Download nivel: secundaria semana nº 3 primer año

ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
Arquímedes
Inicio de
nuestra era
Euler
“Arit. Universal”
Rev. de
Túpac Amaru
III a.C.
0
1768
1780
AÑO
III a.C.
ACONTECIMIENTOS

Arquímedes, matemático griego, creador del principio

de Arquímedes en divisibilidad: Si A x B = n ; A y n

son PESI  B = n
1768

Apareció la
“Aritmética Universal” de Euler dejo
extensos trabajos sobre la divisibilidad.
ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 3
PRIMER AÑO
DIVISIBILIDAD
LA HERENCIA
“Ya solo quedan 8 camellos, siendo 4 la
Jotar y su alumno viajaban por el desierto
en un solo camello montando uno a la vez sobre el
animal; en su camino se encontraron con cuatro
hermanos que discutían por lo cual Jotar decidió
mitad. Por lo tanto toma ahora los 4 que te
corresponden” le dijo al tercer hermano.
“Por último a ti que eres el menor te
corresponde la mitad de 4 que es 2”.
intervenir.
“Entenderán que mi juicio fue justo pues
“Saludos amigos míos”, ¿podría saber el
motivo de su discusión? Preguntó Jotar; uno de los
hermanos replicó:
“He aquí que somos cuatro
hermanos a las cuales nuestro padre dejó estos 31
camellos como herencia, siendo lo único de valor
que poseemos, nuestro padre antes de morir dijo
que la mitad de estos camellos sea para mi que soy
el mayor, la mitad del resto para mi segundo
hermano, la mitad de lo que sobre para mi tercer
hermano y así hasta llegar a mi cuarto hermano.
todos
salieron
ganando,
además
restan
dos
animales, uno de ellos era el que agregó mi alumno y
el otro coincidirán que sería el pago justo por mi
juicio”.
“Así es” exclamaron muy satisfechos los
hermanos
los
cuales
se
despidieron
muy
agradecidos de Jotar y es así que Jotar y su
alumno pudieron viajar por el desierto montados
esta vez cada uno en un camello.
Pero sucede que la mitad de 31 es 15 y medio y la
mitad del resto es 7 y cuarto y la mitad de lo que
sobra es 3 y 5/8 y así sucesivamente, pero mis
hermanos menores reclaman para ellos un animal
más para ellos y que yo reciba solo 15 porque a
decir de ellos ya tengo muchos”.
“Bueno, intervino Jotar; permítame que yo
juzgue”,
“esta
hermanos,
bien”
respondieron
los
cuatro
“pero antes permítanme agregar mi
camello a su herencia”, “estas loco maestro”
intervino el alumno de Jotar
“¿Cómo viajaremos
luego?”; “confianza” le dijo Jotar.
 CONCLUSIONES
Como te habrás dado cuenta, un número se
puede dividir de forma exacta solo si el resto
es cero.
31
2
32
2
30
15
32
16
1
0
Resto diferente
de cero
“Bueno ahora tenemos 32 camellos en la
herencia”; pasó el hermano mayor y Jotar dijo: “La
mitad de 32 es 16 pero antes te correspondían 15 y
medio, toma ahora los 16 camellos, creo que
salistes ganando” “Si y muchas gracias” replicó el
hermano mayor.
“Ahora restan 16, la mitad de 16 es 8 que es
lo que te corresponde ahora y no 7 y cuarto creo
que tu también sales ganando en este negocio” le
dijo al segundo hermano que también quedço
complacido.
Cuando esto sucede decimos que un número es
“Divisor” de otro.
“2 es divisor de 32”
“2 no es divisor de 31”
ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
porque:
DIVISIBILIDAD
16
 INTRODUCCIÓN
Pero referido a la operación de división,
este conjunto deja de ser cerrado: hablando en
general, el cociente de la división de un entero
por otro puede no ser entero. Al expresar
“número” vamos a entender siempre, si no se
dice lo contrario, que es entero.
En la lectura “La Herencia” el número de
camellos ¿se podía dividir exactamente entre 2?
Múltiplos
Si un número A se puede dividir
exactamente entre otro B se dice que: “A es
divisible por B”. Ejemplo:
números
se
puede
dividir
24 aparte del 1?
1 000 000
1 000 m
Metro
1m
Estas cantidades se pueden expresar como:
2
24
3
24
4
24
6
24
12
24
8
24
6
24
4
0
0
8
24
12
24
24
24
3
24
3
24
1
0
=
10 m
1m x 100
=
100 m
1m x 1000
=
1000 m
1m x
=
m
1m x
=
m
llama
múltiplo
____________
de
de
un
dicho
número
número
al
por
¿Cuáles son los múltiplos de 8?
0
24
0
Se
1m x 10
____________ número natural.
24
0
Equivalencia
Megametro
Kilómetro
 DIVISIÓN
exactamente
16
Cuando a Jotar le preguntaron en la escuela,
¿Cuáles son los múltiplos del metro?, el
respondía:
Rpta.: _____________
qué
16
0
La suma, diferencia y producto de dos
números enteros resulta siempre enteros. Es lo
que suele llamarse a veces “Conjunto cerrado”
de números enteros, refiriéndose a las
operaciones
de
adición,
sustracción
y
multiplicación.
¿Entre
16
0
8 x
1 = 8
8 x
2 =
8 x
=
8 x
=
8 x
=
24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
¿Entre que números es divisible 16?
16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____

NOTA:
Una característica de la matemática es su
lenguaje simbólico, lo cual permite resumir
considerablemente lo que textualmente
sería un poco difícil de entender.
ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
Textualmente
se tiene
Notación
Simbólica
“A es múltiplo
de B”
A= B
59 _______ divisible por 2 porque resta
___________

59 =
+
63 ________ divisible por 2 porque resta
OBSERVACIÓN:
____________
Los términos divisible y múltiplo están
siempre asociados.
64

2
63 =

2 +
 Divisibilidad por 4 = (2
8
2
)
Un número es divisible por 4 si sus _____
últimas ________ son ___________ o
múltiplo de ___________.
 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
I.
Ejm:
¿ abc 4 84 es divisible por 4?
DIVISIBILIDAD POR 2
Si, porque: 84 es múltiplo de 4

1
 Divisibilidad por 2 = (2 )
Calcula el residuo de las
divisiones:
abc 484  4
siguientes
47 
2 = _______ resto ________
¿231 25 es divisible por 4?
No, porque 25 no es múltiplo de 4
24 
2 = _______ resto ________
25 = 4 con resto _____
320 
2 = _______ resto ________

=

23125 = 4 con resto _____
Un número es divisible por 2 si termina en
_____________
o
en

23125 = 4 + _____
número
_________
 Divisibilidad por 8 = (2
Ejm:
3
)
Es divisible por 8 cuando sus _________
46 es divisible por 2
46 es múltiplo de 2
últimas
cifras
son
____________
o
múltiplo de _______________

46 = 2
87 no es divisible por 2 porque resta
¿ 48ab35ab 128
_______________
Si, porque 128  8 = __________, residuo
87 se puede dividir entre 2 con resto
_________
_______________
87
es
múltiplo
_______________

87 = 2 + resto
de
2
con
resto
es divisible por 8?
¿36894 211 es divisible por 8?
______, porque 211  8 = _______ resto
________
ARITMÉTICA – 1ER. AÑO

36894211 = 8 + _______

¿Cuál es el resto en: 48abc 28  25 + resto?
Rpta.: _____________
II. DIVISIBILIDAD POR 5n
 Divisibilidad por 5 = (51)
¿En qué cifra debe terminar un número
para que sea divisible por 5?
Veamos:
120  5
resto ____________
241  5
resto ____________
482  5
resto ____________
633  5
resto ____________
684  5
resto ____________
905  5
resto ____________
Para que un número sea divisible por 5 su
última _________ debe ser _________ o
_____________
¿Cuándo un número será divisible por
125 = 53?
Rpta.: _____________
III. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9
 Un número es divisible por 3 si la ______
de sus ________ es ___________ de 3.
Ejm:
¿48651 es divisible por 3?
Solución:
4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24
24 es múltiplo de 3
48651 es divisible por 3

48651 = 3

120 = 5
¿352164 es divisible por 3?

241 = 5 + 1
3+5+2+1+6+4=

633 = 5 +
______ múltiplo de 3

684 = 5 +

482 = 5 +
352164 __________ divisible por 3.

905 = 5 +
¿368851 es divisible por 3?
No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31
 Divisibilidad por 25 = ( 5
2
)
31  3 = ______ resto _____

31 = 3 +
Un número es divisible por 25 cuando sus

_______________ cifras son ________
368851 = 3 +
=
o múltiplos de ___________. Ejem:
abc 00 es divisible por 25 porque sus 2
últimas cifras son ___________
¿48575 es divisible por 25?
________ porque 75 ________ múltiplo
de 25.
 Un número es divisible por 9 si la
__________
de
sus
________
________ de 9.
Ejm:
¿4329918 es divisible por 9?
Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36
36  9 = 4
es
ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
¿Cuál es el valor de “a”?

4329918 = 9

Si: 548429 = 11 + a
¿72652 es divisible por 9?
No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22
5 4
8
4
2
9
(9 + 4 + 4) – (2 + 8 + 5)
22  9 = ______ resto ______

22 = 9 +
17 – 15 = 2
=

72652 = 9 +
2  11 = ____ resto
548429 =

=
+
11
a=
IV. DIVISIBILIDAD POR 11
¿84436 es divisible por 11?
Eje rcicios
de
Apl icación
¿Cómo saberlo?
PASO 1.Empezando por la cifra de la derecha (6) se
suman de manera intercalada las cifras.
1.
8 4 4 3 6
6+4+8
Completar en
adecuadamente
los
espacios
en
blanco
 Si un número termina en cero o cifra par
entonces será siempre divisible por _____
PASO 2.A este resultado se le resta la suma de las
cifras que quedaron.
 Si un número termina en cero o cifra 5
entonces será siempre divisible por _____
2.
8 4 4 3 6
= (6 + 4 + 8) – (4 + 3)

= 18 – 7 = 11 = 11
 84436 es divisible por 11
Si el resultado fuera cero también será
divisible por 11.
3.
¿51030507 es divisible por 11?
5 1 0 3 0
5
0 7
(7 + 5 + 3 + 1) – (0 + 0 + 0 + 5)

16 – 5 = 11 = 11
 51030507 es divisible por 11
4.
Relacione ambas columnas:

I.
4125
(
) 2
II.
81423
(
) 3
III. 26132
(
) 5
Colocar verdadero
corresponda:


(V) o
falso (F) según
 El número ab46 es divisible por 4 (
)
 El número abba es divisible por 11 (
)
 El número ab25 es divisible por 25 (
)
Hallar “a”, si:

483a  25  8
a) 4
d) 1
b) 3
e) 0
c) 2
ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
5.
Hallar “a”, si:
14.

21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)?
a36482 a  9  2
a) 0
d) 3
6.
b) 1
e) 4
7 a6  3
y
b) 65
d) 63
e) 62
c) 64
¿Cuántos múltiplos de 15 hay en:
c) 3
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
Hallar el valor de “a” si:


y 4b  5
a) 7
d) 8
Si:
b) 5
e) 0
c) 9

b43b  5
1.
Calcular el residuo de dividir: 437 b entre 9.
a) 1
d) 4
9.
a) 66
21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)?
4bca  5
b) 2
e) 5
b3a  11
8.
15.

a) 0
d) 4
7.
c) 2
Hallar el valor de “a” si:

¿Cuántos múltiplos de 3 hay en:
b) 2
e) 5
T area
Domi ciliar
ia
Completar
en
los
Nespacios
º 5 en blanco
adecuadamente:
 Si las dos últimas cifras de un número son
c) 3
ceros o múltiplos de 4 entonces el número
es siempre divisible por _____________

Si: 864 a  11
Calcular el residuo de dividir: dba 8 entre 4.
a) 0
d) 3
10.
siempre divisible por _____________
2.
b) 70
e) 100
b) 28
e) 32
c) 80
3.
c) 30
4.
b) 71
e) 74

(
)
3
II. 5027 (
)
4
III. 61602 (
)
11
Colocar verdadero
corresponda:
(V)
I.
¿Cuántos múltiplos de 11 hay en:
4; 5; 6; 7; … ; 787?
a) 70
d) 73
Relacione ambas columnas:
c) 34
¿Cuántos múltiplos de 9 hay en:
21; 22; 23; … ; 287?
a) 29
d) 31
13.
múltiplo de 9 entonces el número es
¿Cuántos múltiplos de 7 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 564?
a) 60
d) 90
12.
b) 33
e) 38
 Si la suma de cifras de un número es
c) 2
¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 300?
a) 30
d) 37
11.
b) 1
e) 4
1724


o
falso
(F)
 El número 4624 es divisible por 25.
(
)
 El número ab65 es divisible por 4.
(
)
 El número 63851 es divisible por 11. (
)
Hallar “a” si:

387 a  25 + 3
c) 72
según
a) 1
d) 7
b) 2
e) 8
c) 3
ARITMÉTICA – 1ER. AÑO
5.
Hallar “a” si:
10. Calcular “b”

a8672 a  9 + 4

86325 = 9 + b
a) 1
d) 4
6.
b) 2
e) 5
78a5  25
a) 5
d) 0
b) 2
e) 6
c) 7
Hallar el valor de “b” si:
aa63 a  8
a) 0
d) 3
b) 1
e) 5
c) 2

Si: 431 a  4
¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”?
b) 2
e) 10
c) 6
c) 4
¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; … ; 264?
a) 30
d) 33
b) 31
e) 34
c) 32
a) 40
d) 37
b) 39
e) 36
c) 38
13. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en:
32; 33; 34; … ; 1624?
a) 147
d) 144
b) 146
e) 143
c) 145
14. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay en:

Si: 64 a7  11
12(4); 13(4); 20(4); … ; 313(4)?
Calcular el residuo de dividir: db 8a entre 4.
a) 0
d) 3
b) 2
e) 8
12. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en:
18; 19; 20; 21; … ; 364?

b2a  9
a) 4
d) 8
9.
11.

8a3  9

8.
a) 0
d) 6
Hallar “a” si:

7.
c) 3
b) 1
e) 4
c) 2
a) 9
d) 12
b) 10
e) 13
c) 11
15. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay en:
12(4); 13(4); 20(4); … ; 313(4)?
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3