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Dibujo Técnico II
María Amián
Bloque I: Geometría Plana
Tema 6: Curvas Técnicas
6.1
Óvalos: Los óvalos son curvas cerradas formadas por circunferencias

tangentes entre sí.
Dado el eje mayor.
1) Dividimos el segmento dado en 3 partes iguales y obtendremos los puntos
O1 y O2.
2) Con centros en O1 y O2 trazamos las circunferencias de radios O1M y O2N.
3) Los puntos de intersección de estas dos circunferencias, O 3 y O4, son los
centros de los otros dos arcos del óvalo.

Dado el eje menor.
1) Dibujamos una circunferencia de diámetro el eje dado.
2) Trazamos dos diámetro perpendiculares y obtendremos 4 puntos:
O1,O2,O3,O4.
3) Unimos O2 con O1 para hallar una recta. Con centro en O2 y radio O4
trazamos un arco que corte a la recta anterior, obteniendo el punto A, de
tangencia. Repetimos el proceso con O2 y O3 y obtendremos el punto D.

Óvalo de 4 centros.
1) Dibujamos los ejes MN y ST, de modo que se
corten en el punto medio O.
2) Con centro en O y radio el semieje mayor OM,
trazamos un arco que corte la prolongación del
otro eje en Q.
3) Con centro en S y radio SQ trazamos un arco que
corte a MS en R.
4) Se traza la mediatriz del segmento MR, que corte
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
6.2
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a los ejes en los puntos O1 y O2.
5) Los puntos O1 y O2 junto con O3 y O4, son los centros de los arcos del óvalo.
Óvalo inscrito en un rombo.
1) Por el punto C, trazamos rectas perpendiculares a los lados AD y DB.
2) Por el punto D rectas perpendiculares a AC y CB.
3) Los puntos O1 y O2 de intersección de las rectas trazadas son los centros de
los arcos pequeños NQ y MP y los puntos C y D, son los centros O 3 y O4 de
los arcos MN y PQ.
Ovoides

Dado su eje.
1) Dividimos el eje MN en 6 partes iguales y las numeramos. El punto 2 será O 3 y
el punto 5, O4.
2) Por O3 trazamos una perpendicular a MN.
3) Con centro en O3 y radio O3M, trazamos una semicircunferencia que corta
a la perpendicular en A y B.
4) Con centro en O3 y radio O3N, trazamos otra semicircunferencia que corte
a la perpendicular en O1 y O2.
5) Los puntos O1, O2, O3 y O4, son los centros para construir el ovoide.
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
Dado su diámetro.
1) Con diámetro ST trazamos una circunferencia cuyo centro es el punto O 1.
2) Se dibuja una perpendicular a ST, que corte a la circunferencia en el punto
O2.
3) S y T, serán O3 y O4, junto con O1 y O2, serán los centros de los cuatro arcos
del ovoide.

Dado el eje y el diámetro.
1) Trazamos la semicircunferencia de diámetro ST cuyo centro es el punto O1.
2) Por el punto O1 trazamos la perpendicular a ST que corta a la
semicircunferencia en M.
3) Sobre la perpendicular anterior, a partir de M, nos llevamos el eje MN.
4) A partir de los puntos S, T y N, llevamos hacia el interior los segmentos SA, TB
y NO2, iguales al radio del arco menor del ovoide que se elige
arbitrariamente.
5) Trazamos las mediatrices de los segmentos AO 2 y BO2 que cortan a la
prolongación del diámetro ST en los puntos O3 y O4.
6) Los puntos O1, O2, O3 y O4, son los centros para construir el ovoide.
¿Para qué sirve?
Puedes encontrar óvalos y ovoides en problemas de tangencias y enlaces, especialmente en
las pruebas de acceso a la universidad, en trazados geométricos que formen figuras.
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6.3
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Volutas
Las volutas son curvas formadas por arcos de circunferencia tangentes entre sí, cuyos
centros son los vértices de un polígono base. Se denomina paso a la distancia que
existe entre dos puntos distanciados entre sí una vuelta.

Voluta de dos centros conociendo el paso.
1) Sobre una recta r se coloca un segmento AB que mida lo mismo que el
paso y hallamos su punto medio C
2) Con centro en C se traza la semicircunferencia de radio CA.
3) Con centro en A y radio AB se traza la semicircunferencia que corta a la
recta r en el punto D.
4) Con centro en C, trazamos la semicircunferencia que corte a r en E. Y así
sucesivamente.
5) Los centros de las semicircunferencias serán A y C alternativamente.

Voluta de varios centros conociendo el paso.
1) Dividimos el segmento AB en tantas partes iguales como centros tenga la
voluta, en este caso, 4.
2) Construimos un polígono regular cuyo lado mida lo
mismo que una de las divisiones anteriores, un
cuadrado MNPQ.
3) Prolongamos los lados del polígono.
4) Con centro en un vértice cualquiera, M, y radio MQ,
trazamos un arco que corte a la prolongación de
uno de los lados en R.
5) Con centro en N y radio NR, trazamos un arco RS
hasta que corte a la prolongación del siguiente lado
del cuadrado.
6) Con centro en P y radio PS, trazamos el arco ST.
7) Con centro en Q y radio QT, trazamos TU, completando una vuelta.
8) Continuamos el proceso hasta completar el número de vueltas deseado.
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Espirales
6.4

Espiral de Arquímedes conocido el paso.
1) Dibujamos una circunferencia con centro en O y radio OM (paso)
2) Dividimos la circunferencia en partes iguales, por ejemplo 16.
3) Dividimos el segmento OM en el mismo número de partes iguales que la
circunferencia y numeramos los puntos desde el centro.
4) Trazamos las circunferencias concéntricas con centro en O y radios O 1, O2,
O3…
5) Los puntos de intersección de las circunferencias con los radios O 1, O2, O3…
nos darán los puntos A,B,C, … que uniremos a mano alzada para obtener la
espiral.
6.5
Evolvente

La evolvente de un círculo es la curva que genera un punto fijo de una
tangente a la circunferencia, que se desplaza alrededor de la misma sin
resbalar.
1) Dibujamos una circunferencia de radio dado y la dividimos en un número
de partes iguales, por ejemplo en 8.
2) Numeramos los puntos.
3) Por los puntos anteriores trazamos tangentes a la circunferencia.
4) Sobre la tangente el punto 1, nos llevamos la distancia M 1.
5) Sobre la tangente del punto 2 , nos llevamos el doble de M 1, sobre la del
punto 3, M1 tres veces y así sucesivamente.
6) Vamos uniendo los puntos obtenidos a mano alzada hasta dibujar la
evolvente.
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6.6
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Curvas cíclicas.
Una curva cíclica es la figura que escribe el movimiento de un punto de una recta o
una circunferencia que rueda sobre otra recta o circunferencia.
La circunferencia o recta que se mueve, se llama RULETA o GENERATRIZ, y la recta o
circunferencia sobre la que se desplaza, se llama BASE o DIRECTRIZ.

Cicloide: Es la trayectoria de un punto P de una circunferencia ruleta que
rueda sobre una recta base.
1) Llamemos al punto P de la circunferencia de centro O.
2) Dividimos la circunferencia en partes iguales, por ejemplo 12, aunque 8 es
un número suficiente.
3) Sobre la recta base, a partir del punto P, nos llevamos la medida de la
circunferencia rectificada (rectificación de una circunferencia, tema 1) y
dividimos el segmento en tantas partes iguales como la circunferencia, en
este caso, 12. Obtenemos el segmento PP12.
4) Numeramos los puntos.
5) Por cada uno de los puntos de la ruleta, se trazan rectas paralelas a la
base.
6) Por cada puntos de división de la base, trazamos rectas perpendiculares
hasta que corten a la recta paralela desde el centro en O1,O2,O3,…
7) Dibujamos las circunferencias de centros O1,O2,O3,… donde las
perpendiculares vayan cortando a las paralelas correspondientes y así
obtendremos los puntos P1, P2,P3… que uniremos a mano alzada para
obtener la cicloide.
 Cicloide acortada y alargada: Teniendo los puntos P’ y P’’, interior y
exterior a la circunferencia, obtenidos al sumar o restar un segmento
determinado al radio de la circunferencia.
1) Dibujamos la cicloide normal.
2) Sobre los segmentos O1P1,O2P2, O3P3… y a partir de los centros
O1,O2,O3… nos llevamos las distancias OP’ y OP’’ obteniendo los
puntos P’1,P’2, P’3… y P’’1,P’’2,P’’3…
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Epicicloide: Es la curva que resulta cuando un punto P de una
circunferencia ruleta rueda sobre el exterior de otra circunferencia
base.
1) Dividimos la ruleta en un número de partes determinado, 8 en este caso.
2) Numeramos los puntos.
3) Para dividir en partes iguales la circunferencia base, debemos aplicar la
siguiente fórmula:

α=ángulo de la ruleta x radio de la ruleta / radio de la circunferencia base.
4) Una vez tengamos el ángulo deseado, lo trasladaremos a la circunferencia
base tantas veces como hayamos dividido la ruleta.
5) Numeraremos los puntos obtenidos como 1’,2’,3’…
6) Otra opción, que evitaría tener que calcular la fórmula sería rectificar el
segmento PO y trasladar la medida a la base tantas veces como divisiones
tenga la ruleta.
7) Con centro en O’ (centro de la circunferencia base) trazamos arcos que
pasen por los puntos en que se ha dividido la ruleta.
8) Trazamos el arco de centro O’ y radio O’O.
9) Prolongamos los radios de la circunferencia O’ con los puntos 1’,2’,3’…
hasta que corten al arco anteriormente trazado, de manera que
obtendremos los puntos O’1,O’2,O’3…
10) Hacemos centro en O1 y con radio O’1 trazamos un arco que cortará al
trazado desde O’ y con radio O’1, de este modo hallaremos P1.
11) Repetimos el proceso con todos los puntos y los uniremos a mano alzada,
obteniendo la Epicicloide.
 Epicicloide acortada y alargada:
Seguiremos los mismos pasos que para hallar la cicloide acortada y
alargada.
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Hipocicloide: Es una curva plana que se obtiene por el movimiento de un
punto P perteneciente a una ruleta que rueda por el interior de otra
circunferencia base.
1) Para hallar la hipocicloide seguimos el mismo procedimiento que para la
epicicloide, teniendo en cuenta que quedará “dentro” de la
circunferencia base, y para hallar el ángulo aplicaremos la siguiente
fórmula
α= ángulo de la circunferencia ruleta / 4.
O bien, rectificamos el arco P1 de la ruleta.
-
Tangentes a las curvas cíclicas.
Para trazar tangentes a la cicloide, epicicloide e hipocicloide, por un punto
indicado: 1) Trazamos una recta que una dicho punto, por ejemplo P5, con el
punto 5’ de la recta o la curva correspondiente.
2) Trazamos una perpendicular a la recta por el punto P5, que será la recta t
tangente a la curva.
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