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1. Trazados geométricos básicos
1.1. Conceptos fundamentales
Los elementos básicos del dibujo técnico son el punto, la recta y el plano.
El punto no tiene dimensión, podemos considerarlo como una posición del
espacio. Se representa con los símbolos +, x ó o, que hacen referencia a la
intersección de dos rectas y al centro de una circunferencia, respectivamente. Se
identifican con letras mayúsculas o números. Existe una serie de puntos que
cumplen una función u ocupan una posición que los diferencia de los demás
puntos. Los vértices, centros, puntos medios etc., son ejemplos de estos puntos
que se conocen como puntos notables.
La línea se puede considerar como un punto en movimiento continuo. Si el
movimiento es siempre en la misma dirección, la línea es recta, curva si
cambia continuamente de dirección y poligonal si cambia de dirección a
intervalos. Tiene sólo una dimensión, la longitud, que es el espacio recorrido
por el punto. Se representan con trazos de diferentes grosores según su
función en el dibujo y se nombran con letras minúsculas. Las rectas notables
son las más importantes de una figura. El movimiento de una recta en la
misma dirección determina un plano.
El plano es ilimitado, si limitamos el plano con rectas obtenemos figuras
planas como los polígonos. Los ángulos son porciones de planos limitados
por dos rectas. Las curvas cerradas son intervalos de planos limitados por
líneas curvas cerradas. Los planos se nombran con letras mayúsculas y los
intervalos de planos por sus puntos y rectas notables.
1.2. Lugares geométricos
Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada
condición que sólo pueden cumplir ellos. Es importante asimilar bien este
concepto para facilitar el razonamiento de los trazados geométricos.

La circunferencia la podemos definir como el lugar geométrico de los
puntos que equidistan de un funto fijo.


La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos.
La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas fijas.
Fig. 1
Fig. 2
El trazado de una circunferencia con el compás está basado en esta
definición, puesto que, uno de los extremos es un punto fijo y el otro se
desplaza a la misma distancia de éste recorriendo el lugar geométrico de los
puntos que distan la magnitud del radio, del centro de la circunferencia.
El trazado de la mediatriz de un segmento (Fig. 1) también se basa en esta
definición.
Con centro en los extremos del segmento, trazamos dos arcos de
circunferencias de radio arbitrario. Las intersección de los arcos son los
puntos 1 y 2 que determinan la mediatriz.
Con este mismo razonamiento prodríamos hallar la bisectriz de un ángulo
trazando dos paralelas equidistantes de los lados, puesto que el lugar
geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija una distancia
determinada, es una paralela trazada a esa distancia.
En la fig 2, se han unido dos puntos equidistantes de ambas rectas. El vértice
A, que pertenece a los lados, se encuentra a una distancia nula de ambos.

El arco capaz de un ángulo a respecto a un segmento AB, es el lugar geométrico de los
puntos desde los cuales se ve el segmento AB bajo un ángulo a. (Fig. 4)
Para hallarlo, trazamos la madiatriz del segmento AB. En uno de los extremos
dibujamos el ángulo complementario de a, es decir (90º - a). La intersección
del lado del ángulo con la mediatriz determina el centro O del arco capaz.
(Fig. 3)
Fig. 3
Fig. 4
2. Proporcionalidad
2.1. Proporcionalidad directa
Las magnitudes que varían de forma que su razón permanece constante son
directamente proporcionales.
Las magnitudes de los segmentos a, b, c, y d son directamente
proporcionales.
a/b =c/d = k
2.2. Teorema de thales
Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas sobre un par de
rectas concurrentes son directamente proporcionales, y ricíproco. (Fig. 5)
Basándonos en este teorema podemos dividir un segmento en partes iguales.
Trazamos una recta concurrente con el segmento dado. Tomamos n partes
iguales sobre la recta a partir del extremo A del segmento, siendo n el
número de partes en las que queremos dividir el segmento. Unimos el
extremo B con la última división de la recta y trazamos paralelas por las
demás divisiones. (Fig. 6)
Fig. 5
Fig. 6
2.3. Aplicaciones
Tercero proporcional
Sean los segmentos a y b, se llama tercero proporcional al segmento que verifica que:
a/b = b/c
Para hallarlo se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se
dibujan consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento b.
Uniendo los extremos de los segmentos a y b, y trazando una paralela por el
extremo del otro segmento b, se obtiene el segmento c. (Fig. 7)
Fig. 7
Fig. 8
Cuarto proporcional
Sean los segmentos a, b y c, se llama segmento cuarto proporcional al
segmento d que verifica que:
a/b = c/d
Para hallarlo, se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se
sitúan consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento c.
Uniendo los extremos de los segmentos a y c, y trazando por el extremo de b
una paralela, obtenemos el segmento d. (Fig. 8)
Medio proporcional
Sean los segmentos a y b, se llama medio porporcional el segmento c que
verifica que:
a x b = c²
Si nos fijamos, nos daremos cuenta que se trata de un caso de tercero
proporcional, puesto que la expresión anterior también se puede escribir
como:
a/c = c/b
Para su construción podemos aplicar tanto el teorema de la altura como el del
cateto, cuyos enunciados son los siguientes:
Teorema de la altura.- En un triángulo rectángulo, la altura es media
proporcional entre los segmentos en que divide la hipotenusa.
Teorema del cateto.- En un triángulo rectángulo, un cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.
Si aplicamos el teorema de la altura, situamos los segmentos a y b
consecutivamente. Por el extremo común levantamos una perpendicular.
Trazamos el arco capaz del ángulo de 90º para el segmento suma (a+b). La
intersección de la perpendicular con el arco capaz es el vértice del triángulo
rectángulo de hipotenusa (a + b) y de altura c. (Fig. 9)
Fig. 9
Fig. 10
Aplicando el teorema del cateto, situamos los segmentos a y b sobre la
misma recta con un extremo común. Por el extremo no común del segmento
menor levantamos una perpendicular, y seguidamente, trazamos el arco
capaz del ángulo recto para el segmento mayor a. El cateto c, cuya
proyección es el segmento b, es la media proporcional entre a y b. (Fig. 10)
2.4. Escalas
La razón de proporción entre las medidas de un dibujo y las magnitudes
correspondientes del objeto real que representa, se llama escala. Se
representa por una fracción cuyo numerador se corresponde con las medidas
del dibujo y el denominador con las medidas de la realidad.
E = Dibujo / Realidad
Escala natural es la que se ha aplicado a un dibujo que tiene las medidas de
la realidad. Se representa con la fracción E = 1:1.
Escala de ampliación es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son mayores
que en la realidad. Por ejemplo, E = 7:2
Escala de disminución es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son
menores que las de la realidad. Por ejemplo, E = 1:25.000.
Para aplicar una escala podemos multiplicar todas las medidas de la realidad
por la escala, puesto que de la fórmula de la escala se deduce que
Dibujo = E x Realidad
También podemos utilizar los escalímetros que existen en el mercado, que
son reglas graduadas según las escalas de uso más frecuentes. No obstante,
podemos contruir cualquier escala gráficamente.
Fig. 11
Supongamos que queremos construir la escala E = 7/5. Tomamos un
segmento de 7 cm reales y lo dividimos en 5 partes iguales aplicando el
teorema de Thales. Dividiendo una de las unidades obtenidas en 10 partes
obtenemos la contraescala para medir las décimas.
3. Construcción de polígonos
Los polígonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan
dos a dos.
Se clasifican en regulares, si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares.
Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulos
interiores mayor de 180º.
Las diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.
Fig. 12
3.1. Triángulos
Los Triángulos son polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es igual
a 180º.
Se clasifican, según sus ángulos en:



Equilateros. Si tienen tres lados iguales
Isósceles. Si tienen dos lados iguales.
Escalenos. Si tienen tres lados desiguales.
Fig. 13
Fig. 14
Según la magnitud relativa de sus lados en:



Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos.
Rectángulos. Si tienen un ángulo recto.
Obstusángulos. Si tienen un ángulo obstuso.
La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices y
minúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado
opuesto. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes.
(Fig. 14)
Rectas y puntos notables.
Mediatrices
Las mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en
un punto que equidista de los vértices llamado circuncentro, que es el centro
de la circunferencia circunscrita. (Fig. 15)
Bisectrices
Las bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo
llamado Incentro, que por equidistar de los lados es el centro de la
circunferencia inscrita. (Fig. 16)
Fig. 15
Fig. 16
Medianas
Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los
puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro, que es el
centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y
1/3 del puntop medio del lado opuesto. (Fig. 17)
Alturas
Las alturas son las rectas perpendiculares a los lados desde los vértices
opuestos. La intersección de las alturas es el Ortocentro. (Fig. 15)
A efectos prácticos, como altura, se consideran las distancias de los vértices
a los lados opuetos. Como generalidad, es la mínima distancia entre un punto
y una recta. Si la recta es fija, el vértice opuesto se encuetra en el lugar
geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija, o sea, una paralela
al lado a una distancia igual a la altura de ese lado.
Fig. 17
Fig. 18
Construcción de triángulos.
A raiz del último comentario, vuelvo a hacer hincapié en la importancia que
tiene el concepto de lugar geométrico para la resolución de la mayoría de los
problemas de trazado geométrico.
En la mayoría de los problemas de construcción de triángulos, uno de los
datos será alguno de los lados, el cual nos sevirá para fijar dos puntos y la
recta que definen. A partir de estos elementos fijos el problema se reduce a
determinar la posición del tercer vértice. Ese vértice se encontrá en la
intersección de dos lugares geométricos cuya condición podemos deducir de
los demás datos que nos den, como se puede observar en la tabla adjunta.
Tipos de datos
Datos
Lugar geométrico
Distancia entre puntos
Lados Medianas Alturas (vértice
fijo)
Circunferencia
Distancia entre recta y
punto
Alturas (lado fijo)
Paralelas
Adyacentes
Angulos Semiángulos(vértice fijo)
Recta de dirección
determinada
Opuestos
Angulo opuesto(lado fijo)
Arco capaz
Lineales
Angulos
Supongamos que queremos construir un triángulo dados los lados a y b, y la
altura ha.
Fig. 19
Fig. 20
Fijamos el lado a, obteniendo la posición de los vértices B y C. Nos queda
pues, determinar la posición del vértice A. La distancia de A a C es el lado b,
por lo que trazamos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de C la
distancia b (una circunferencia de centro C y r = b).
El otro dato es la altura del vértice A. Trazamos el lugar geométrico de los
puntos que equidistan de la recta a, la distancia ha. (Una paralela al lado BC
a una distancia ha). (Fig. 19)
Con el mismo razonamiento hemos construido un triángulo de que
conocemos el lado a, el ángulo a y la mediana na. Este ejercicio tiene cuatro
soluciones, considerando la doble solución del arco capaz, de las que se han
representado dos. (Fig. 20)
3.2.Cuadrilateros
Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se dividen en
paralelogramos y no paralelogramos. Una diagonal divide el cuadrilátero en
dos triángulos, lo que nos permite construirlos por triangulación.
Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Sus
diagonales se cortan en sus puntos medios y sus ángulos opuestos son
iguales.
Los no paralelogramos pueden ser trapecios, si tienen dos lados paralelos, y
trapezoides, si no tienen lados paralelos.
Construcción de cuadriláteros.
Como hemos visto anteriormente, los cuadriláteros pueden construirse por
triangulación, es decir, construyendo los dos triángulos en que quedan
divididos por una de sus diagonales.
Veamos algunos de los casos que pueden plantear cierta dificultad.
Cuadrado conociendo la diagonal.
Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro
en el punto medio de la diagonal dibujamos una circunferencia de radio OA.
Los puntos de intersección de la circunferencia y la mediatriz son los vértices
B y D del cuadrado. (Fig. 21)
El ángulo opuesto a la diagonal es recto y los vértices B y D equidistan de A y
C, razón por la cual trazamos el arco capaz del ángulo recto respecto a la
diagonal y la mediatriz de la misma.
Observa cómo el problema es el mismo que hallar las dos soluciones de un
triángulo rectángulo isósceles del que conocemos la base.
Rectángulo conociendo la diagonal y un lado
Este caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de
los lados porque los triángulos son escalenos. (Fig. 22)
Fig. 21
Fig. 22
Polígonos regulares
Método general para la construcción de polígonos conociendo
el lado.
Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono que
queremos construir. Seguidamente, hacemos centro en A y B,
respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a la
magnitud del lado, obteniendo el punto de intersección O.
Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA,
circunscrita de un hexágono de lado AB.
Trazamos el diámetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en
seis partes iguales. Cada división es el centro de la circunferencia circunscrita
de un polígono de lado AB y n número de lados. En la Fig. 23 se ha
representado el eneágono, trazando su circunferencia circunscrita de centro 9
y radio 9A.
Fig. 23
Fig. 24
Método general para la construcción de polígonos conociendo
el radio de la circunferencia circunscrita.
A partir de un diámetro AB, dibujamos una circunferencia.
Dividimos el diámetro en un número n de partes iguales, siendo n el número
de lados que ha de tener el polígono.
Haciendo centro en los extremos del diámetro, trazamos arcos de radio AB
que se cortan en los puntos M y N.
Uniendo los puntos M y N, obtenemos sobre la circunferencia los vértices del
polígono. (Fig. 24)
Métodos particulares
Triángulo, hexágono y dodecágono.
En el hexágono se cumple que el radio de la circunferencia circunscrita es
igual al lado.
Podemos dividir una circunferencia en seis partes iguales trazando dos arcos
de circunferencia con centros en los extremos de un diámetro y con el mismo
radio de la circunferencia. (Fig. 25)
Si se repite esta operación en otro diámetro perpendicular al primero, la
circunferencia queda dividida en 12 partes iguales.
Tomando sólo tres vertices no consecutivos del hexágono, se obtiene el
triángulo equilátero.
Fig. 25
Fig. 26
Cuadrado y octógono.
Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro partes
iguales. Si se trazan las bisectrices de los cuadrantes se obtienen ocho
partes iguales de la circunferencia. (Fig. 26)
Pentágono y decágono.
Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza la mediatriz de uno de sus
radios, OP por ejemplo. Con centro en el punto medio del radio trazamos un
arco de radio ME, que corta en F al diámero PQ. De esta manera obtenemos
los segmentos EF y OF, iguales a los lados del pentágono y el decágono
respectivamente. (Fig. 27)
Fig. 27
Fig. 28
Heptágono.
La mediatriz del radio OP de la circunferencia circunstrita corta a la
circunferencia en el punto N, siendo MN igual a la magnitud del lado del
heptágono. (Fig. 28)
Hexágono conociendo el lado.
Construimos el triángulo equilátero de lado igual a la magnitud del lado AB
del hexágono. El vértice O hallado es el centro de la circunferencia
circunscrita. (Fig. 29)
Fig. 29
Fig. 30
Pentágono conociendo el lado.
Se sitúa el lado AB dado prolongando uno de sus extremos. (Fig. 30)
Se levanta una perpendicular por el extremo B y se traslada sobre ella la
magnitud del lado para obtener el punto M.
Con centro en el punto medio del lado, trasladamos el punto M sobre la
prolongación de AB determinando el punto F.
La distancia AF es igual a la magnitud de la diagonal de pentágono.
Con las medidas del lado y la diagonal hallada contruimos el pentágono por
triangulación.
4. Curvas cónicas
Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de
revolución. (Fig. 31)
Fig. 31
Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira
alrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto V.
Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la
superficie cónica, se pruducen las distintas curvas cónicas. (Fig. 32)
Fig. 32
Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de la
superficie cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una parábola o
una hipérbola.
4.1. Elipse
Elementos de la elipse.
Las elipses poseen los siguientes elementos: (Fig. 33)
Ejes de simetría. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor del eje
mayor AA' es 2a y el del eje menor BB' 2b. El punto de intersección de los
ejes es el centro de simetría.
Focos. Son dos puntos fijos F y F', situados sobre el eje mayor y simétricos
respecto al eje menor. FF' es igual a 2c.
Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de la
elipse y los focos. La suma de los radios vectores correspondientes a un
mismo punto es igual a 2a.
Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipse y
radio igual al semieje mayor.
Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos y
radio igual a 2a.
Fig. 33
Fig. 34
La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geométrico
de los puntos del plano cuya suma de distáncias a dos puntos fijos, llamados
focos, es constante e igual al eje mayor 2a.
Sea Pn un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:
PnF + PnF' = 2a
Para determinar los focos F y F' de una elipse conocidos los ejes, se hace
centro en un extremo del eje menor, B por ejemplo, y se traza un arco de
radio igual al semieje mayor a. La intersección del arco con el eje mayor son
los focos de la elipse. (Fig. 32)
Sabiendo que B es un punto de la elipse, se cumple que:
BF + BF' = 2a, como BF=BF', por estar B en un eje de simetría, resulta que
BF=BF'=a.
Trazado de la elipse.
Método de los puntos.
Este método se basa en la definición de la elipse.
A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse, dividimos el eje
mayor AA', en segmentos complementarios cuya suma es 2a.
A1 + 1A' = A2 + 2A' = A3 + 3A' = 2a
Estos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto.
Hallamos los puntos que distan A1 de un foco y 1A' del otro, y así, con los
demás segmentos. (Fig. 35)
El trazado de la elipse se realiza a mano alzada.
Fig. 35
Fig. 36
Método de afinidad
Dibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en O y radios los
semiejes de la elipse. (Fig. 36)
Por los extremos de los diámetros de la circunferencia mayor trazamos
paralelas al eje menor y por los extremos de los diámetros de la menor,
paralelas el eje mayor.
Los puntos de intersección pertenecen a la elipse.
4.2. Parábola
La parábola es una curva abierta y plana. Se define como el lugar geométrico
de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una
recta fija llamada directriz. Siendo Pn un punto cualquiera de la parábola, se
cumple que:
PnF = Pnd
La parábola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, y
por tanto, sólo tiene un foco y un vértice real. La circunferencia principal tiene
su centro en el infinito y pasa por el vértice, es pues, la recta perpendicular al
eje mayor que pasa por el vértice. La circunferencia focal es una recta que
coincide con la directriz, ya que tiene su centro en el foco del infinito. El
vértice equidista del foco y de la directriz. (Fig. 37)
Fig. 37
Fig. 38
4.3. Hipérbola
La hipérbola es una curva abierta y plana de dos ramas. Se define como el
lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos
puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. Siendo Pn un punto
cualquiera de la hipérbola, se cumple que:
PnF - PnF' = AA' = 2a
La hipérbola tiene dos ejes de simetría, el eje real AA' = 2a y el eje imaginario
BB' = 2b. Se cortan en el centro de simetría O. La circunferencia principal
tiene su centro en O y r = a. Las circunferencias focales tienen los centros en
F y F' y r = 2a.
Los focos se determinan sobre el eje real con una circunferencia de centro O
y r = AB. (Fig. 38)
La hipérbola y la parábola, al igual que la elipse, se construyen por el método
de los puntos aplicando las propiedades de sus definiciones.
5. Tangencias y enlaces
5.1. Conceptos básicos
Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuando
tienen un único punto común.
En una relación de tangencia entre una recta y una circunferencia, se cumple
que:


El radio de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.
La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio.
Fig. 39
Cuando dos circunferencia son tangentes, se cumple que:


Sus centros están alineados con el punto de tangencia.
La suma (si son exteriores) o diferencia (si son interiores) de los radios es igual a la distancia
entre sus centros.
De las propiedades anteriores se desprende, que el lugar geométrico de los
centros de las circunferencias tangentes a una recta en un punto, es la
perpendicular a la recta en ese punto.
Y que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a
una circunferencia en un punto de ella, es la recta definida por centro y el
punto de tangencia.
Potencia de un punto respecto a una circunferencia.
Si trazamos un haz de rectas secantes desde un punto P a una
circunferencia, el producto de los segmentos comprendido entre el punto P y
los puntos de intersección de las rectas con la circunferencia.
La potencia es igual al cuadrado de la distancia del punto P, al punto de
tangencia de una recta tangente a la circunferencia, trazada desde P. (Fig.
40)
PA x PA' = PB x PB' = ... = PN x PN' = PT²
Fig. 40
Fig. 41
Eje Radical es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia
respecto a dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias secantes, es la recta que une los puntos
de intersección de ambas circunferencias.
El de dos circunferencias tangentes, es la recta tangente común a ambas
circunferencias en el punto de tangencia.
Para hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores se traza una
circunferencia auxiliar secante a las dadas. Por el centro radical de las tres
circunferencias trazamos una perpendicular a la recta que una los centros de
las circunferencias exteriores. (Fig. 41)
Centro Radical es el punto que tiene igual potencia respecto a tres
circunferencias. Se encuentra en la intersección de los ejes radicales de las
circunferencias tomadas dos a dos.
5.2. Casos.
La mayoría de los problemas de tangencia se resuelven aplicando los
conceptos de lugares geométricos, por suma y diferencia de radios, y por
potencia.
Se pueden pedir rectas tangentes a circunferencias, o circunferencias
tangentes a rectas y, o circunferencias. Cuando se piden circunferencias, se
pueden fijar tres condiciones, pasar por un punto, ser tangente a una recta y
ser tangente a otra circunferencia. La combinación de estas tres condiciones
nos dan 10 casos, que se representan por combinación de las iniciales P, R,
y C. Cuando no se fijan las tres condiciones es necesario dar algún dato,
como el radio o los puntos de tangencia.
Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.
Con centro en el punto medio del segmento OP, se traza una circunferencia
que pase por los extremos O y P. Las intersecciones de la circunferencia
auxiliar con la circunferencia dada son los puntos T1 y T2, de tangencia. (Fig.
42)
Esto se explica, por que al ser recto el ángulo que forman el radio y la
tangente en el punto de tangencia, éste debe encontrarse en el arco capaz
del ángulo recto respecto al segmento OP.
Fig. 42
Fig. 43
Rectas tangentes comunes a dos circunferencias.
Trazamos una circunferencia auxiliar, concéntrica con la mayor, de radio igual
a la diferencia de los de las dadas. Otra circunferencia que pase por los
extremos de OO' y centro en su punto medio, la corta en los puntos A y B.
Los radios OA y OB, determinan los puntos de tangencia sobre la
circunferencia mayor. Los radios que pasan por los puntos de tangencia de
ambas circunferencias con la misma recta, son paralelos. (Fig. 43)
Si la primera circunferencia auxiliar es igual a la suma de los radios se
obtienen las tangentes interiores. (Fig. 44)
Fig. 44
Fig. 45
Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia y una
recta.
Si el dato es el radio r' de las circunferencias, los centros distarán r' de la
recta, y r + r' ó r - r' del centro de la circunferencia dada. Las intersecciones
de los lugares geométricos determinan los centros de las soluciones. (Fig. 45)
Si el dato es el punto de tangencia en la circunferencia, la tangente a la
circunferencia en ese punto es el eje radical de las soluciones. La
intersección del eje radical con la recta dada es centro radical de las tres
circunferencias, es decir, la distancia de ese punto a los puntos de tangencia
es la misma. (Fig. 46)
Fig. 46
Fig. 47
Si el dato es el punto de tangencia en la recta, los centros se encuentran en
la perpendicular a la recta por dicho punto. Si trazamos la circunferencia
tangente a una recta auxiliar, paralela a la recta dada a una distancia igual al
radio de la circunferencia dato, pasando por el centro C, y posteriormente
restamos el radio, obtenemos una de las soluciones. (Fig. 47)
Caso PPP.
El centro de la circunferencia equidista de los tres puntos, por tanto, se
encuentra en la intersección de las mediatrices de los segmentos formados
por los puntos. (Fig. 48)
Fig. 48
Fig. 49
Caso PPR.
La recta que pasa por los puntos dados es el eje radical de las soluciones y
de la circunferencia auxiliar trazada por A y B, El punto M es el centro radical
de las tres circunferencias, por tanto, tiene igual potencia respecto a las tres.
Trazando una recta tangente a la circunferencia auxiliar obtenemos la
potencia. Si llevamos el segmento MT, sobre la recta, determinamos los
puntos T1 y T2. De esta manera tenemos tres puntos de cada solución. (Fig.
49)
Fig. 50
Fig. 51
Caso PRR.
Si se dibuja el simétrico del punto dado respecto a la bisectriz, el caso se
resuelve como el PPR, siendo R cualquiera de las rectas.
Caso RRR.
Los centros de la soluciones son los cuatro puntos de intersección de las
bisectrices de los ángulos que forman las tres rectas. (Fig. 50)
Caso PPC.
Se traza una circunferencia auxiliar que pasando por los puntos A y B dados,
corte a la circunferencia también dada. La recta que une los puntos de
intersección de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada, es el eje
radical de ambas circunferencias; y la recta AB, es el eje radical de las
soluciones y de la auxiliar. El punto M, es por tanto, el centro radical de todas
las circunferencias.
Las tangentes trazadas a la circunferencia dada, desde el punto M,
determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia.
Como los puntos de tangencia están alineados con los centros de las
circunferencias, los centros de las soluciones se hallaran en los radios de la
circunferencia dada, que pasan por los puntos de tangencia T1 y T2 .
Evidentemente, los centros de las soluciones también se encuentran en la
mediatriz de AB. (Fig. 51)
5.3. Enlaces
Enlaces son las uniones armónicas por medio de tangenias entre distintas
figuras.
Para resolver problemas de tangencia hay que tener presente las dos
propiedades fundamentales de las tangencias:


El radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
Los centros de dos circunferencias tangentes están alineados con el punto de tangencia.
Trazados de enlaces
Enlace de dos rectas.
Para definir el problema se necesita conocer el radio o un punto de tangencia.
Si conocemos el radio, trazamos paralelas a las rectas dadas, a una distancia
igual al radio, obteniendo el centro del arco en su intersección. Los puntos de
enlace se hallan trazando perpendiculares por el centro del arco a las rectas
tangentes.
Si el dato es el punto de tangencia, la perpendicular trazada por el punto de
tangencia a la recta, y la bisectriz del ángulo que forman, se cortan en el
centro del arco. (Fig. 52)
Fig. 52
Fig. 53
Enlace de dos arcos.
Dándonos el radio, las circunferencias concéntricas de radios iguales a la
suma y diferencia, determinan los centros del arco de enlace. Sabemos que
los puntos de enlace están alineados con los centros. (Fig. 53)
Enlace de arco y recta.
Las paralelas a la recta a una distancia igual al radio dado y las
circunferencias concentricas de radios la suma y diferencia, determinan los
centros. (Fig. 54)
Fig. 54
Fig. 55
5.4. Curvas técnicas
Construcción del óvalo conociendo los ejes.
El óvalo es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferencia
tangentes entre sí.
Se transporta la magnitud del semieje mayor sobre el semieje menor y
obtenemos el punto E. Con centro en C y radio CE determinamos sobre la
recta AC, el punto F. La intersección de la mediatriz del segmento AF con los
ejes del óvalo, son centros de dos de arcos de la curva. Los otros dos se
obtienen por simetría, y los puntos de tangencia por intersección de las rectas
que unen los centros con los arcos. (Fig. 56)
Fig. 56
Fig. 57
Construcción del ovoide del que se conoce el eje menor.
La mediatriz del eje AB, al cortar con la circunferencia de diámetro la
magnitud de dicho eje y centro su punto medio, determina el centro de uno de
los arcos del ovoide. Los otros centros son los extremos y el punto medio de
AB. (Fig. 57)
Espiral de dos centros.
Con centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ellos, se traza un
primer arco que determina, sobre la recta que los une, el primer punto de
tangencia.
La distancia del segundo centro al punto de tangencia hallado, es el radio del
segundo arco. (Fig. 58)
Fig. 58
Fig. 59
Espiral de tres centros.
Prolongamos los lados de un triángulo equilátero cuyos vértices son los
centros de la espiral. Hacemos centro en el primer vértice con radio igual al
lado y trazamos el primer arco hasta cortar la prolongación del primer lado.
(Fig. 59)