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Clasificación de triángulos Triángulos Es el polígono de tres lados. Propiedades de los triángulos 1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. 3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Clasificación de triángulos Según sus lados Triángulo equilátero Tres lados iguales. Triángulo isósceles Dos lados iguales. Triángulo escaleno Tres lados desiguales Según sus ángulos Triángulo acutángulo Tres ángulos agudos Triángulo rectángulo Un ángulo recto El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos. Triángulo obtusángulo Un ángulo obtuso. Elementos notables de un triángulo Alturas de un triángulo Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). Ortocentro Es el punto de corte de las tres alturas. Medianas de un triángulo Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Baricentro Es el punto de corte de las tres medianas. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG = 2GA Mediatrices de un triángulo Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Circuncentro Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices de un triángulo Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Incentro Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. Recta de Euler El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir; pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler. Alturas de un triángulo Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). Ortocentro Es el punto de corte de las tres alturas. Medianas de un triángulo Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Baricentro Es el punto de corte de las tres medianas. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio lado opuesto. BG = 2GA del Mediatrices de un triángulo Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Circuncentro Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices de un triángulo Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Incentro Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. Recta de Euler El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir; pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler. Teorema del cateto En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. a b y c m n hipotenusa catetos proyección del cateto b sobre la hipotenusa proyección del cateto c sobre la hipotenusa La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto. Teorema de la altura En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa. Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Aplicaciones del teorema de Pitágoras 1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto? 3 Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores. Determinar si el triángulo es rectángulo. Aplicaciones del teorema de Pitágoras. Ejercicios 1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular: 1 Los catetos. 2 La altura relativa a la hipotenusa. 3 El área del triángulo. 2 uno de Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma cm. 3 Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? 4 Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. 5 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m. 6 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo. 7 Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal. 8 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área. 9 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada. 2 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma · cm.