Download Descarga

COLEGIO SAN FELIPE NERI
GUIA TALLER DE ECUACIONES Y FUNCIONES
GRADO 11°
1.
MARCO TEORICO
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Función:
Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada
elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.
Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.
Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen o rango.
Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los
cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio.
Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.
COLEGIO SAN FELIPE NERI
Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos x
o s, o cualquier otra.
Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo f(x) ó f(s).
Ejemplo: f(x) = x2+ 3x - 6
Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada número en el
dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número mas el triple de ese número menos
seis".
Otra manera de ver esto es escribiendo la función de la siguiente manera:
f ( ) = ( )2 + 3( ) - 6
Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir, se muestra la "salida"
de la "máquina" para varios valores de la "entrada".
f(x) = x2 + 3x - 6
f(10) = 124
f(-2) = -8
f(h + 1) = (h + 1)2 + 3(h + 1) - 6
f(x + b) = (x + b)2 + 3(x + b) - 6
f(
)=(
)2 + 3(
)-6
COLEGIO SAN FELIPE NERI
El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir la función.
Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es el intervalo [-3,10].
A menudo no se especifica el dominio de una función definida por una ecuación, por ejemplo,
G(x) = 3x3 - 2x + 10
(Sin especificar el dominio)
En adelante quedará entendido que:
A menos que se especifique explícitamente, el dominio de una función será el conjunto más
grande de números reales para los cuales la función nos dé como salida un número real.
Por ejemplo:
1
f(x) =
x–3
Para esta función x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho valor en la función
obtendríamos un diagnóstico de error pues no se puede dividir entre cero. Observa además que la
función no puede tomar el valor cero. ¿Por qué? Observa la gráfica.
LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x está en
el dominio de la función y además y=f(x).
COLEGIO SAN FELIPE NERI
FUNCION LINEAL
En matemáticas, una función lineal f(x) es aquella que satisface las siguientes dos propiedades (ver
más abajo para un uso ligeramente diferente del término):
Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x
+ y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.
Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad
siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función
lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad
aditiva esta establecida.
Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo y = mx +b
Presenta las siguientes características:
Para las funciones que cortan al eje y en un punto diferente de 0, la forma de la función será
F(x) = mx + b donde, m es la pendiente y b es el punto de corte con el eje y.
Para graficar una función de esta forma solo basta con ubicar a b y posterior mente se encontrara
un segundo punto con ayuda de a pendiente.
Es decir, En la ecuación principal de la recta y = mx + b, el valor de m corresponde a la pendiente
de la recta y b es el coeficiente de posición.
La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el
coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.
COLEGIO SAN FELIPE NERI
Ejemplo:
En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números
reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4). Y
desde este punto avanzamos una unidad en el eje x y nos desplazamos 2 unidades en el eje y
según la pendiente.
6
4
2
0
-6
-4
-2
-2 0
2
-4
-6
Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares
Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición
distintos, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2
Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5; y = 4x - 2 son paralelas.
Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición
iguales, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2
COLEGIO SAN FELIPE NERI
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1  L2 sí y sólo si m1· m2 = -1
Ejemplo:
L1: y = -2x + 3
L2: y = 0,5x - 4
Entonces L1  L2 ya que -2 · 0,5 = -1
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Definición
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una
curva llamada parábola.
Corte con el eje
La función corta el eje y en el punto y = f (0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero
(0):
lo que resulta:
COLEGIO SAN FELIPE NERI
la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.
Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que
se obtienen como es sabido por la expresión:
Donde:
Se le llama discriminante, Δ:
Según el signo del discriminante podemos distinguir:

Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos:
x1 y x2.

Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en común
con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola
confluyen.

Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.
Extremo Relativo
Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la
solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso,
partiendo de la función cuadrática:
Calculamos su derivada respecto a x:
COLEGIO SAN FELIPE NERI
Que si la igualamos a cero, tenemos:
Donde x valdrá:
En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo, mínimo o relativo de la
función.
Por lo tanto el vértice de la parábola se
calcula así:
Ejemplos:
1. Graficar la función
f(x) = x2 - 2x + 3
Puntos de corte con el eje X:
Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que
por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.
Punto de corte con el eje Y: (0,3)
. No existe solución y,
COLEGIO SAN FELIPE NERI
Vértice
=
=1
𝑏
𝑓 (− 2𝑎) = −2
Por lo tanto el vértice es, V (1, -2)
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
A continuación, se presentan dos funciones de gran importancia en la matemática, como son: la función
exponencial y la función logarítmica.
Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que
indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente
exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con
la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real.
Definición.
Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia
se llama función exponencial de base a y exponente x.
Como
para todo
,la función exponencial es una función de
en
.
En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.
2.1.1 Teorema (Leyes de los Exponentes)
Sean a y b reales positivos y x, y Naturales, entonces:
1.
2.
3.
COLEGIO SAN FELIPE NERI
4.
5.
.
6.
Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,
.Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial
de base a es estrictamente creciente en su dominio.
Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,
.
Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en
su dominio.
.
10.Si 0< a < b ,se tiene:
.
Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.
11. Cualquiera que sea el número real positivo
, existe un único número real
tal que
. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.
Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las
definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición
y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del
análisis real.
2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial
COLEGIO SAN FELIPE NERI
En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios
adicionales.
En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1
(fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).
Note que cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial
superiormente. Es decir,
(fig.1) no está acotada
crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero
como extremo inferior. Esto es,
tiende a cero (0), cuando x toma valores grandes pero negativos.
COLEGIO SAN FELIPE NERI
Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial
(fig.2) no está acotada superiormente,
pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,
límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y
grandes positivos.
crece sin
tiende a cero, cuando la variable x toma valores
El hecho de ser la función exponencial
con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente
cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la
continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función
inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.
En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro,
del hecho de ser la función exponencial inyectiva.
Observación.
Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras
decimales, es e = 2.7182818284…., la función exponencial
frecuentemente, se denota por Exp( x ) =
, se llama: función exponencial de base e y,
.
Las Funciones Hiperbólicas
En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones
y
que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales
combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas.
Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.
La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:
,
La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define:
,
A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE HIPERBÓLICA,
de la siguiente manera:
COLEGIO SAN FELIPE NERI
FUNCION LOGARITMICA
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se
utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.
Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe log b (x) para la inversa de la función con base b.
Leemos la notación log b(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión log b(x) un
logaritmo.
Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y.
Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces
Log b y = x si y sólo si y = bx.
Nota: La notación log b y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.
Ejemplos:
1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 5 2 = 25. Decimos
que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log 5 25 = 2. De
manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)
2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.
El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el
conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no
lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.
Logaritmos comunes y naturales
COLEGIO SAN FELIPE NERI
Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base
e. Si y = ex entonces x = log e y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes
y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.
Notación:
Logaritmo común: log x = log10 x
Logaritmo natural: ln x = log e x
Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno,
y p y x son números reales, entonces:
1)
2)
3)
4)
log b 1 = 0
log b b = 1
log b bx = x
log b MN = log b M + log b N
5) log b
M
 log b M  log b N
N
6) log b M p = p log b M
7) log b M = log b N si y sólo si M = N
El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular:
1) ln e  1
2) ln 1  0
3) ln( uv )  ln u  ln v
u
 ln u  ln v
v
5) ln u n  n ln u
4) ln
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un
logaritmo.
Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:
EJEMPLOS:
COLEGIO SAN FELIPE NERI
COLEGIO SAN FELIPE NERI
Ejercicios Propuestos
1. Determinar la solución de las siguientes ecuaciones:
a. 5 + 6x = 2
b. 4b + 1 = -18
c. 18c - 3 = 0
d. 21 - [5g - (3g - 1)] - g = 5g - 12
e. 40h - [24 - (6h + 8) - (5 - 2h )] = 3-(8h - 12)
f. 2x 2  35  1315  3x 2
g. x(2x  3)  3(5  x)  83
5x  3 7  x

x
x2
x
x
i.

1
x2 x2
h.
2. Determinar la solución de las siguientes Inecuaciones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
4x + 2)(4x + 9) ≤ (4x + 6)2
x2 − 6x + 8 > 0
2x2 + 2x +1 ≥ 0
3x2 + x +1 > 0
47x2 + 21x − 28 < 0
5 –x2 + 4x − 7 < 0
3. Al simplificar la siguiente expresión algebraica se obtiene: (Justifique su respuesta procedimental
mente)
1
1
1

4 x 3 x 2  1 2  x 4  x 2  1 2 2 x
2

1 2
 2

2
 x 1 






a )

3x 5  4 x 3
x
2
 x
1
1
2

2

1
b)
3𝑥 4 −4𝑥 3
𝑥 2 +1
4. Para las siguientes funciones:
c)
𝑥 4 −𝑥 3
𝑥 2 +1
d)
3𝑥 5 +4𝑥 3
1
(𝑥 2 +1)2
COLEGIO SAN FELIPE NERI



Encontrar la pendiente
Punto de corte con el eje y
Graficar
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5
1
b. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2
2
c. 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 + 4
3
9
6
21
3
d. 𝑓(𝑥) = − 4 𝑥 + 2
e. 𝑓(𝑥) = − 4 𝑥 −
2. Hallar las intersecciones con los ejes, los vértices y graficar las siguientes funciones:
a)
f(x) = x ² - 12x + 32
b)
f(x) = x ² - x - 12
c)
f(x) = -x ² + x + 6
d)
e)
f)
g)
f(x) = x ² + x/2 - ½
f(x) = x ² - 5x/2 + 1
f(x) = -x ²/4 + x - 1
x ² + 8y = 0
COLEGIO SAN FELIPE NERI
4.
ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN
- A partir de la entrega de la guía de Algebra Básica, el estudiante genera un plan de
acción con estrategias claras para mejorar y aclarar dudas sobre los conceptos
relacionados.
CRITERIO E INSTRUMENTO DE EVALUACION
5.
Desarrollo de la actividad presentada a partir de los siguientes criterios:
. Coherencia de la temática determinada.
. Participación de los estudiantes.
. Desarrollo de la prueba escrita.
. Desarrollo de guía para tiempo extra clase.
6.
BIBLIOGRAFIA
- Algebra de Baldor
1.
Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress.
p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.
•
Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press,
2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions [1] 2006, [2] 1822.
•
Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math
Monographs.
http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
Escrito
Lic. Diego Armando Sierra Ramírez
Universidad Nacional-Universidad Pedagógica Nacional
Especialista en matemáticas aplicadas.
Universidad Sergio Arboleda
Docente de Ciencias Básicas Uniminuto Sede sur.
Docente De Matemáticas Col san Felipe Neri
[email protected]