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República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno o la Alumna: _____________________________Grupo:10º ______
Sección: Bachiller Industrial  Segundo Ciclo Industrial
Especialidad: _____________________
Tel.: 958-5804
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 11
Razones Trigonométricas
11.0 ÁREA: Trigonometría
11.1 OBJETIVOS
 Aplicar la trigonometría para resolver problemas de la vida cotidiana, relacionada con
los triángulos.
 Resolver problemas sobre triángulos rectángulos.
11.2 INTRODUCCIÓN
La Trigonometría es una rama o área de la Matemática,
cuyo origen proviene de dos vocablos o palabras griegas,
las cuales son: trigonon (que significa triángulo) y metron
(que significa medida), entonces su significado etimológico
es “medida de triángulos”.
Se considera a Hiparco de Nicea (180-125 a.C.) como el
padre de la trigonometría debido principalmente por su
hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los
ángulos de un triángulo.
Además, se le acredita la
compilación de las primeras Tablas Trigonométricas. Su
obra fundamental fue el tratado que en 12 libros escribió sobre las cuerdas del círculo. Es
considerado por algunos como el Pionero de la Autonomía Trigonométrica.
Fueron muchos los matemáticos que contribuyeron al desarrollo y consolidación de esta disciplina
matemática de esta disciplina matemática, tales como: Menelao, Claudio Ptolomeo y Aristarco
de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos.
Originalmente, la Trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica)
de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus
tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos
sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres
elementos faltantes.
De ahí que se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno,
tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los
lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que
puede tomar el ángulo que está entre: [0°, 180°].
Sin embargo, el estudio de la Trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: en la
Geometría, la navegación, la agrimensura, la astronomía; sino también, para el tratamiento
matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente
alterna, la termodinámica, la investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el
concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una
función de ángulos.
En términos generales, la Trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno,
coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Las cuales, intervienen directa o
indirectamente en las demás ramas de la Matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos
donde se requieren medidas de precisión, pues su campo de estudio se ha ido enriqueciendo
progresivamente hasta llegar a ser un instrumento indispensable en el Análisis Matemático, en
la Física y en varias ramas de la Ingeniería. La Trigonometría se aplica a otras ramas de la
Geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
El
instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
11.3 ORIGENES DE LA TRIGONOMETRÍA
Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los
teoremas sobre las proporciones de los lados de los
triángulos semejantes. Pero las sociedades pre-helénica
carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo
tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su
medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.
Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados
sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de
los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia
angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de una interpretación de la tablilla
cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a C), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios
tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una
tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones segundo grado, o una tabla
trigonométrica.
Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la
trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba
Material de Trigonometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas
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egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C), contiene el siguiente problema relacionado con la
trigonometría:
"Si una pirámide es de 250 codos de alto y el
lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál
es su Seked?"
La solución, al problema, es la relación entre la mitad
del lado de la base de la pirámide y su altura. En
otras palabras, la medida que se encuentra para la
seked es la cotangente del ángulo que forman la
base de la pirámide y su cara.
A diferencia de la Aritmética, el Álgebra y la Geometría, que como se sabe, alcanzaron gran
desarrollo desde la época de los Babilonios, los Egipcios y los Griegos; la Trigonometría logra su
madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable, pues para desenvolverse
plenamente necesita de una Geometría ya razonada y sobre todo del Álgebra sistematizada para
darle toda la flexibilidad y desarrollo contundente.
En el siglo XV, la Trigonometría, fue desarrollada como una disciplina dentro de la Matemática
por Johann Muller (1436–1476). Este desarrollo creó un interés en la Trigonometría por toda
Europa y tuvo el efecto de colocar a este continente en una posición de prominencia con respecto
a la Astronomía y la Trigonometría.
En el año 1600, el matemático Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de
Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático
francés Francisco Vieta (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas
de ángulos múltiples. También, contribuyeron Albategnio, Abu Al-Wafa, Abraham de Moivre,
Jean D’Alembert, entre otros.
En el siglo XVII, la Trigonometría se desarrolló en forma sistemática en una dirección
completamente diferente, enfatizada en la publicación en 1748 de la famosa obra: “Introducción
al Análisis Infinito”, del Matemático Suizo Leonardo Euler (1707–1783), que hizo de la
Trigonometría una ciencia aparte de la Astronomía, para convertirla en una nueva rama de las
matemáticas, ya que exponía que la Trigonometría no necesariamente tenía que ser considerada
en relación con un triángulo rectángulo, más bien las propiedades analíticas o funcionales se
convertían en preponderantes evolucionando en toda su magnitud, surgiendo de esta manera
nuevas aplicaciones, especialmente como una herramienta para describir fenómenos físicos que
son periódicos.
En los últimos 100 años, una de las aplicaciones más importantes de la Trigonometría a la
matemática es la llamada Trigonometría Analítica. Gran parte del estudio de los fenómenos de
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onda y oscilatorios así como el comportamiento periódico, está relacionado estrechamente con las
propiedades analíticas de las Funciones Trigonométricas.
11.4 LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
11.4.0 DEFINICIONES CLÁSICAS DE ÁNGULO
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra
en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una
cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió
un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio
como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer
concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
11.4.1 DEFINICIÓN DE ÁNGULO

Ángulo: es la región del plano limitada por dos
semirrectas ordenadas, que tienen un origen en
común. Las semirrectas se llaman lado inicial y
final. Al origen común se le denomina vértice
del ángulo.
11.4.2 NOTACIÓN DE ÁNGULOS
Notación los ángulos se nombran de varias maneras:

Con tres letras mayúsculas y el símbolo de ángulo, en
donde la letra del medio es el vértice, así: AOB. Con
una letra minúscula, como a o b, …, y, z, o a veces
con una letra griega como  (alfa) o , , , ... así:
a, . Con un número, 1, 2, 3, … así: 1.

Ángulo trigonométrico: es ángulo que se genera
por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo
llamado vértice u origen, desde una posición inicial
hasta otra posición final, debiendo considerar que
esta rotación se efectúa en un mismo plano.

Ángulo trigonométrico en posición normal, o
posición
estándar
o
regular:
es
un
ángulo
trigonométrico generado en un plano cartesiano en el
origen de coordenadas y cuyo lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas. El lado
final puede ubicarse en cualquier cuadrante o semieje del plano cartesiano.
11.4.3 TIPOS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
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Los ángulos en posición normal pueden clasificarse de acuerdo a la posición de sus lados finales
o lados terminales, de la siguiente manera:

Ángulos cuadrantales: son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final o terminal
coinciden con algún eje del plano cartesiano. Así por ejemplo son ángulos cuadrantales, los
siguientes: 0°, 90°, 180°, 270° y 360°.

Ángulos que pertenecen a algún cuadrante: un ángulo pertenece al Q1 , Q2 , Q3 o Q4 si
solo si dichos ángulos se encuentran en posición normal y su lado final o terminal se ubica en
el Q1 , Q2 , Q3 o Q4 respectivamente.
11.4.4 REGIÓN ANGULAR
Se denomina región angular a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido un
plano por dos rectas que se cortan.
11.4.5 MEDICIÓN DE ÁNGULOS
En Geometría los ángulos tienen medidas positivas solamente. En cambio, en Trigonometría un
ángulo puede tener una medida positiva, nula o también negativa, así como se muestra:
11.4.6 SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y SUS UNIDADES
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Para medir ángulos se utilizan diversos sistemas de medidas de ángulos y sus unidades; y los
más utilizados son los siguientes: El sistema sexagesimal, el sistema centesimal y el sistema
circular o absoluto o radial.

El sistema sexagesimal: este sistema es el que utiliza la unidad del ángulo en el grado
sexagesimal, en donde cada una de las partes del resultado de dividir la circunferencia en
360 partes iguales.
Para medir ángulos con precisión se utilizan unidades menores que el grado: el minuto y el
segundo. Los divisores del grado son:
Un grado = 60 minutos
Un minuto = 60 segundos
1º = 60'
1'= 60"
Las unidades para medir ángulos aumentan y disminuyen de 60 en 60; por eso este sistema
de unidades se llama sistema sexagesimal.
Para transformar una unidad de medida de ángulos en la unidad inmediata inferior o
superior, multiplicamos o dividimos por 60, respectivamente.
Así, el ángulo de: 15 grados, 20 minutos y 40 segundos se expresa de la siguiente forma:
15º20’40”.

El sistema centesimal: para este sistema, la circunferencia se considera dividida en 400,
denominadas grado centesimal, en donde cada grado centesimal tiene 100 minutos
centesimales y un minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales.
Los divisores del grado centesimal son:
1ºg = 100 m = 10000 s
1 m = 100 s
Para el ángulo de: 15 grados centesimales, 20 minutos centesimales y 40 segundos
centesimales se expresa de la siguiente forma: 15ºg20ºm 40ºs.

El sistema circular o absoluto o radial: es el
sistema más utilizado, su unidad fundamental es
el radián (1 rad usado oficialmente en el Sistema
Internacional de Unidades). Un radián se define
como el arco de la circunferencia que mide lo
mismo que el radio. O sea, un ángulo del centro
en una circunferencia tiene la magnitud de 1 rad,
si el arco que subtiende tiene una longitud igual al
radio de ésta a de las partes del resultado de
dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
Debido a la proporcionalidad de la circunferencia y el radio, el ángulo medido en radianes es
independiente de la circunferencia elegida.
11.4.6.1 INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
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Los ángulos se pueden medir mediante instrumentos o utensilios tales como el goniómetro, el
cuadrante, el sextante, la ballestina, y el transportador de ángulos o semicírculo graduado.
11.4.7 EQUIVALENCIA ENTRE LAS MEDIDAS SEXAGESIMALES Y RADIANES
360  2 rad
o
bien 180   rad
Recuerde que, el cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diámetro no
depende de la circunferencia con la que se trabaje. El cociente es constante, y ese número es el
número 
Por lo tanto:
Longitud de la circunferencia

2 Longitud del radio
Observación: Generalmente no se utiliza "rad", cuando se da la medida de un ángulo en sistema
circular o absoluto.
11.4.8 CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360
equivale a 2 radianes , un ángulo de 180 equivale a  rad (   3,14159265359  ,). Veamos la
siguiente tabla sobre las equivalencias entre los principales ángulos de uso más frecuentes:
Ángulo
Medida en el sistema sexagesimal
Nulo
0° (cero grado)
Por ejemplo: 30° (treinta grados)
Agudo
Por ejemplo: 45° (cuarenta y cinco grados)
Por ejemplo: 60° (sesenta grados)
Recto
90° (noventa grados)
Llano
Giro
180° (ciento ochenta grados)
360° (tres ciento sesenta grados)
Cuadrante
Por ejemplo: 270° (dos ciento setenta
grados)

 

180
rad
Medida en el sistema radial
0

6

4

3

2
rad
rad
rad
rad
rad
 rad
2 rad
3
2
 rad 
rad
180


Para convertir grados a radianes o viceversa, podemos partir de que 180° equivalen a  radianes;
luego aplicamos una regla de tres y resolvemos
Ejemplo 1: convertir 38° a radianes
 
 38
Solución: 38  38  
rad  
 rad  0,2111 3,1416 rad  0,6632 rad
 180
 180
Ejemplo 2: convertir 120° a  radianes
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7
2
2
 
 120
Solución: 120  120  
rad  
 rad   rad 
rad
3
3
 180
 180
Ejemplo 3: convertir
Solución:
3
 rad a grados
4
3
3
 rad   
4
4
 180  3  180 540

 135


4 1
4
  
Ejemplo 4: convertir 2,4 radianes a grados
 180 
Solución: 2,4 rad  2,4  
  2,4  57,2956  137,5094
 3,1416 
11.4.9 USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA
Las calculadores científicas pueden trabajar con los tres sistemas de medidas angulares:
sexagesimales, centesimales y radianes.
Los modos de la calculadora son los siguientes:

Sistema Sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)

Sistema Centesimal (En la calculadora MODE GRA)

Radianes (En la calculadora MODE RAD)
La tecla para introducir grados minutos y segundos sexagesimales es:
º'"
Ángulo
Sistema
Agudo
Recto
Convexo
Llano
Sexagesimal
60
90
150
180
240
315
360
66 g 66 m 66 s
100 g
166 g 66 m 66 s
200 g
266 g 66 m 66 s
350 g
400 g

3

2
5
6

4
3
7
4
2
Centesimal
Radianes
Complet
o
Cóncavos
Ejemplo 5: utilizando la calculadora científica:
Para introducir 30º15’45” haremos:
30
º'"
º'"
15
45
º'"
=
º'"
30.2625
Para ver cuantos grados, minutos y segundos son 30,2625º efectuaremos:
30.2625
º'"
=
30º15’45”
Para trabajar en medidas sexagesimales, la calculadora tiene que estar en modo DEG.
La razón de proporcionalidad de las dos medidas es:
360
2 π rad
1 rad 
360
 57,29577951
2 π rad
Con ayuda de la calculadora:
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8
1
X

360

2
x


=
º'"
57º17’44.81”
11.5 OPERACIONES CON ÁNGULOS
11.5.1 SUMA O ADICIÓN DE ÁNGULOS: Para sumar datos de medida de ángulos, primero
debemos sumar las unidades homogéneas, o lo podemos efectuar la adición de ángulos, de
manera vertical, haciendo coincidir los grados, minutos segundos, después sumamos. Si los
segundos, sobrepasan 60, los transformamos en minutos, y si los minutos sobrepasan 60, los
transformamos en grados.
Ejemplo 6: calcula 30º15’45” + 47º50’25”
Solución: se suman las unidades homogéneas, así:
45” + 25” = 70’’ = 60’’ + 10”  1’ + 10”;
15’ + 50’ = 65’ = 60’ + 05’  1º + 05’;
30º + 47º = 77º luego, 1’ + 10” + 1º + 05’ + 77º  77º + 1º = 78º; 1’ + 05’ = 06’
30º15’45” + 47º50’25” = 78º06’10”

30 15 ' 45 ' '
47 50 ' 25 ' '
Al realizar esta suma vemos que los segundos
77 65 ' 70 ' '
sobrepasan los 60, por lo que a los 70’’ les restamos
 60 ' '
10 ' '
77 65 ' 10 ' '
 1'
77 66 ' 10 ' '
 60 '
77 06 ' 10 ' '
60’’, es decir, el equivalente a 1’, luego ese minuto
se lo sumamos a los minutos y nos da 66’ que sigue
sobrepasando los 60’, por lo que a los 66’ les
restamos 60’, es decir el equivalente a 1°, y ese
grado se los sumamos a 77°, de manera tal que nos
resulta: 78º06’10”
 1
78 06 ' 10 ' '
Ejemplo 7: calcula 35º48’12” + 45º39’23”
Solución:

35 48 '12 ' '
Al realizar esta suma vemos que los minutos
45 39 ' 23 ' '
sobrepasan los 60, por lo que a los 87’ les restamos
80 87 ' 35 ' '
60’, es decir, el equivalente a 1°, luego ese grado se
 60 '
27 '
80 27 ' 35 ' '
los sumamos a 80°, de manera tal que nos resulta:
81º27’35”
 1
81 27 ' 35 ' '
Observación: en el caso de que los minutos hubiese sobrepasado los 120’, le restamos
esta cantidad que equivale a 2° para luego sumarlos a los grados.
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9
11.5.2 RESTA O SUSTRACCIÓN DE ÁNGULOS: Para restar datos de medida de ángulos,
primero colocamos el minuendo y el sustraendo haciendo coincidir grados, minutos y segundos,
después restamos. Si en alguna columna el minuendo es menor que el sustraendo, hacemos
transformaciones para que la resta sea posible.
Ejemplo 8: calcula 52º46’27” - 37º12’45”
Solución:
45 ' 87 ' '
En esta resta comprobamos como a 27’’ no le podemos quitar
52 46 ' 27 ' '
45’’ así que de los 46’ del minuendo tomamos uno y lo
37 12 ' 45 ' '
transformamos en 60’’ que se los sumamos a los 27’’ iniciales
15 33 42' '
(27’’ + 60’’ = 87’’), quedando la restra de esta manera:
52º45’87” - 37º12’45” = 15º33’42”
11.5.3
MULTIPLICACIÓN DE ÁNGULOS: Para multiplicar datos de medida de ángulos, lo
primero que tenemos que hacer es multiplicar los grados, minutos y segundos, por el valor que se
indica.
Ejemplo 9: calcula 25º53’37” x 3
Solución: 3 (25º53’37”)
37 ' '  3  111' '  60 ' '  51' '  1'  51' '
00 01' 51' '
53 '  3  159 '  120 '  39 '  2'  39 '  02 39 '
25  3  75
75
7740 ' 51' '
11.5.4
DIVISIÓN DE ÁNGULOS: Para dividir datos de medida de ángulos, lo primero que
tenemos que hacer es dividir los grados, minutos y segundos, por el valor que se indica.
Ejemplo 10: calcula 90º45’135”  3
Solución:
9045 '135 ' '
3
135 ' '  3  45 ' '
45 '  3  15 '
 9045 '135 ' '  3  3015 '45 ' '
90  3  30
PRÁCTICA N°1
1. Con ayuda de calculadora científica, pasa las siguientes medidas a sexagesimales:
a)
3
rad
2
b) 2,5 rad
c)
3
rad
4
d)

rad
5
2. Con ayuda de calculadora científica, pasa a medidas en radianes las siguientes medidas:
a) 60
b) 45
c) 30
d) 2515'
e) 3112'45' '
3. Resuelve las siguientes operaciones de medidas de ángulos:
a) 3515 '35 ' '  2552 '37 ' '
d) 2525 '32 ' '  7215 '55 ' '
g) 4513 '25 ' '  2523 '05 ' '
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10
b) 4200 '00 ' '  1524' 35 ' '
c)
3627 '45 ' '
3
e) 3  2335 '45 ' '
f)
7218 '34 ' '
2
h) 5  4524 '35 ' '
i)
7515 '35 ' '
5
11.6 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo, establecen una relación entre los lados
del triángulo y uno de sus ángulos agudos. Se definen respecto de uno de los ángulos agudos del
triángulo, de manera que tenemos:
 es el ángulo agudo para el que definimos las razones
trigonométricas.
Cateto adyacente o cateto contiguo, es el cateto que
forma parte del ángulo elegido , el lado b.
Cateto opuesto, es el cateto que está enfrente del
ángulo elegido , el lado a.
Hipotenusa, es el lado de mayor longitud del triángulo
rectángulo y siempre es el lado opuesto al ángulo recto, el
lado c.
Definición: una razón trigonométrica es una razón entre las longitudes de dos lados de un
triángulo rectángulo. Como un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones,
dos entre cada pareja de estos lados.
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:
seno, coseno, tangente (que son las básicas o principales), cotangente, secante y cosecante
(que son las secundarias); y se abrevian así: sen, cos, tan, cot, sec y csc.
Dado el triángulo ABC rectángulo en C:
Las razones trigonométricas se definen, así:

Seno del ángulo A (sen A): es la razón o cociente entre las longitudes del cateto opuesto al
ángulo en A y la hipotenusa:
sen A 

c
a
Coseno del ángulo A (cos A):
es la razón o cociente entre las
longitudes del cateto adyacente
al ángulo en A y la hipotenusa:
cos A 
b
a
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11

Tangente del ángulo A (tan A): es la razón o
cociente entre las longitudes del cateto opuesto y
el cateto adyacente: tan A 

a
b
Cotangente del ángulo A (cot A): es la razón o
cociente entre las longitudes del cateto adyacente
y el cateto opuesto: cot A 

b
a
Secante del ángulo A (sec A): es la razón o
cociente entre la hipotenusa el cateto adyacente:
sec A 

c
b
Cosecante del ángulo A (sec A): es la razón o cociente entre la hipotenusa el cateto
opuesto: csc A 
c
a
11.6.0 TEOREMA DE PITÁGORAS
Teorema de Pitágoras: "En todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
Y, "En todo triángulo
cuadrados de los catetos".
rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a
la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el
cuadrado del otro cateto".
c 2  a 2  b 2 (Teorema de Pitágoras)
11.6.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO EN POSICIÓN
NORMAL, ESTANDAR O REGULAR
Definición: sea Px, y   Q0, 0 y  es un ángulo en posición normal.
Si P es un punto
perteneciente al lado final del ángulo , entonces las razones trigonométricas de  se definen de
la siguiente manera:
Sen  
y
r
Cot  
x
y
Sec  
r
x
Cos  
x
r
Tan  
y
x
Csc  
r
y
Donde x es la abscisa del punto P, y es la ordenada P, y r es el radio vector P, se calcula a
través del Teorema de Pitágoras, así: r 2  x 2  y 2
Material de Trigonometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas
12
11.6.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MEDIDA
Dada la siguiente figura: Las razones trigonométricas para el ángulo A, se definen así:

Sen A 
y
r
Cos A 
x
r
Tan A 
y
x
(Con x  0 )
Cot A 
x
y
(Con y  0 )
Sec A 
r
x
(Con x  0 )
Csc A 
r
y
(Con y  0 )
Teorema 1: Dado un ángulo, el valor de cualquier razón trigonométrica depende
únicamente de la magnitud de dicho ángulo.


Teorema 2: Si A y B son ángulos complementarios, es decir A + B = 90º, entonces:
Sen A = Cos B
Tan A = Cot B
Sec A = Csc B
Cos A = Sen B
Cot A = Tan B
Csc A = Sec B
Teorema 3: Si n  Z, entonces:
Sen (A + 360º × n) = Sen A
Cos (A + 360º × n) = Cos A
Tan (A + 360º × n) = Tan A
11.6.3 FUNCIONES DE ÁNGULOS CUADRANTALES Y DE ÁNGULOS ESPECIALES
11.6.3.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
Razones trigonométricas de 0  0 rad
sen 0  0
cos 0  1
0
0
1
1
cot 0 
No existe
0
1
sec 0   1
1
1
csc 0 
No existe
0
tan 0 
Material de Trigonometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas
13
Razones trigonométricas de 90 

rad
2
sen 90  1
cos 90  0
1
No existe
0
0
cot 90   0
1
1
sec 90 
No existe
0
1
csc 90   1
1
tan 90 
Razones trigonométricas de 180   rad
sen 180  0
cos 180   1
0
0
1
1
cot 180 
No existe
0
1
sec 180 
 1
1
1
csc 180 
No existe
0
tan 180 
Razones trigonométricas de 270 
3
rad
2
sen 270   1
cos 270  0
1
No existe
0
0
cot 270 
0
1
1
sec 270 
No existe
0
1
csc 270 
 1
1
tan 270 
Material de Trigonometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas
14
11.6.3.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES
Razones trigonométricas de 30 
Empecemos
trazando
un


rad y de 60 
rad
6
3
triángulo Cuando trazamos la altura, el triángulo queda
dividido en dos triángulos rectángulos iguales,
equilátero de lado x
así:
Aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que:
 x
x  h  
2
2
2
2
2
x2
 x
2
h  x    x 
4
2
4x 2  x 2
3x 2
h2 

4
4
2
2
h2 
3x 2
4
h
3x
2
Razones trigonométricas de 30 
sen 30 
x
2
x
3x
2
tan 30 
3x
2
x
2
cot 30 
csc 30 
x 1 1
 
2 x 2
3x 1
3x
3
 

x
2 x
2x
2
x
x 2
2x
1
3
3
2
 




3x
2 3x 2 3x
3
3 3
2
cos 30 
sec 30 


rad
6
x
3x
2
x
x
2




3x 2 2 3x
 
 3
2 x
2x
x 2
2x
2
3 2 3





1 3x
3
3x
3 3
x 2 2x
 
2
1 x
x
Razones trigonométricas de 60 
3x
2

rad
3
3x 1
3x
3
 

x
2 x
2x
2
x
x 1 1
cos 60  2   
x 2 x 2
sen 60 
3x
2
x
2
tan 60 
x
2
3x
2
cot 60 
sec 60 
csc 60 
x
x
2

x
3x
2



3x 2 2 3x
 
 3
2 x
2x
x 2
2x
1
3
3





2 3x 2 3x
3
3 3
x 2 2x
 
2
1 x
x

x 2
2x
2
3 2 3





1 3x
3
3x
3 3
Material de Trigonometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas
15
Razones trigonométricas de 45 

rad
4
Consideremos un cuadrado cualquiera de lado x
Tracemos una diagonal, fíjense que se
forma dos triángulos rectángulos iguales,
así:
Aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que:
Hipotenusa 2  x 2  x 2
Hipotenusa 2  2 x 2
Hipotenusa
2

Hipotenusa 
2x 2
2x
Razones trigonométricas de 45 
sen 45 
x
1
2
2



2
2x
2 2
cos 45 
x
1
2
2



2
2x
2 2
tan 45 

rad
4
x
1
x
2x
sec 45 
 2
x
2x
csc 45 
 2
x
cot 45 
x
1
x
11.6.3.3 TABLA DE LOS SIGNOS ALGEBRAICOS DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS
Funciones
Cuadrantes
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
Q1
+
+
+
+
+
+
Q2
+
–
–
–
–
+
Q3
–
–
+
+
–
–
Q4
–
+
–
–
+
–
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16
11.6.3.4 TABLA DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PRINCIPALES DE ALGUNOS
ANGULOS NOTABLES
ÁNGULOS
Sen
Cos
Tan
0º
0
0
1
0
30º

6
1
2
3
2
3
3
45º

4
2
2
2
1
1
2
3
1
0
Indefinida

3

2
60º
90º
2
3
2
180º

0
–1
0
270º
3
2
–1
0
Indefinida
11.7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo significa
encontrar el valor numérico de
cada uno de sus tres lados y sus
tres ángulos. En esta clase de
problemas siempre se nos dan
los valores de tres elementos,
uno de los cuales es uno de los
lados, y se nos pide hallar los
otros tres.
De la Geometría plana elemental
sabemos que "la suma de las
medidas de los tres ángulos
interiores
triángulo
en
es
igual
cualquier
a
180
grados".
Así, para encontrar el valor del tercer ángulo, conocidos los otros dos, basta con utilizar la
siguiente fórmula: A 180  B  C  Pero como estamos trabajando en triángulos rectángulos,
tenemos el valor de un ángulo, el ángulo recto, por lo cual los otros dos ángulos son
complementarios, entonces podemos utilizar la expresión: A  B  90
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17
11.7.1 EJEMPLOS RESUELTOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1) Resuelva el ABC rectángulo en C, si la
hipotenusa c mide 45cm y el ángulo agudo
B es de 22°.
Sugerencia: para resolver este ABC,
tenemos
que
aplicar:
trigonométricas,
el
las
razones
Teorema
de
Pitágoras y el Teorema de la suma de
los
ángulos
interiores;
por
lo
que
debemos encontrar el valor de los catetos:
a y b y la amplitud del ángulo agudo A.
Solución:
Para buscar el lado o cateto a, vamos a aplicar las razones
trigonométricas o el Teorema de Pitágoras:
a
Para buscar el lado o cateto b,
cos B 
vamos a aplicar las razones
c
trigonométricas:
a  c  cos B
b
a  45cm  cos 22
sen B 
c
a  45cm 0,9272
b  c  sen B
a  41,72cm
b  45cm  sen 22
c2  a2  b2
a2  c2  b2
b  45cm 0,3746
a  c2  b2
a
45 cm 2  16,86 cm 2
a  2025 cm 2  284,2596 cm 2
a  1740,7404 cm 2
b  16,86cm
a  41,72 cm
Para encontrar el ángulo agudo A, aplicamos el Teorema de la suma de los ángulos interiores
es 180° pero como se trata de un triángulo rectángulo, entonces los ángulos agudos son
complementarios, por lo que: A  B  90
A  B  90
A  90  B
A  90  22
A  68
 A  68

Respuesta:  a  41,72 cm
 b  16,86 cm

2) Resuelva el ABC rectángulo en C, si los catetos miden 319
mm y 360 mm y uno de los ángulos agudo miden 41,53°.
Solución: para resolver el ABC rectángulo en C, debemos
encontrar la longitud de la hipotenusa c y el ángulo agudo B.
Luego los s agudos son complementarios, por lo que:
A  B  90
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18
A  B  90
B  90  A
B  90  41,53
B  48,46
Para buscar el lado c, o sea la hipotenusa vamos a aplicar el Teorema de Pitágoras:
c2  a2  b2
c2  a2  b2
c  a2  b2
c
319 mm2  360 mm2
c  101761 mm 2  129600 cm 2
c  231361 mm 2
c  481 mm
 B  48,46
Respuesta: 
 c  481 mm
3) Calcula las razones trigonométricas principales del ángulo agudo A en el  ABC triángulo
rectángulo en C, si las medidas de sus catetos son: 9 cm y 10 cm. Hallar su área y perímetro.
Solución: Para hallar la medida de la hipotenusa, utilizaremos el Teorema de Pitágoras, así:
c2  a2  b2
c 2  9 cm   10 cm 
2
2
c 2  81 cm 2  100 cm 2
c 2  181 cm 2
Buscando el área:
BC  AC
2
9 cm  10 cm 90 cm 2
A 

 45 cm 2
2
2
A 
 sen

 cos

Respuesta:  tan



c  181 cm 2  13,45 cm
Las razones trigonométricas son:
a
9
sen A  
 0,6691
c 13,45
b
10
cos A  
 0,7435
c 13,45
a 9
tan A    0,9000
b 10
Buscando el perímetro:
p   BC  AC  AB
p   a  b  c  9 cm  10 cm  13,45 cm
p   32,45 cm
A  0,6691
A  0,7435
A  0,9000
Área  45 cm 2
Perímetro  32,45 cm
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19
4) Calcule el área y perímetro del triángulo  ABC rectángulo en
C, dado:
Solución: Debemos hallar la longitud de la base del triángulo, el
cateto b y la longitud de la hipotenusa, el lado c
Para buscar el cateto b, aplicaremos razones
trigonométricas
a
tan A 
b
a
b
tan A
b
Para buscar la hipotenusa utilizaremos el
Teorema de Pitágoras, así:
c2  a2  b2
c 2  4 cm   5,71 cm 
2
2
c 2  16 cm 2  32,6041 cm 2
4
tan 35
c 2  48,6041 cm 2
c
4
b
0,7002
b  5,71 cm
48,6041 cm 2
c  6,97 cm
Buscando el área:
Buscando el perímetro:
BC  AC
2
4 cm  5,71cm 22,84 cm 2
A 

 11,42 cm 2
2
2
A 
p   BC  AC  AB
p   a  b  c  4 cm  5,71 cm  6,97 cm
p   16,68 cm
 Área  11,42 cm 2
Respuesta: 
Perímetro  16,68 cm
5) Hallar las razones trigonométricas secundarias del ángulo agudo C,
en el triángulo rectángulo dado:
Solución: primero debemos identificar los elementos del triángulo
rectángulo, y luego calcular:
Los elementos del triángulo
Las razones trigonométricas solicitadas del ángulo C,
rectángulo son:
utilizando cuatro cifras decimales, las cuáles son:
Cateto opuesto: 12
cot C 
15
 1,2500
12
Cateto adyacente: 15
Hipotenusa: 19
19
csc C 
 1,5833
12
sec C 
19
 1,2667
15
 cot C  1,2500

Respuesta:  sec C  1,2667
 csc C  1,5833

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20
6) Hallar la hipotenusa y las razones trigonométricas del ángulo agudo A, de un triángulo
rectángulo en C, si los catetos miden 5 cm y 12 cm.
Solución: para calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida de la
hipotenusa, y para eso aplicaremos el Teorema de Pitágoras. Luego, procedemos a encontrar
los valores de las razones trigonométricas del ángulo pedido:
Busquemos las seis razones trigonométricas del
ángulo A, utilizando cuatro cifras decimales, así:

sen

cos

Respuesta:  tan
 cot

 sec
 csc

sen A 
5
 0,3846
13
cos A 
12
 0,9231
13
tan A 
5
 0,4167
12
cot A 
12
 2,4000
5
sec A 
13
 1,0833
12
csc A 
13
 2,6000
5
c  13
A  0,3846
A  0,9231
A  0,4167
A  2,4000
A  1,0833
A  2,6000
7) Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo en C, si
la hipotenusa mide 5 m y uno de los catetos mide 3 m.
Solución: para calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro
cateto; para eso aplicaremos el Teorema de Pitágoras. Luego, procedemos a encontrar los
valores de las razones trigonométricas del ángulo pedido, así:
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21
Como a menor lado se opone menor ángulo,
es obvio, de acuerdo a lo que se pide en este
problema, que debemos buscar son las seis
razones
trigonométricas
del
ángulo
B,
utilizando cuatro cifras decimales, así:
3
 0,6000
5
4
cos B   0,8000
5
3
tan B   0,7500
4
4
cot B   1,3333
3
5
sec B   1,2500
4
5
csc B   1,6667
3
sen B 
8) Calcula las razones trigonométricas principales del ángulo agudo A en el  ABC triángulo
rectángulo en C, si las medidas de sus catetos son: 9 cm y 10 cm. Hallar su área y perímetro.
Solución: Para hallar la medida de la hipotenusa, utilizaremos el Teorema de Pitágoras, así:
c2  a2  b2
c 2  9 cm   10 cm 
2
2
c 2  81 cm 2  100 cm 2
c 2  181 cm 2
Buscando el área y el perímetro:
BC  AC
2
9 cm  10 cm 90 cm 2
A 

 45 cm 2
2
2
c  181 cm 2  13,45 cm
Las razones trigonométricas son:
a
9
sen A  
 0,6691
c 13,45
b
10
cos A  
 0,7435
c 13,45
a 9
tan A    0,9000
b 10
A 
p   BC  AC  AB
p   a  b  c  9 cm  10 cm  13,45 cm
p   32,45 cm
9) Se tiene un triángulo rectángulo en C, cuyos catetos (a y b) miden 8 m y 15 m, hallar las
razones trigonométricas del ángulo agudo B.
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22
Solución: primero buscamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras.
Luego, encontremos los valores de las razones trigonométricas del ángulo pedido, así:
Como a mayor lado se opone mayor ángulo, es
obvio, que debemos buscar son las seis razones
trigonométricas del ángulo B, utilizando cuatro
cifras decimales, así:
sen B 
15
 0,8824
17
cos B 
8
 0,4706
17
tan B 
15
 1,8750
8
cot B 
8
 0,5333
15
sec B 
17
 2,1250
8
csc B 
17
 1,1333
15
10) Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo P, en el triángulo rectángulo dado:
Solución: buscaremos las razones trigonométricas del ángulo pedido, así:
Las seis razones trigonométricas del ángulo P,
utilizando cuatro cifras decimales, son:
Cateto opuesto: 55
sen P 
55
 0,7534
73
cos P 
48
 0,6575
73
tan P 
55
 1,1458
48
cot P 
48
 0,8727
55
sec P 
73
 1,5208
48
csc P 
73
 1,3273
55
Cateto adyacente: 48
Hipotenusa: 73
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23
11) Dada la siguiente figura, completar las siguientes tablas que aparece a continuación:
Solución:
TABLA N°1
TRIANGULOS
ELEMENTOS
ABC
A
ADC
A
c
B
K
Hipotenusa
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
BDC
C
x
k
b
ABC
B
ADC
C
BDC
B
c
b
a
B
Y
a
Hipotenusa
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
x
TABLA Nº 2
FUNCIONES
TRIANGULOS
senB
cos B
cot B
secB
b
a
ABC
B
ADC
A
tan B
csc B
c
b
senA
k
b
cos A
tan A
cot A
y
k
sec A
csc A
senC
cos C
tan C
cot C
sec C
csc C
BDC
C
k
a
k
x
Observación: hasta aquí la unidad para los décimos en este año, iniciado el quinto año
deben volver a descargar la Unidad N°11 completa, porque se inicia con
esos temas.
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24