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Escuela Preparatoria Oficial No. 15
Profr. Gilberto Ángel Buendía Cordero.
Asignatura: Trigonometria
Turno: Matutino
Define los siguientes conceptos.
Trigonometría
Magnitud
Perimetro
Ángulo.
Grado
Area
Un ángulo es positivo
Radian
Semejantes
Un ángulo es negativo
Sexagesimal
Congruentes
Vértice
Centesimal
a) Define Los Conceptos, Dibuja Los angulos y anota las caracteristicas
ANGULOS
DEFINICIÓN
Figura
Característica
Ángulo.
Es la abertura formada por dos semirrectas unidas
en un solo punto llamado vértice.
Un ángulo es positivo
Un ángulo es negativo
b) Por su magnitud los ángulos se clasifican en:
Ángulo agudo.
AOB  90º
Ángulo recto:
AOB = 90º
Ángulo obtuso.
90º  AOB  180º
Ángulo colineal o llano.
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Profr. Gilberto Ángel Buendía Cordero.
Asignatura: Trigonometria
Turno: Matutino
AOB = 180º
Ángulo entrante.
180º  AOB 
360º
Ángulo perígono.
AOB = 360º
b) Por su posición los ángulos se clasifican en:
Nombre y definición
figura
Ángulos adyacentes
Observaciones
Son ángulos
_____________:
a,b ; b,c ; c,d ; d,a
Ángulos opuestos por el vértice.
Ángulos opuestos por
_______
AOB = COD
AOD = BOC
Ángulos Complementarios.
AOB + BOC = 90
33 + 57 = 90
Ángulos suplementarios.
AOB+BOC+COD = 180°
48° + 80.5° + 51.5° =
180°
Ángulos conjugados.
AOB + BOA =
360°
Ejercicio: en las siguientes figuras encontrar el valor de “ x “.
a)
b)
c)
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d)
Asignatura: Trigonometria
Turno: Matutino
e)
f)
g)
i)
h)
J)
Considerando que el ángulo de 1° =

180 
radianes, para reducir a radianes un ángulo, expresado en
grados sexagesimales es suficiente con multiplicar el número de grados por la constante

180 
.
Ejemplo: convertir en radianes 40°, 75°, 150°, 215°, 10°.
(40°)(
(75°) (

180 

180 
(150°) (
(215°)(
)=
2
9
)=
5
12

180 

180 
)=
5
6
)=
43
36
3
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

(10°) (
)=
18
180 
Asignatura: Trigonometria
Turno: Matutino
Ejemplo 1: Convertir en radianes 65°30´40´.
Primer paso: se pasa a decimales
65°30´40´´= 65° + 30°/60 + 40/3600 = 65.5111°
Segundo paso: se aplica el procedimiento anterior.
(65.5111°) (

180 
) = (65.5111)(3.1416)/180 = 1.1433 rad
Ejemplos 2: Convertir 28° 6´3´´ centesimales en grados sexagesimales.
Primer paso: convertir 28° 6´3´´ a decimal, de la forma siguiente:
28° 6´3´´ = 28° + 6°/ 100 + 3°/10000 = 28.0603 g.c
Segundo paso, por regla de tres:
360° = 400g.c
X
= 28.0603 g.c
X = 25.2542 °
Para pasar a minutos:
25.25427° = 25° + 0.2542(60´) = 25°15.252´
Para pasar a segundos:
25.25427 = 25° + 15´ + 0.252(60´´) = 25° + 15´+ 15´´
el resultado final es : 25°15´15´´
Ejemplo 3: Convertir 25° 15´ 15´´ sexagesimales a centesimales.
Primer paso: se pasa a decimal
25°15´15´´ = 25° + 15°/60 + 15°/3600 = 25.2541°
Segundo paso: Por regla de tres:
360° = 400 g. c
25.2541 = X
X = 28.0601 g.c
Para pasar a minutos:
28.0601 g.c = 28 g.c + 0.0601 (100) = 16 g.c + 6.01 m.c
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Turno: Matutino
Para pasar a segundos:
28.0601 g.c = 28 g.c + 6 m.c + 0.01(100)
28.0601 g.c = 28 g.c + 6 m.c + 1 s.c
El resultado final es: 28° 6´ 1´´ centesimales.
Ejercicio:
Convertir a centesimales:
1.
27°30´ sexagesimales
2.
42°50´ sexagesimales
3.
52°54´12´´ sexagesimales
4.
53° sexagesimales
5.
27° sexagesimales
Convertir a sexagesimales:
1.
58°88´88´´ centesimales
2.
30° centesimales
3.
58°88´13´´ centesimales
4.
47°59´25´´ centesimales
5.
30°55´55´´ centesimales
Convertir a radianes:
1.
45° sexagesimales
2.
5° sexagesimales
3.
25°30´ sexagesimales
4.
5.
8°40´ sexagesimales
5°52´25´´ sexagesimales
6.
26°50´30´´ sexagesimales
7.
12°6´45´´ sexagesimales
8.
8°30´20´´ sexagesimales
9.
70° centesimales
10. 350° centesimales
11. 85°40´53´´ centesimales
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12. 115° 45´30´´ centesimales
Asignatura: Trigonometria
Turno: Matutino
13. 55°55´55´´ centesimales
Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo arco tiene longitud
igual al radio.
- 360º = 2  radianes (una vuelta completa)
- 180º =

radianes (media vuelta)
180
- Un ángulo de 1 radian tiene


radianes (un cuarto de vuelta)
2

- Como 180º =  rad, resulta que 1º =
rad
180
- Un ángulo recto mide
= 57,29578 grados = 57º 17’ 45”
Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:
180º  rad
 ejemplo: 40º a rad

xº
y
180º  rad
40º  rad 4 rad 2 rad


 y=

180º
18
9
40º
y
Ejercicios:
Transformar el ángulo de grados a rad:
1) 15º
6) 90º
2) 35º
7) 60º
3) 80º
8) 45º
4) 150º
9) 30º
5) 200º
Transformar el ángulo de rad a grados:
1)

5
2)
rad

10
3)
rad
3 rad
4)
17
rad
4
Transformar de radianes a grados. Y ubicar en la circunferencia los radianes de acuerdo a su equivalencia en
grados.
Radianes
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
Grados
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Turno: Matutino
Un triángulo se denota colocando tres letras mayúsculas en sus vértices y en los lados opuestos se colocan las letras
minúsculas que correspondan en conclusión podemos decir que un triángulo esta compuesto por tres elementos que son: 3
ángulos, 3 lados y tres vértices
Identifica en las siguientes triangulo los angulos, lados y vertices.
El perímetro de un triangulo lo podemos obtener sumando el valor de sus tres lados.
Los triángulos se pueden clasificar:
1. Por la magnitud de sus lados.
2. Por la magnitud de sus ángulos.
a) Define Los Conceptos y anota las caracteristicas
Por la magnitud de sus lados tenemos:
DEFINICIÓN
Figura
Característica
Equilátero
Isósceles.
Escaleno.
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Por la magnitud de sus ángulos:
DEFINICIÓN
Característica
Figura
Obtusángulo.
a  b  c
Tres lados diferentes
 α > 90°
un ángulo mayor de 90°
Acutángulo.
a  b  c
Tres lados diferentes
α  β   γ < 90°
Tres ángulos diferentes
Rectángulo.- Este tipo de triángulo tiene un ángulo recto (90°), mientras que sus otros dos lados tienen nombres especiales.
Características:
a , b = se llaman catetos, son los lados que
forman el ángulo recto.
c = es la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo
recto.
Ejercicios:
1. Traza correctamente los siguientes triángulos y escribirles todos sus elementos.
a) Rectángulo.
b) Acutángulo
c) Acutángulo y equilátero
d) Equilátero
e) Obtusángulo y escaleno
f) Isósceles
g) Obtusángulo
h) Rectángulo e isósceles
i) Escaleno
2. Escribe el nombre de cada uno de los siguientes triángulos, según la magnitud de sus lados. También todos sus
elementos.
a)
______________________________
b)
___________________________
c)
________________________
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3. Dar el nombre de cada triángulo según la medida de sus ángulos interiores.
_____________________
4. Calcular el valor de “x” en el siguiente
Triángulo Isósceles.
_______________________
_______________________
5. Calcular el valor de “x” en el siguiente
Triángulo rectángulo
Triángulos semejantes.
Se dice primeramente que dos figuras u objetos son semejantes cuando tienen la misma forma así como
ciertas característica, por lo cual al decir que dos triángulos son semejantes es porque tienen sus ángulos respectivamente
iguales así como sus lados correspondientes, proporcionales.
Ejemplo.
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Para considerar que dos triángulos son semejantes es suficiente que se cumplan algunas condiciones.
Primer caso.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.
Segundo caso.- Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los dos lados que lo forman.
Tercer caso.- Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.
Cuarto caso.- Si desde el vértice del ángulo recto de un triangulo se traza una perpendicular hasta la hipotenusa, los
triángulos que se forman son semejantes al triangulo dado y semejantes entre sí. el triángulo rectángulo cuyas medidas
son: 6 cm. y 8 cm. de los catetos y 10 cm. de la hipotenusa, se establece que la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa.
En forma general establecemos que:
c2 =a2+b2
Ejercicio:
La siguiente figura, muestra la forma de un jardín rectangular, se requiere cubrir la mitad de la superficie con
pasto, trazando una diagonal de extremo a extremo de la superficie de la misma. Calcular la diagonal que divide el área del
jardín.
a = 25 m
b = 18 cm
Ejercicio:
La sombra de una torre es de 80 pies, y la distancia del punto más alto de la torre al punto donde termina la
sombra que se proyecta es de 230 pies. ¿Cuál es la altura de la torre?
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Turno: Matutino
230
pies
80 pies
Ejercicio:
Michael Jordan mide 2.10 m de estatura, si se encuentra en la Alameda Central, y en ese momento la
proyección de su sombra es de 3.75 m, ¿cuál es la distancia de su sombra?
Ejercicios.
1. Calcular el valor de la hipotenusa o el cateto según sea el caso.
a) a = 5 cm.
b = 12 cm.
c=
b) b = 7 cm.
c = 25 cm.
a=
c) a = 29.4 Mm. c = 57.1 Mm. b =
d) a = 15 cm.
e) a = 49 m
f) b = 1.5 Km.
c = 17 cm.
b = 69 m
c = 0.5 Km.
b=
c=
a=
2. Calcular la
altura de un
triángulo
isósceles, si su
base mide 6 cm. y cada uno de los lados iguales mide 4 cm.
3. Calcular la altura de un triángulo equilátero que mide 8 cm. de lado.
4. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado igual a 1 cm?
5. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal es igual a 9 cm.?
6. Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de 15 m de altura se desea poner 4 tirantes, la base de los
tirantes se encuentra a una distancia de 9 m de la base de la antena, ¿cuántos metros cable de acero se necesitan?
Razones trigonométricas.
Definición de las razones trigonométricas
En geometría Euclidiana encontramos que existen, respecto al estudio de los triángulos, tres relaciones
significativas.
1. Relación entre los ángulos interiores de un triángulo.
2. Relación entre los lados de un triángulo rectángulo.
a) La primera, aplicable a cualquier triángulo, expresa:
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“Para todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es siempre igual a dos
ángulos rectos o 180° “.
b) La segunda relación es aplicable sólo a “Triángulos rectángulos”, y se conoce como el Teorema de Pitágoras.
3. Relación entre un ángulo y lados de un triángulo rectángulo.
En la lección correspondiente a semejanza vimos que una razón es el cociente entre dos cantidades.
Ejercicio 1. En cada triángulo encuentra la razón que se indica.
Sen A =
Sen N =
Sen X =
Tan X =
Cos A =
Cos N =
Sen Y =
Tan Y =
Tan A =
Tan N =
Cos X =
Cos Y =
Ejercicio 2. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A y B) de cada triángulo
rectángulo que aparecen abajo.
a)
b)
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c)
Turno: Matutino
d)
Razones trigonométricas en un ángulo en posición normal.
Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las
“x” y el radio vector que va del punto P al origen del sistema de referencia.
Las relaciones trigonométricas también son muy importantes ya que se utilizan mucho para resolver problemas de aplicación
real.
Ejemplo. Un silvicultor de 1.65 m de altura se encuentra a 50 m de la base de un árbol y observa que el ángulo entre el suelo
y la punta del árbol es de 55°. Estime la altura del árbol.
h=
55°
50 m
Como se observa en la figura, se puede formar un triángulo rectángulo para resolver el problema y la altura
es el cateto opuesto al ángulo proporcionado.
Utilizando la función tangente tenemos
tan 55° =
h
50 m
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Turno: Matutino
Despejando la altura
tan 55° ( 50 m ) = h
Según los datos proporcionados la función
trigonométrica que podemos utilizar es la
tangente para calcular el cateto opuesto que es
la altura del árbol.
Realizando operaciones el resultado es:
h = 40.95 m
Ejercicios.
1.
a)
Resolver los siguientes triángulos rectángulos.
b)
c)
En las siguientes figuras calcular únicamente los datos que se piden
a) el ángulo β =
2.
b) “x “ y
“y “.
Calcule los valores exactos de las funciones trigonométricas del ángulo θ.
1 ) sen θ =
6
5
2 ) cos θ =
8
17
3 ) cot θ =
7
23
4 ) csc θ = 4
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3. Obtenga el valor aproximado de los siguientes ángulos en decimales.
1 ) sen 22° 56' 36' '
2 ) tan 49° 53' 48.59' '
Turno: Matutino
3 ) sec 67° 50' 47' '
4.
Un cohete se dispara a nivel del mar y sube a un ángulo constante de 75° a una distancia de 5000 m. Calcule la altura
que alcanza.
5.
Un aeroplano despega formando un ángulo de 10° y viaja a una velocidad de 225 m/s ¿qué tiempo tarda
aproximadamente en llegar a una altura de 15000 m.
6.
Cuando un globo aerostático sube verticalmente, su ángulo de elevación visto por una persona en el suelo es de 19° 20’
y por otra en el lado contrario es de 48° 55’ y la distancia que separa a estas dos personas es de 500 m. Calcular la
altura del globo.
7.
Una caja rectangular tiene las dimensiones 8 cm x 6 cm x 4 cm. Calcule con exactitud el ángulo θ que forma una
diagonal de la base y la diagonal de la caja, como se ve en la figura.
la igualdad conocida como Ley de Senos, y la representamos de la siguiente manera:
sen α

a
sen β
sen γ

b
c
La Ley de los Senos se utiliza para resolver triángulos (escalenos, isósceles equiláteros, etc.), en los
siguientes casos:
A) Cuando conoces dos ángulos y un lado adyacentes a uno de ellos.
B) Cuando conoces dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.
Ejemplo del caso 1: Calcular los lados y ángulo que falta en el siguiente triángulo.
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El valor de  γ lo encontramos por la diferencia:
Turno: Matutino
24° + 132° +  γ = 180°
 γ = 180° - 24° - 132°
 γ = 24°
Para calcular el lado a buscamos un lado y un ángulo conocidos que se correspondan, en este caso pueden ser el lado c y
el ángulo C.
a
c

sen α
sen γ
a
350 cm

sen 24
sen 24
a
350 cm ( sen 24 )
sen 24
Si despejamos a, tenemos:
a = 350 cm.
350 cm

sen 24
b
sen 132
Para calcular el lado b se utiliza el mismo procedimiento.
b
350 cm ( sen 132 )
sen 24
b  639.4818 cm
Trazo correcto del triángulo con todos sus lados y ángulos.
Ejercicio del caso 2: calcular los lados y ángulos que faltan en el siguiente triángulo.
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Para obtener el ángulo α utilizamos
Turno: Matutino
sen α
sen γ

a
c
Sustituyendo los datos que tenemos
sen α
sen 42

3.6 cm
3.125cm
Despejando sen α
sen α 
sen 42 (3.6 cm)
3.125cm
Despejando α
α  50.4292
α  sen-1 0.7708
α  50 25' 45.27' '
Para obtener el ángulo β despejamos
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
β = 180° - 50° 25’ 45.27’’ - 42°
β = 87° 34’ 14.73’’
Para obtener el lado b
b
c

sen β
sen γ
Sustituyendo datos y despejando el lado b
b 
3.125 cm ( sen 87 34' 14.73' ' )
sen 42
b  4.66 cm
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Turno: Matutino
Trazo correcto del triángulo con todos sus lados y ángulos
Ejercicios: calcula los lados y ángulos que faltan y trázalos correctamente.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
α
α
α
α
β
β
γ
α
β
β
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
83°
41°
51° 40'
41°
27° 40'
50° 40'
81°
32.32°
113° 40'
121.624°
β
β
β
γ
γ
γ
c
c
b
b
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
5° 15'
b = 81 cm.
60° 40'
a = 13.5 cm.
62°
b = 24 m
76°
a = 10.5 m
52° 10'
a = 32.6 m
70° 40'
c = 537 m
11 m
b = 12.5 m
574.3 cm. a = 263.4 cm.
248 cm. c = 195 cm.
0.283 mm c = 0.178 mm
* Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8m cuando el ángulo de elevación del sol es de 53º. Haz un
dibujo del problema.
* Un avión se encuentra a 2300m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué distancia debe recorrer el
avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º? Haz un dibujo del problema
* Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo de elevación
de 43º?. Haz un dibujo del problema
* La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué altura alcanza el cometa?
* Según los datos de la ilustración. ¿cuál es la distancia que separa al velero de la costa?
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