en este ejemplo,
podríamos hacer lo siguiente para que quede
"0" en vez del "4":
Ahora sí que se puede aplicar lo que vimos
antes. Para hacer esos pasos hay que saber
suma y/o resta de Expresiones algebraicas
racionales: buscar denominador común, etc.
Ese tema está desarrollado en la página:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS - SUMA Y RESTA
Bueno, espero que con esto trates de resolver
tú un ejercicio con "menor que cero". Por
ejemplo:
Y pruebes también continuar el ejemplo que
puse con "mayor o igual que cero". Cualquier
duda me vuelves a consultar.