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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
BLOQUE I: Aritmética y Álgebra
1 NÚMEROS REALES
1.1 NÚMEROS RACIONALES ( ℚ )
Contiene a los Naturales ( ℕ ), que son los números usados para contar, y a los enteros ( ℤ ),
que son los naturales y sus opuestos, y se pueden representar por una fracción de números enteros.
1.1.1
Representación sobre la recta
Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
1.2 NÚMEROS IRRACIONALES
No se pueden expresar como cociente de números enteros.
1.2.1
Algunos números irracionales:
— Radicales:
n
 p si p no es una potencia enésima (es decir, p≠q n : q∈ℚ ).
— Número áureo (): en un pentágono regular, Φ=
— Número : π =
Diagonal
1+ √ 5
: Φ=
lado
2
L
=3,14159 . ..
2R
— Número e: e = 2,71828…
1.3 NÚMEROS REALES. RECTA REAL
Los números reales ( ℝ ) contienen a los Racionales y los Irracionales.
1.3.1
Aproximación decimal de un número real
Los números racionales se escriben mediante una expresión decimal finita o periódica.
Los números irracionales se expresan mediante una expresión decimal con infinitas cifras decimales
no periódicas.
1.4 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
|a| = a si a≥0
|a| = – a si a < 0
1
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1.5 NOTACIÓN CIENTÍFICA
Es útil para expresar números muy grandes o muy pequeños ya que, al tener una sola cifra en la
parte entera y una potencia de base 10, el orden de magnitud es evidente.
N = a,bcd… · 10n
1.6 RADICALES. PROPIEDADES
n
 a .−Radical
n
 a=b ⇔ a=b n
a .−Radicando
n .−Índice
n
−a existe sólo para n impares
1.6.1
Propiedades de los radicales
Recordemos que los radicales son potencias de exponente fraccionario, por lo cual se aplican las
mismas propiedades que en las potencias.
1)
2)
n
m
√ a m=a n
np
√ a p=√n a
p
( √n a ) =√n a p
3)
m n
4)
√n a⋅b= √n a⋅√n b
5)
√
√ √ a= √ a
n
mn
n
a √a
=
b √n b
Suma de radicales: sólo pueden sumarse radicales idénticos.
1.6.2
√n a+ √n a=2⋅√n a
Racionalización de denominadores
La racionalización consiste en eliminar los radicales del denominador multiplicando la fracción por
una fracción unitaria.
— Para suprimir una raíz enésima se multiplica por otra raíz enésima tal que se complete en el
radicando una potencia enésima.
Ej:
1
1 √3 5 √3 5 √3 5
=
· =
=
√3 52 √3 5 2 √3 5 √3 53 5
— Para suprimir una suma de raíces cuadradas se multiplica por la diferencia de ellas.
1
1
a− b
a− b
a− b
√ a−√ b
=
·√ √ =
= √ 2 √ 2= √ √
a−b
√ a+ √ b √ a+ √b √ a−√ b ( √ a+ √ b ) ( √ a−√ b ) √ a −√ b
2
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— Si es una diferencia se multiplica por la suma.
1
a+ b
a+ b
√ a+ √ b
=
= √ 2 √ 2= √ √
a−b
√a−√ b ( √ a−√ b ) ( √ a+ √ b ) √ a − √b
1.7 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS
NOMBRE
Intervalo abierto
Intervalo cerrado
Intervalo semiabierto
Semirrecta
SÍMBOLO
(a, b)
[a, b]
(a, b]
[a, b)
 ∞ a)
 ∞ a]
a, + ∞ )
a, + ∞ )
SIGNIFICADO
a<x<b
a≤x≤b
a< x ≤b
a≤x< b
x<a
x≤a
x>a
{ x≥a }
1.8 LOGARITMOS
Si a > 0 y a≠1 , logaritmo en base a de p (loga p) es el exponente al que hay que elevar la base a
para obtener p.
log a p=x ⇔a x= p
1.8.1
Propiedades
1) P≠Q ⇒ log a P≠log a Q
Si a > 1 y P < Q => loga P < loga Q
2) loga a = 1
3) loga 1 = 0
4) loga (P·Q) = loga P + loga Q
5) loga (P/Q) = loga P – loga Q
6) loga Pn = n · loga P
n
7) log a  P=
8) log a P=
1.8.2
log a P
n
log b P
log b a
Logaritmos decimales (log)
Log K = log10 K
1.8.3
Logaritmos neperianos (Ln)
Ln K = loge K
3
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2 MATEMÁTICA FINANCIERA
2.1 AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES
(
C +r %= 1+

1
r
C
100
)

r
(en forma decimal) es el índice de variación.
100
Ej: C + 12% = 1,12 · C (1,12 es el índice de variación)
Para encadenar varios incrementos porcentuales se multiplican los índices de variación.
(
C final =C inicial · 1+
r1
r
r
· 1+ 2 · 1+ 3
100
100
100
)(
)(
)
(
Si se incrementa el mismo porcentaje n veces: C final =C inicial · 1+
r
100
n
)
2.2 INTERESES BANCARIOS
Rédito es el tanto por ciento que paga un banco por depositar en él un dinero.
Periodo de capitalización es el tiempo en que se abonan los intereses (suele se mensual o anual,
pero también puede ser trimestral, semestral, bianual …)
2.2.1
Interés simple
El interés producido en cada periodo de capitalización no genera intereses. Se calcula el interés
siempre respecto del capital inicial.
(
En n periodos de capitalización se obtendrá: C final =C inicial · 1+
2.2.2
r ·n
100
)
Interés compuesto
El interés producido en cada periodo de capitalización se incorpora al capital para seguir
produciendo nuevos intereses.
(
Pago anual de intereses: C n añosal r anual=C 1+
)
(
r
1200
Pago mensual de intereses: C m meses al r anual =C 1+
4
n
r
100
m
)
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(
Pago diario de intereses: C d díasal r anual=C 1+
r
36500
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d
)
2.3 OPERACIONES DE CAPITALIZACIÓN
Una operación de capitalización es una operación financiera en que se entrega un capital cada cierto
periodo de tiempo de forma que, al final de la operación, se consigue un capital que es la suma de los
capitales entregados más los interesese generados. Los planes de pensiones y las cuentas de ahorro son
ejemplos de este tipo de operaciones.
2.3.1
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números (términos de la progresión) en la cual cada
uno se obtiene multiplicando la anterior por un número constante r (razón de la progresión). El término
enésimo se obtiene multiplicando el primero por r n-1 veces:
an = a1 · rn-1
Suma de los términos de una progresión geométrica
S n=a1 a 2 .. .a n
S n⋅r=a1⋅r a 2⋅r. . .a n−1⋅ran⋅r =a 2 a 3 .. .an an⋅r
S n⋅r−S n =−a1 00.. .an⋅r =a n⋅r −a 1
S n⋅ r−1 =a n⋅r −a 1
S n=
2.3.2
a n⋅r−a1
( r −1)
Capital final en una operación de capitalización
La anualidad de capitalización (el capital ingresado cada año) es a, el interés es i y el número de
años es n.
Al final del 1er año:
C1 = a·(1+i)
Al final del 2º año:
C2 = a·(1+i) + a·(1+i)²
……………..
Al final del n año:
C = a·(1+i) + a·(1+i)² + a·(1+i)³ + … + a·(1+i)n
C=
a ·(1+i)·(1+i)n−a·( 1+ i)
(1+i)−1
C=
a ·[(1+ i) n+1−(1+i)]
i
5
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2.4 AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS
Cada pago salda los intereses que produce la deuda pendiente desde el pago anterior, y el resto
amortiza parte de esa deuda, hasta que se amortiza la totalidad de la deuda pendiente. Lo habitual es
que todos los pagos sean idénticos (tipo francés).
La anualidad de amortización (el capital pagado cada año) es a, el interés es i y el número de años
es n.
Pagando a el primer año, al final del periodo se habrá convertido en:
a·(1+i)n-1
Pagando a el segundo año, al final del periodo se habrá convertido en:
a·(1+i)n-2
……………..
Pagando a el penúltimo año, al final del periodo se habrá convertido en:
a·(1+i)
Último pago:
a
Por tanto, al final se ha pagado: a·(1+i)n-1 + a·(1+i)n-2 + a·(1+i)n-2 + … + a·(1+i) + a = C·(1+i)n
Sumando los términos de la progresión geométrica y despejando a:
n
a=C
Anualidades:
(1+i ) ⋅i
(1+ i)n −1
donde i =
r
100
donde i=
r
y n es el número de meses
1200
n
1i  ⋅i
m=C
 1i n −1
Mensualidades:
2.5 PARÁMETROS ECONÓMICOS
2.5.1
Tasa anual equivalente (T.A.E.)
La TAE es el tanto por ciento de crecimiento total del capital durante un año. Si el periodo de
capitalización es menor que un año, la TAE es mayor que el rédito declarado. Además, en los
préstamos se incluyen en ella los gastos fijos.
[( ) ]
n
TAE= 1+
2.5.2
i
−1 · 100
n
Donde n es el número de periodos de capitalización en un año.
Índice de precios al consumo (I.P.C.)
Es un número índice que se usa para medir la variación de los precios de productos que se
consideran representativos del consumo habitual (cesta de la compra estándar).
pi t · q it
∑
IPC =
∑ pit · q it
1
1
0
0
·100
6
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3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
3.1 SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables que intervienen.
Grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Suma y resta: Para sumar dos polinomios se suman los monomios del mismo grado de cada uno de
ellos.
Producto: se multiplica cada monomio de un polinomio por cada uno de los monomios del otro.
3.2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
3.2.1
Técnica de la división de polinomios
Ejemplo: Para dividir P(x) = x5 – 6x3 – 25x entre Q(x) = x2 + 3x procedemos así:
Si en la división, además de cociente hay resto, se llama división entera, si no división exacta.
3.2.2
Regla de Ruffini
Para dividir un polinomio por un binomio de primer grado (x –a ).
Ejemplo: para dividir (2x3 – 15x – 8) : (x – 3)
1) Se ponen los coeficientes del dividendo (teniendo en cuenta que los coeficientes de los términos
que no están son cero) y el término independiente del divisor cambiado de signo.
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2) Se baja el primer coeficiente (2).
3) Se multiplica el divisor (3) por el coeficiente que se ha bajado (2) y se coloca el producto debajo
del segundo coeficiente (6 debajo del 0).
4) Se suman y se pone el resultado debajo (6 + 0 = 6).
5) Se procede igual hasta terminar.
6) El cociente es un polinomio de un grado menor que el dividendo.
Divisibilidad por x –a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x–a es
necesario que su término independiente sea múltiplo de a.
Teorema del resto: El valor que toma un polinomio P(x) cuando hacemos x = a (o sea P(a)) coincide
con el resto de dividir P(x) entre x–a.
P(a) = r
3.3 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios del menor grado posible.
1) Intentar sacar algún factor común.
2) Buscar algún producto notable o una ecuación de segundo grado.
3) Usar la regla de Ruffini, buscando entre los divisores perfectos del término independiente, de
forma que el resto sea 0.
Ej: x⁴ + 2x³ – x² – 2x
1º) Factor común:
x·x·x·x + 2·x·x·x – x·x – 2·x = x·(x³ + 2x² – x – 2)
2º) ¿ x³ + 2x² – x – 2 es un producto notable?
NO
3º) Dividimos por Ruffini probando en el divisor los números 1, -1, 2 y -2.
x³
x²
x
x⁰
x²
x
x⁰
1
2
-1
-2
1
3
2
1
3
2
-1
-2
3
2
0
2
0
1
1
-1
1
Es decir, hemos dividido el polinomio por (x – 1) y por (x + 1), y nos ha quedado
(x + 2).
Luego, el polinomio factorizado queda:
x⁴ + 2x³ – x² – 2x = x·(x–1)·(x+1)·(x+2)
Un polinomio es irreducible cuando no tiene divisores.
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Raíces de un polinomio: Son los valores que debe tener x para que el valor numérico del polinomio
sea 0.
Ej: x⁴ + 2x³ – x² – 2x = 0
Si x = 0 ; x = 1 ; x = –1 ; x = –2
Se ve fácilmente porque
x⁴ + 2x³ – x² – 2x = x·(x–1)·(x+1)·(x+2) = 0
x=0
Es decir:
o bien
x–1=0:
x=1
o bien
x+1=0:
x = –1
o bien
x+2=0:
x = –2
3.4 DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
Un polinomio D(x) es divisor de otro P(x) si la división P(x) : D(x) es exacta. Entonces P(X) es
múltiplo de D(x).
3.4.1
Máximo común divisor (M.C.D.)
Un polinomio es M.C.D. de dos polinomios si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor
común con mayor grado que él.
Se descomponen ambos polinomios y se toman los factores que coincidan en ambos.
3.4.2
Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
Un polinomio es m.c.m. de dos polinomios si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio
múltiplo común que tenga menor grado que él.
Se descomponen ambos polinomios y se toman los factores comunes o no, con los mayores
exponentes que presentan.
3.5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es el cociente entre dos polinomios.
Simplificación: Para simplificar una fracción se dividen numerador y denominador por un mismo
polinomio de grado igual o mayor que 1 (si se puede). Si dividimos numerador y denominador por su
M.C.D. se obtiene una fracción irreducible.
Dos fracciones son equivalentes si ambas, al simplificarse hasta la fraccion irreducible, dan lugar a
la misma fracción.
Común denominador: Para reducir a común denominador varias fracciones algebraicas, lo hacemos
obteniendo fracciones equivalentes a las primeras y con el mismo denominador.
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BLOQUE I: Aritmética y Álgebra
Suma: Para sumar fracciones algebraicas se procede igualq que con las fracciones numéricas. Se
reducen a común denominador (que será el denominador de la suma), se multiplican los numeradoes
por el mismo polinomio por el que se hayan multiplicado los denominadores y se suman los
numeradores.
Producto: Es el producto de los numeradores dividido por el producto de los denominadores.
Una fracción es la inversa de otra cuando el producto de ambas es igual a 1.
División: Es el producto de una por la inversa de la otra.
10
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BLOQUE I: Aritmética y Álgebra
4 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS
4.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. INTERPRETACIÓN GRÁFICA
Ecuación de segundo grado: ax2 + bx +c = 0
Solución: x=
con a ≠ 0
−b± b 2 −4 ac
2a
Discriminante:  = b2 – 4ac
―  > 0: la ecuación tiene dos soluciones
―  = 0: la ecuación tiene una solución (doble)
―  < 0: la ecuación no tiene solución real
Ecuaciones de segundo grado incompletas: son aquellas en las que el término en x ó el término
independiente son cero (b = 0 ó c = 0). Se pueden resolver con la fórmula general o bien:
― ax² + c = 0 :
x=±
√
−c
a
― ax² + bx = 0 : x·(ax + b) = 0 ;
x=0
y
x=
−b
a
4.2 ECUACIONES BICUADRADAS
Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar: ax4 + bx2 +c = 0
Para resolverlas hacemos el cambio de variable: x2 = t
at2 + bt + c = 0
Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x: x=±√ t
4.3 ECUACIONES CON RADICALES
Cuando x está bajo una raíz cuadrada, aislamos la raíz en un miembro y elevamos ambos miembros
al cuadrado. Pueden aparecer soluciones ficticias que habrá que rechazar, así que hay que comprobar
todas las soluciones.
Ejemplo:
x + √ x−1=3
2
( √ x−1) =(3− x)2
x−1=9−6x+ x 2
0=x 2−7x+10
x=
7±√(−7) 2−4 · 1· 8
2· 1
x=2
x=5
Verificamos ambas soluciones:
11
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2+ √ 2−1=3
2+1=3
x=2 ES SOLUCIÓN
5+ √ 5−1=3
5+ 2≠3
x=5 NO es solución
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4.4 ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR
Expresamos la ecuación de la forma P(x) = 0. Factorizamos el polinomio y hallamos sus raíces.
Factorización: En una ecuación factorizada resolvemos cada uno de los factores como una ecuación
independiente.
Ejemplo:
2x⁴ – 5x³ – 2x² + 5x = 0
x·(2x³ – 5x² – 2x + 5) = 0
Factorizamos el polinomio usando la Regla de Ruffini
x·(x–1)·(x+1)·(2x–5) = 0
Hacemos cada factor igual a 0
x=0
:
x=0
x–1=0
:
x=1
x+1=0
:
x=–1
2x – 5 = 0
:
x=
5
2
4 Soluciones
4.5 SISTEMAS DE ECUACIONES.
Un sistema es un conjunto de ecuaciones con varias variables (o incógnitas) cuya solución es el
valor de las variables que hace que se verifiquen todas a la vez.
Sistemas de ecuaciones lineales: Todas las ecuaciones que componen el sistema son polinomios de
primer grado.
Tipos de sistemas según sus soluciones:
– SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: Tiene una solución única.
– Interpretación gráfica: las rectas definidas por ambas ecuaciones (en un sistema lineal) se
cortan en un punto cuyas coordenadas (x, y) son la solución del sistema.
– SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO: Tiene infinitas soluciones.
– Interpretación gráfica: las rectas definidas por ambas ecuaciones (en un sistema lineal)
coinciden.
– SISTEMA INCOMPATIBLE: No tiene solución.
– Interpretación gráfica: las rectas definidas por ambas ecuaciones (en un sistema lineal) son
paralelas.
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BLOQUE I: Aritmética y Álgebra
4.6 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
4.6.1
Método de sustitución:
Despejamos una variable de una ecuación y sustituimos su valor en la otra. Lo usamos cuando sea
fácil despejar una variable de una ecuación pero no de la otra.
Ejemplo:
x y =3
x− y =1
}
x−3− x=1
Despejo y de la primera ecuación: y=3-x
Sustituyo su valor en la segunda y resuelvo la ecuación.
2x−3=1
x=2
Ahora sustituyo el valor de x en la primera ecuación.
y=3−2 : y = 1
4.6.2
Método de igualación:
Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones e igualamos sus valores. Lo usamos cuando
sea fácil despejar la misma variable en ambas ecuaciones o cuando queramos representar gráficamente
el sistema.
Ejemplo:
x y =3
x− y =1
}
3− x=x−1
Despejo y de las dos ecuaciones:
y=3−x
x−1= y
}
Igualo los dos valores de y y resuelvo la ecuación
4=2x
x=2
Ahora sustituyo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones.
y=3−2 : y = 1
4.6.3
Método de reducción:
Multiplico una o las dos ecuaciones por un número tal que, al sumarlas, una de las variables
desaparezca. Lo usamos cuando veamos que esta operación es fácil. Es el método más rápido cuando
se puede hacer.
Ejemplo:
}
x y =3 
x− y =1 }
x y =3
x− y =1
Sumo las dos ecuaciones:
2x0=4
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BLOQUE I: Aritmética y Álgebra
2x=4
Resuelvo la ecuación
x=2
Ahora sustituyo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones.
y=3−2 : y = 1
O bien vuelvo a aplicar el método de reducción, ahora restando:
}
x y =3 −
x− y =1
:
02y=2
4.6.4
y=1
Método de GAUSS:
Lo usamos para resolver sistemas lineales de más de dos ecuaciones. Consiste en operar las
ecuaciones igual que en el método de reducción (esto es, hacer combinaciones lineales entre las
ecuaciones) para eliminar todas las variables menos una de la última ecuación, todas menos dos de la
penúltima... y así hasta la primera, en la que deben quedar todas las variables. A esto se le llama
triangular el sistema.
Ejemplo:
2x + y− z=6
x +2y−3z=7
3x− y− z=6
x +2y−3z=7
2x + y− z=6
3x− y− z=6
}
}
Ponemos la segunda ecuación en primer lugar (por comodidad)
2ª Ec. = 2ª Ec. – 2·1ª Ec. y 3ª Ec. = 3ª Ec. – 3·1ª Ec.
x +2y −3z =
7
−3y +5z = −8
−7y +8z = −15
x +2y −3z =
7
−3y +5z = −8
11z = −11
}
}
3ª Ec. = 7·2ª Ec. – 3·3ª Ec.
Resolvemos la tercera ecuación:
Sustituimos en la segunda y resolvemos: -3y – 5 = –8 :
y=1
Sustituimos en la primera y resolvemos: x + 2 + 3 = 7 :
x=2
z = –1
4.7 INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
Son propuestas de desigualdad que se cumplen para determinados valores de la variable (o
incógnita). Resolver una inecuación o un sistema de inecuaciones consiste en encontrar todas las
soluciones que lo verifican. Suelen ser infinitas y se agrupan en intervalos de ℝ . Podemos hacer las
mismas operaciones que con las ecuaciones, teniendo siempre en cuenta que la x debe quedar en el
miembro en que sea positiva.
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
BLOQUE I: Aritmética y Álgebra
Ejemplo:
3x x−5
−
≤ x2
2
3
7≤5x
93x−2x−10
≤x2
6
7
≤x
5
6·
4.7.1
x19≤6x12
x 19
≤ x 2· 6
6
[
7
,∞
5
:

Inecuaciones de segundo grado
x² −5x6≥0
Cambiamos la desigualdad por una igualdad y resolvemos la ecuación:
x² −5x6=0
x=
−−5± −5 ²−4 ·1 · 6
2 ·1
x=2 : x=3
2 Soluciones
Estos dos valores dividen la recta Real en tres intervalos: ( −∞ , 2 ) , (2, 3) y ( 3,∞ )
Damos a la x un valor en el primero de ellos (por ejemplo: x=0) y sustituimos
0² – 5·0 + 6 = 6 > 0
Si
Esto significa que:
x ∈−∞ , 2 ,
Si x=2 ,
Si
x ∈ 2,3 ,
Si x=3 ,
Si
x ∈3, ∞ ,
entonces
x² – 5x + 6 > 0
entonces
x² – 5x + 6 = 0
entonces
x² – 5x + 6 < 0
entonces
x² – 5x + 6 = 0
entonces
x² – 5x + 6 > 0
CAMBIA DE SIGNO
CAMBIA DE SIGNO
Luego la solución es: −∞ , 2 ]∪ [ 3,∞ 
4.8 INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Tienen esta forma:
ax + by +c <0 ó ax + by +c > 0
El conjunto de soluciones es el semiplano que está a uno de los lados de la recta. Si en la
desigualdad está incluido el signo igual, los puntos de la recta son también soluciones.
4.8.1
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
La solución de este tipo de sistemas es un recinto poligonal o un recinto abierto. Si los semiplanos
solución de cada una de las inecuaciones no tienen ningún punto en común, el sistema es incompatible
y no tiene solución.
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