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Límites cuánticos a la precisión de las medidas interferométricas en
interferómetros lineales
Dada la continua mejora de las técnicas experimentales, el estudio del ruido cuántico ha dejado de
ser una cuestión meramente teórica para convertirse cada vez más en un tema de carácter práctico.
De hecho el ruido cuántico es en la actualidad la fuente más importante de indeterminación en
mucho montajes interferométricos. Entre ello se encuentra el montaje esquematizado en la figura
diseñado para la detección pequeñas fuerzas.
Se trata de un interferómetro de Michelson en el que uno de los espejos puede moverse bajo la
acción de la fuerza que se pretende detectar, movimiento que se traduce en un cambio en la
intensidad que abandona el interferómetro.
En este montaje la naturaleza cuántica de la radiación da lugar a dos fuentes de ruido. Una son las
fluctuaciones en el número de fotones registrados a la salida del interferómetro (ruido de recuento
de fotones), que dan lugar a indeterminación en la posición del espejo. Otra fuente de ruido son las
fluctuaciones de la presión de radiación, que causan fluctuaciones en la posición del espejo móvil.
En un principio las contribuciones de estas dos fuentes de ruido fueron calculadas como efectos
estadísticamente independientes, con el resultado de que había un límite cuántico insuperable a la
precisión con que se puede determinar la posición del espejo, el límite cuántico estándar.
Nuestra aportación en este tema parte de notar que ambas fuentes de ruido no pueden ser
estadísticamente independientes, porque los campos dentro y fuera del interferómetro están
necesariamente correlacionados. Además en este experimento sólo se mide una magnitud, la
intensidad de salida, que debe contener toda la información de la medida. Por lo tanto toda la
incertidumbre de la medida debe derivarse de un ruido de recuento de fotones, tanto teórica como
experimentalmente.
Para evitar estas dificultades incorporamos la movilidad del espejo en la transformación entrada
salida del interferómetro incluyendo explícitamente en la transformación el hecho de que la
longitud del brazo en el que está el espejo móvil depende de la intensidad de luz incidente sobre él.
El resultado es una transformación entrada-salida no lineal. Tras esto, toda la indeterminación en la
posición del espejo se calcula en términos del ruido de recuento de fotones. De este modo hemos
podido demostrar que, contrariamente a lo que se creía, no hay límite cuántico a la precisión de la
medida.
Mode transformation properties and quantum limits for a Fabry-Perot interferometer
A. Luis y L. L. Sánchez-Soto, J. Mod. Opt. 38, 971 (1991)
Breaking the standard quantum limit for interferometric measurements
A. Luis y L. L. Sánchez-Soto, Opt. Commun.. 89, 140 (1992)
Multimode quantum analysis of an interferometer with moving mirrors
A. Luis y L. L. Sánchez-Soto, Phys. Rev. A. 45, 8228 (1992)
Una excursión por los confines del ruido cuántico
L. L. Sánchez-Soto y A. Luis, Rev. Esp. Fís. 7(2), 17 (1993)
Estrechamente ligado al problema de la detección está el problema de generar en la práctica estados
especiales del campo electromagnético que permitan realizar las medidas más precisas permitidas
por la teoría cuántica. Para medidas interferométricas de cambios de fase (con espejos fijos) se ha
demostrado que el mínimo cambio de fase detectable de acuerdo con la física cuántica  es
inversamente proporcional al número de fotones usados en la medida   1 / n , lo que se conoce
con el nombre de límite de Heisenberg. Para alcanzar este límite parece forzoso iluminar el
interferómetro con estados de luz específicos y no clásicos (los estados de luz convencionales
alcanzan una precisión del orden de   1 / n ). Son varias las clases de estados que permiten
alcanzar los límites cuánticos. Entre ellos los más estudiados son los estados inteligentes SU(2) y
los estados con correlaciones máximas.
Hemos demostrado que los estados inteligentes SU(2) pueden generarse experimentalmente en un
montaje como el de la figura, en el que hay representados dos conversores paramétricos de
frecuencia acoplados mediante un divisor de haz y con estado de vacío en todas los modos de
entrada (no se han representado los láseres de bombeo de los cristales).
Hemos demostrado que si se realiza la medida del número de fotones en dos de los haces de salida
como se ilustra en la figura, el estado en el que quedan los otros dos modos verifica la ecuación
cosh( ) S x  isenh( ) S y 

con lo que se trata de un estado de incertidumbre mínima en los parámetros de Stokes S x , S y y
por lo tanto son estados inteligentes SU(2).
SU(2) coherent states in parametric down-conversion
A. Luis y J. Perina, Phys. Rev. A. 53, 1886 (1996)
Otros estados que permiten alcanzar el límite de Heisenberg son los estados de máxima correlación,
que presentan la forma genérica
1
 
 1 0 2  0 1 2
2
donde 0 representa el estado de vacío. En estos estados la luz está repartida por igual entre dos
modos del campo con fuertes propiedades cuánticas: si se encuentra un fotón en uno de los modos
(con un 50% de probabilidad para cada modo) es forzoso que todos los demás fotones aparezcan en
dicho modo, no apareciendo ninguno en el otro.


Hemos demostrado que estos estados permiten alcanzar el límite de Heisenberg por amplificación
efectiva de los cambios de fase. Además, hemos encontrado un método sencillo y tecnológicamente
viable de generar estos estados experimentalmente.
En un trabajo relacionado hemos demostrado que estos estados son totalmente equivalentes a los
gatos de Schroedinger: superposiciones coherentes de estados distinguibles. La ventaja de esta
equivalencia está en que todos los métodos para la generación de gatos Schroedinger propuestos y
realizados experimentalmente son adaptables como métodos de generación de estados que permiten
alcanzar la máxima precisión posible de las medidas interferométricas. De hecho hemos demostrado
que ya hay resultados experimentales que confirman esta idea.
Generation of maximally entangled states via dispersive interactions
A. Luis, Phys. Rev. A 65, 034102 (2002)
Equivalence between macroscopic quantum superpositions and maximally entangled states:
Application to phase-shift detection
A. Luis, Phys. Rev. A 64, 054102 (2001)
Como hemos visto el problema de los estados incidentes que optimizan las prestaciones de
interferómetros lineales con espejos fijos ha sido bien estudiado. En otro trabajo hemos abordado la
optimización de interferómetros con espejos móviles cuya posición se ve afectada por la presión de
radiación.
Hemos encontrado una relación no lineal universal que relaciona los estados óptimos de
interferómetros con espejos fíjos y móviles, lo que resuelve el problema de una vez por todas. Esta
relación permite determinar fácilmente los estados óptimos para la interferometría con espejos
móviles a partir de los bien conocidos estados óptimos para interferómetros con espejos fijos (es
decir el límite de Heisenberg).
Optimum quantum states for interferometers with fixed and moving mirrors
A. Luis, Phys. Rev. A 69, 045801 (2004)
Hemos desarrollado una medida de la resolución metrológica alcanzable con un montaje dado. La
detección de una señal  consiste en que la señal provoque un cambio observable en cierto estado
sonda pasando del estado inicial  al transformado   que normalmente es de la forma
   exp iG exp  iG ,
siendo G el generador de la transformación inducida por la señal.
Una forma natural de medir la eficacia de un proceso detección es computar la distancia entre los
estados original  y transformado   de la sonda. Esta es una evaluación intrínseca en el sentido
de que no depende de la medida que se haga finalmente sobre el estado transformado de la sonda.
Tomando como una distancia sencilla y eficaz la distancia de Hilbert Schmidt tenemos que para
señales pequeñas (las únicas de interés en metrología cuántica)



tr     2  2 2 2 (  , G)
siendo


2 (  , G)  tr  2G 2  tr GG  .
Es curioso que  (  , G ) es completamente simétrica en  y G, es decir (  , G )  (G,  ) . De
alguna forma  (  , G ) es una especie de generalización de la varianza puesto que pata estados
se tiene que 2 (  , G )   G 2    G 
puros    


2


  G 2 y en general
2 (  , G)    G 2 . Sin embargo  (  , G ) no es una medida de incertidumbre. Se trata de una
medida de lo sensible que es  a los cambios generados por G, una especie de versión sencilla de
la información de Fisher cuántica. Por ejemplo para cualquier estado  que conmute con G,
[  , G ]  0 se tiene que (  , G )  0 aunque   G puede ser arbitrariamente grande. Además en
general no hay una cota inferior para el producto (  , G2 )(  , G1) para dos generadores G1,2 no
conmutantes. Además la siguiente fórmula muestra que en general  (  , G ) depende de las
coherencias
g j  gk
para k  j con los autoestados
gj
de G, mientras que   G es
completamente insensible a ellas,
2 (  , G ) 


2
1
 g j  gk 2 g j  gk .
2 j, k
Un resultado interesante es que si queremos que  (  , G ) sea mayor que el valor que se alcanza con
estados coherentes entonces  tiene que ser un estado no clásico.
Intrinsic metrological resolution as a distance measure and nonclassical light
A. Rivas y A. Luis, Phys. Rev. A 77, 063813 (2008)
Hasta la fecha, todas las propuestas para mejorar la resolución interferómetrica descansan en el
análisis de interferómetros lineales en los que la amplitud de la luz a la salida del interferómetro es
proporcional a la amplitud de la luz a su entrada. Hemos descubierto que se pueden realizar mejores
medidas con interferómetros no lineales, en los cuales la amplitud de la luz a la salida del
interferómetro es una función no lineal de la amplitud a la entrada. Esta posibilidad se encuentra
desarrollada en otro apartado de esta misma página web.