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A MANERA DE PRÓLOGO:
El noventa por ciento de los estudiantes (posiblemente más que ese noventa por ciento) opinan
que “matemática es horrible”, que es la materia más difícil. Este mito se ha venido extendiendo
como una plaga que menoscaba, que dificulta su enseñanza. Desgraciadamente existe en nuestro
medio educativo una cantidad considerable de educadores que aprovechan esta circunstancia y
contribuyen a crear un ambiente negativo en la enseñanza de esta materia. Casi nadie está de
acuerdo en que es, como verdaderamente lo es, la más fácil, la más empleada. Convivimos con
ella, desde el pequeñín que vende golosinas en la calle, hasta el más grande empresario, hacen
cuentas de sus ingresos y egresos, de sus ganancias y sus pérdidas.
Por otra parte, además de convivir con ella, puede ser un excelente medio de ejercitación para la
mente, para el desarrollo del pensamiento lógico. Existen miles de situaciones en las cuales
podemos distraernos. El ejemplo siguiente puede servir: En una habitación rectangular, como es
lógico, existen cuatro esquinas; en cada esquina está sentado un gato; frente a cada uno de los
gatos están tres gatos. ¿Cuántos gatos hay en la habitación?
Y como éste, podemos enumerar muchos que pueden servir para hacer de la matemática una
materia fácil, divertida, llena de situaciones sugestivas, atractivas, que nos hacen pensar con
razonamiento lógico.
La gran mayoría de los estudiantes tienen serias dificultades en la comprensión del álgebra de los
números reales. Sumar, restar, multiplicar, dividir o efectuar cualquier operación con expresiones
algebraicas es una “misión casi imposible” y, contribuyendo a esta dificultad, el maestro que
imparte las clases a partir de segundo año de secundaria considera que no es de su incumbencia
enseñar a sumar, restar, o bien, cualquier operación con enteros, mucho menos con fracciones.
Las lagunas dejadas en los últimos años de primaria y el primero de secundaria con relación a este
tema, son fundamentalmente la clave para resolver este problema.
El presente trabajo está escrito con lenguaje sencillo, de fácil comprensión, sin frases rebuscadas
ni difíciles, presentando además algunas situaciones que son de cumplimiento ineludible, que en
todos los casos llevan a una realidad o a una situación irremisiblemente verdadera, es decir, son
leyes de estricto cumplimiento. Considero que es un aporte para dar solución a semejante
situación. Constituye un pequeño curso básico de aritmética. Elemental para comprender los
temas subsiguientes de las matemáticas.
2
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Probablemente desde que el hombre aparece sobre la faz de la tierra, tiene la necesidad de
CUANTIFICAR las cosas que le rodean. El razonamiento, atributo natural del ser humano, le
lleva a asignar un signo a cada número de cosas que le rodean, así, a un conjunto que tiene un
elemento, asigna el número 1. Al conjunto con dos elementos asigna el número 2 y así
sucesivamente, hasta un infinito número de elementos. De manera natural, surgen los números
desde el 1 hasta un infinito número, es decir, el conjunto de los números naturales:
N ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12…}
Observamos que este conjunto tiene un primer elemento: el uno (1). No tiene último elemento.
Si a este conjunto agregamos el cardinal del conjunto vacío (el conjunto vacío tiene cero
elementos, su cardinal es el cero), obtenemos otro conjunto: El conjunto de los números
cardinales:
C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13…}
Este conjunto es cerrado con respecto a las operaciones de suma y multiplicación, es decir, La
suma de dos naturales, siempre es un núme ro natural. El producto de dos números
naturales siempre es un natural.
No es así con respecto a la resta o sustracción: Si el minuendo es mayor que el sustraendo, no hay
problema. Ej.:
12-7 = 5.
20-4 = 16. 8-3 = 5. Etc.
Pero si el minuendo es menor que el sustraendo, la resta no es posible en los naturales. Este
conjunto es insuficiente para resolver esta situación. Entonces surge otro conjunto:
Los enteros negativos:
E- = {…. -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1}
Este conjunto no tiene primer elemento. Su último elemento es el -1.
Si unimos estos tres conjuntos (Naturales, cardinales y enteros negativos), obtenemos el conjunto
de los núme ros enteros (E):
E = {…-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…}
Como se puede observar, este conjunto no tiene ni primero ni último elemento.
El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a la suma, a la resta o
sustracción y a la multiplicación:
3



La suma de dos o más enteros, es un entero.
La dife rencia de dos enteros, es un entero.
El producto de dos o más enteros, es un ente ro.
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
LA SUMA O ADICIÓN:
Antes que nada, interpretemos los enteros negativos como una deuda, así:
-5: debo cinco
-9: debo nueve.
En este sentido, los enteros positivos serian lo contrario:
5: Tengo cinco.
9: tengo nueve.
En consecuencia, sumar enteros positivos equivaldría a sumar lo que tengo:
9+5=14
Sumar enteros negativos equivaldría a sumar deudas, por lo que el resultado sería siempre
deudas:
(-5)+ (-9)=-14
Por esta razón:
La suma de dos o más enteros positivos siempre es un entero positivo:
13+7+25+326+10= 3 81
1200+36+4
= 1240
La suma de dos o más enteros negativos siempre es un ente ro negativo:
(-13)+ (-7)+ (-326)+ (-10) = -381
(-1200)+ (-36) + (-4)
= -1240
Hasta ahora tenemos todos los sumando con signos iguales: Todos positivos o bien todos
negativos. Pero puede ocurrir que los sumandos tengan signos diferentes:
4
Si dos sumandos tienen signos diferentes, se restan y al total se pone el signo del sumando
que tiene mayor valor absoluto:
36 + (-96) = -60
-96
+36
-60
(-75) + 97 = 22
-
97
75 =
22
Si existen más de dos sumandos con signos diferentes:
Se asocian todos los enteros positivos. Se asocian todos los enteros negativos.
Se suman todos los enteros positivos e igual se hace con los enteros negativos.
Quedan dos sumandos: uno positivo y otro negativo.
Finalmente se restan estos dos sumandos y al total se pone el signo del sumando con mayor
valor absoluto.
35 + (-25) + (-12) + 9 + (-15) + 13
= 35 + 9 + 13 + (-25) + (-12) + (-15)
= 57 + (-52)
= 5
=
=
=
(-9) + 7 + 8 + (-3) + (-48) + 12
7 + 8 + 12 + (-9) + (-3) + (-48)
27 + (-60)
-33
En la suma con enteros podemos prescindir de los paréntesis, de manera tal que:
(-5) + 9 equivale a -5+9.
18 + (-8) equivale a 18 – 8
(-9) + (-6) + (-12) + (-3) equivale a -9-6-12-3
(-48) + 27 + 5 + (-32) equivale a -48 + 27 + 5 – 32
Efectuar las operaciones siguientes:
1. -36 + 25 + -69 + -123 + 58 + 9 – 62
2. 128 + 15 – 96 + 68 – 39 – 65 + 38
3. – 658 + 26 + 98 – 36 – 89 + 125 + 13
4. – 45 – 69 – 46 – 168 – 2 – 9 – 269
5. 76 + 4589 + 8 + 352 + 4 + 68
6. 9 + 65 + 132 + 8 + 6932 + 8
7. -45 – 69 – 123 + 45 + 136 + 9
8. – 985 + 9 + 86 – 36 – 9 + 326
9. 589 – 6 – 68 + 63 + 5 – 623
10. 15 + 36 – 63 – 98 + 129 – 923
5
LA RESTA O SUSTRACCIÓN:
La resta o sustracción no es más que la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
El opuesto de un entero es el mismo entero pero con signo contrario, así:
El opuesto de 9 es – 9.
El opuesto de – 12 es 12
El opuesto de 27 es – 27.
El opuesto de – 6 es 6
El opuesto de – 5 es 5
El opuesto de 15 es – 15
Para todo a, b en los enteros a – b = a + (-b)
En la expresión “De a restar b”, a es el minuendo y b es el sustraendo. Esta expresión equivale a
decir “Restar b de a”.
Restar 5 de -4:
Minuendo: -4.
- 4 – 5 = - 4 + (- 5) = - 9
Sustraendo: 5
En la resta o sustracción de dos enteros, se pueden dar cuatro posibilidades:
1.
2.
3.
4.
El minuendo y el sustraendo son positivos.
El minuendo es positivo y el sustraendo es negativo.
El minuendo es negativo y el sustraendo es positivo.
El minuendo y el sustraendo son negativos.
Minuendo y s ustraendo positivos: En este caso la resta se efectúa sin hacer uso del cambio de
signo del sustraendo. Si el minuendo es mayor que el sustraendo, la diferencia es un entero
positivo. Si el minuendo es menor que el sustraendo, la diferencia es un entero negativo.
17 – 5 = 12
32 – 23 = 9
45 – 10 = 35
12 – 32 = -20
10 – 45 = -35
60 – 70 = -10
Minuendo positivo y sustraendo negativo: El opuesto del sustraendo es un entero positivo, por
lo que queda la suma de dos enteros positivos y en consecuencia, la diferencia será siempre un
entero positivo:
a – (- b) = a + b
12 – (- 8) = 12 + 8 = 20
15 – (- 32) = 15 + 32 = 47
45 – (- 80) = 45 + 80 = 125
6
Minuendo negativo y sustraendo positivo:
Si el sustraendo es positivo, su opuesto es negativo, por lo que queda la suma de dos enteros
negativos, en consecuencia, la diferencia siempre es un entero negativo:
-7 – 9 = - 7 + (- 9) = -16
Nota: se puede efectuar directamente:
-7 – 9 = - 16
-12 – 8 = - 20
- 9 – 5 = - 14
- 35 – 8 = - 43
Minuendo y sustraendo negativos:
Si el sustraendo es negativo, su opuesto es positivo, por lo tanto, queda la suma de un entero
negativo con uno positivo y la diferencia puede ser un entero positivo o un entero negativo,
dependiendo de que el valor absoluto del minuendo sea mayor o menor que el sustraendo:
-7 – (- 5) = -7 + 5 = -2
-5 – (-7 ) = -5 + 7 = 2
-12- (-9 ) = -12 + 9 = -3
-15 – (-30) = -15 + 30 = 15
-32 – (-21) = -32 + 21 = -11
El minuendo se acompaña de la preposición de y el sustraendo de restar, así:
De 7 restar -3 equivale a:
Restar -3 de 7:
7 – (-3) = 7 + 3 = 10
Restar 12 de -24:
-24 – 12 = -36
De 15 restar -17:
15 – (-17) = 15 + 17 = 32
Restar 35 de -40:
-40 – 35 = - 75
EJERCICIOS:
7
CALCULAR LAS DIFERENCIAS SIGUIENTES:
-17 – (-25)
32 – (-64)
75 – 87
64 – (-96)
-87 – (-65)
-64 – (-27)
87 – (-98)
95 – 64
54 – 45
96 – (-76)
-54 – (-36)
-23 – (-54)
-63 – 36
-87 – 64
-45 – 54
LA MULTIPLICACIÓN:
En la multiplicación, puede ocurrir que todos los factores sea n enteros positivos, todos los
factores sean enteros negativos o existan factores positivos y factores negativos, además, pueden
haber dos factores o pueden haber tres y más factores.
Si solamente hay dos factores:
Dos factores con signos iguales siempre dan un producto positivo. Es decir:
+ . + = +; (-)(-) = +
7 X 8 = 56
6 x 5 = 30
(-7)(-3) = 21
(-9)(-4) = 36
Dos factores con signos diferentes dan siempre un producto negativo. Es decir:
(-). + = -; +.(-) = (-5) x 7 = -35
12 * (-5) = -60
Si hay más de dos factores:
El producto de un número par de factores negativos, es positivo :
8
(-5)*7*(-2)*(-3)*4*(-10) = 8400
(-4)*(-3)*5*8*(-7)*(-5)*3*(-1)*(-2) = 100800
(-9)*6*(-2)*(-1)*(-7) = 756
El producto de un número impar de factores negativos es siempre un número negativo:
(-6)*7*(-8)*12*6*(-9) = -217728
5*6*(-9)*8*(-1)*(-1)*4*(-9)*(-5) = -388800
3*(-1)*(-9)*(-6)*7 = -1134
Problema resuelto
La cuenta corriente de Juan tiene saldo cero
por lo que decide usar su línea de crédito para
pagar a sus once trabajadores. Si a cada uno
le dio un cheque por 105 córdobas , ¿cuál es el
saldo de la cuenta después que todos los
trabajadores cobraron su cheque?
Solución
Resuelve los siguientes problemas
indicando en cada caso:
(a) El procedimiento.
(b) La operación con su resultado.
(c) La respuesta del problema.
Problema 1:
Lucas debe 375 córdobas a cada uno de sus siete
amigos. ¿Cuánto debe en total?
Problema 2:
El congelador de mi casa, que estaba a 0º C
de temperatura, ha descendido un promedio
de –5º C cada hora. ¿ A qué temperatura
estará el congelador de mi casa después de
6 horas?
Problema 3:
Catalina rindió una prueba de selección
múltiple, en la cual por cada respuesta
incorrecta, o no contestada, se le asignaban
–5 puntos. Si Catalina no respondió tres
preguntas y contestó mal 15, ¿cuántos puntos
obtuvo por estas preguntas?
Problema 4:
El edificio Copacabana tiene siete subterráneos
todos de igual altura. Si el piso del primer
subterráneo está a –5 metros, ¿a cuántos
metros estará el piso del séptimo subterráneo?
Problema 5:
Javiera y su hermana juegan con dos dados.
Si al lanzar los dados hay dos números iguales
ganan 20 puntos y si los dos números son
El nuevo saldo, negativo, será el
producto del número de cheques
que giró por el monto de cada
cheque: multiplicar 11 por – 105:
11 X (-105) = - 1155.
El nuevo saldo es de – 1155
córdobas.
9
distintos reciben –3 puntos, esto es, tienen 3
puntos en contra. Javiera tiró los dados 17
veces y en 15 oportunidades los números de
los dados eran distintos. ¿Cuántos puntos en
contra tiene Javiera en estos 17 juegos?
Realiza las siguientes operaciones:
1. 27 · (–765) =
2. (–888) · 22 =
3. 2220 · (–91) =
4. 267· (–15) =
5. 316 · (–17 ) =
6. 716 · ( –81) =
LA DIVISIÓN:
En la división, se sigue el mismo proceso con los signos que con la multiplicación.
+/+ = +.
+/- = - .
-/+ = - .
-/- = +
10/5 = 2; 15/-3 = -5;
-8/2 = -4; -6/-2 = 3
Problema resuelto
Cierto día, José tiene su cuenta corriente con saldo negativo de – 3700 córdobas. Para que no
le cobren intereses debe cancelar en cuatro cuotas iguales. Cuánto abonó en cada cuota?
Solución:
Para conocer el valor de cada cuota
se debe dividir el saldo (negativo)
entre el número de cuotas (4):
-
3700 4
10
- 925
20
0
Respuesta: debe abonar en
cada cuota 925 córdobas
10
Resuelve los siguientes problemas
indicando en cada caso:
(a) El procedimiento.
(b) La operación con su resultado.
(c) La respuesta del problema.
Problema 1:
¿A cuántos galones corresponden 105,98 litros
de pintura, si un galón equivale a 3,785 litros?
Problema 2:
Osvaldo estuvo en el Valle de la Muerte en
EEUU y descendió hasta la tercera parte de su
profundidad total que es de –0,084 Km. ¿A qué
profundidad llegó Osvaldo?
Problema 3:
Sergio tenía 1 hora para jugar en el computador.
Durante ese tiempo alcanzó a jugar doce y medio
juegos obteniendo en total –127200 puntos. Si
no ganó ningún juego y en todos obtuvo el mismo
puntaje, ¿cuántos puntos obtuvo en cada juego?
Problema 4:
El saldo de la cuenta corriente de Renato es de
–27,56 unidades de fomento. Si pacta esta deuda
de su línea de crédito en 13 cuotas y sin
intereses, ¿cuál es el monto de cada cuota?
Problema 5:
Sara dio una prueba de 50 preguntas, en la cual,
cada respuesta correcta correspondía 11 puntos;
y cada respuesta incorrecta, a – puntos. Si
Sara obtuvo –77 puntos por sus respuestas
erróneas, ¿cuántas preguntas contestó mal?
Se pueden efectuar las diferentes operaciones de manera combinada, usando signos de
agrupación. Estos signos son:
Paréntesis
Corchetes
Llaves
Barras
(
[
{
|
)
]
}
|
El orden en que se encierran es:
| {[ ( ) ] } |
Ejemplos:
11
Efectuar las siguientes operaciones indicadas:
| 13 – {15 + 7[(2-9) + 8] +1}/23| +9
| 13 – {15 + 7[-7 + 8] + 1}/23 | +9
| 13 – {15 + 7[1] + 1}/23|+9
| 13 – {15 + 7 + 1/23}| +9
| 13 – {23/23}| +9
| 13 – 1| + 9
| 12 | + 9
12 + 9
21
Hemos efectuado la operación entre paréntesis
Efectuando la operación entre corchetes
Efectuando 7[1] = 7
Efectuando la operación entre llaves
Si no hay signos de agrupación, primero se efectúan las divisiones y las multiplicaciones y
finalmente las sumas y restas. Eje mplos:
Efectuar 6/3 + 4/4
Efectuamos primero los cocientes 6/3 = 2 y 4/4 = 1 y tenemos:
6/3 + 4/4 = 2 + 1 = 3. R.
Efectuar 5 x 4/2 + 9/3 – 8/2 x 3
= 5 x2 + 3 – 4 x3
=10 + 3 – 12
=1
Hay diez zoquetes rojos y diez zoquetes azules mezclados e n el cajón del armario. Los veinte
zoquetes son exactamente iguales, salvo por el color. El cuarto está absolutamente a oscuras y tú
quieres dos zoquetes del mismo color. ¿Cuál es el menor número de zoquetes que debes sacar del
cajón para estar seguro de que tienes un par del mismo color?
SOLUCIÓN
Mucha gente, al tratar de resolver este acertijo, se dice: "Supongamos que el primer zoquete que
saco es rojo. Necesito otro rojo para hacer el par, pero el próximo puede ser azul, y el próximo, y
el próximo, y así hasta sacar del cajón los diez zoquetes azules. El siguiente zoquete tiene que ser
rojo, así que la respuesta debe ser doce zoquetes".
Pero este razonamiento pasa algo por alto. No es necesario que el par sea de zoquetes rojos. Sólo
es necesario que los dos zoquetes sean de igual color. Si los dos primeros no son iguales, es
seguro que el tercero será igual a uno de los otros dos, de modo que la respuesta correcta es tres
zoquetes.
EJERCICIOS:
12
Efectuar las operaciones indicadas siguientes:
1. [(-7 +2 +9 -4) (25 + 4 – 8)]/ 45
2. {[9 -18 + 7(5-9)]/-3}-(10 -15)
 9  6
3. (-9 + 6) / 3
=
3
4. (-18 -12) / 6
5. (16-12+10-2)/2
6. [(-9X-4)]/(-12+10)
7. (4x7x2x25)/(-50+25)
8. {[(8x6)-(7x4)]/10}+(25-36)
9. | 15 + 10{7-6 + [5 – (12-13) +2 ] – 8 }| + 4
10. {8 – 7 – [6(5 – 6 )]}
Efectuar las siguientes operaciones indicadas:
1. 8 + 6 / 3
2. 15/5 – 2
3. 12/4 x 3 + 5
4. 12/3 x 4 / 2 x 6
5. 5 x 6 / 2 x 4 / 2 x 7
6. 10 / 2 + 8 / 4 – 21 / 7
7. 15 + 6 / 3 – 4 / 2 + 4
8. 6/2 + 8/4
9. 6 + 8/2- 3x3 + 4
10. 50 – 4 x 6 + 3 x 5 – 9/3
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.
10
1
14
48
210
4
19
5
5
38
Un producto entre uno de sus factores:
Para dividir un producto entre uno de sus factores, basta suprimir ese factor en el
producto:
Efectuar (7 x 8)/8
(
7X8
=7
Solamente se suprime el 8
8
Efectuar (5 x 4 x 3)/4
5X 4X 3
= 5x3
Solamente se suprime el 4
4
LA SUMA DE DOS NÚMEROS MÁS SU DIFERENCIA ES IGUAL AL DUPLO DEL
MAYOR:
13
Ej.
(8 + 5) + (8 – 5) =
13 + 3
=
2 x 8 = 16
16
El mayor es 8. Duplo de 8 es 16
(125 + 40) + (125 – 40)
= 2 x 125 = 250
(350 + 48) + (350 – 48)
= 2 x 350 = 700
No necesitamos efectuar la suma y la
diferencia para hacer el cálculo. El mayor
es 125.
El mayor es 350
LA SUMA DE DOS NÚMEROS MENOS SU DIFERENCIA ES IGUAL AL DUPLO DEL
MENOR:
Ej.
Efectuar: (8 + 5) – (8 – 5) = 2 x 5 = 10
Efectuar: (125 + 32) – (125 – 32) = 2 x 32 = 64
APLICACIÓN:
La suma de dos números es 250 y su diferencia es 90. Hallar ambos números.
La suma de dos números más su diferencia es igual al doble del mayor. Así:
250 + 90 = 340.
340 es el doble del mayor
340/2 = 170
170 es el número mayor
La suma de dos números menos su diferencia es igual al doble del menor. Así:
250 – 90 = 160
160 es el doble del menor
160/2 = 80
80 es el número menor
R. Los números son 170 y 80.
La suma de los dos números es 250:
La diferencia de ambos es 90:
170 + 80 = 250
170 – 80 = 90
Resolver:
La suma de dos números es 1250 y su diferencia 750. Hallar los números. R: 1000 y 250.
La suma de dos números es 45678 y su diferencia 9856. Hallar los números. R. 27767 y 17911.
El triple de la suma de dos números es 1350 y el doble de su diferencia es 700. Hallar los
números. R. 400 y 50.
La mitad de la suma de dos números es 850 y el cuádruplo de su diferencia es 600. Hallar los
números. R. 925 y 775.
Un muchacho tiene 32 bolas entre las dos manos y en la derecha tiene 6 más que en la izquierda.
¿Cuántas bolas tiene en cada mano? R. 19 en la derecha y 13 en la izquierda.
Una pecera con sus peces vale 260 dólares y la pecera vale 20 dólares más que los peces. ¿Cuánto
vale la pecera y cuánto los peces?....R. 140 dólares la pecera y los peces 120 dólares.
14
☻ Cuando se divide la diferencia de dos números entre su cociente disminuido en uno, se
obtiene el número menor.
La diferencia de dos números es 8888 y su cociente es 9. Hallar los números.
8888 / (9 – 1) = 8888 / 8 = 1111

1111 es el número menor
Si el número menor es 1111 y como la diferencia de los dos números es 8888 entonces el número
mayor se obtiene sumando el menor con la diferencia de ambos:
1111 + 8888 = 9999
En consecuencia, los números son:
9999 y 1111
Resolver:
La diferencia de dos números es 150 y su cociente es 4. Hallar los números. R. 200 y 50.
El cociente de dos números es 12 y su diferencia es 8965. Hallar los números. R. 9780 y 815.
La mitad de la diferencia de dos números es 60 y el duplo de su cociente es 10. Hallar los
números.
R. 150 y 30.
La diferencia de dos números excede en 15 a 125 y su cociente es 3 unidades menor que 11.
Hallar los números. R. 160 y 20.
☻
Criterios de divisibilidad:
Divisibilidad por dos (2):
Un núme ro es divisible por dos si termina en cero o e n cifra par:
20 es divisible por dos por que termina en cero (20 / 2 = 10)
384 es divisible por dos por que termina en cifra par (termina en 4).
470, 268, 3500, 4654, 23672, 27890,……. Son divisibles por dos.
Divisibilidad por 3:
Un núme ro es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es 3 ó un múltiplo de 3:
36 es múltiplo de 3 por que 3 + 6 = 9 (los dígitos de 36 son 3 y 6)
4872 es divisible por 3 porque 4 + 8 + 7 + 2 = 21 (21 es múltiplo de 3: 3 * 7 = 21)
27393 es divisible por 3 porque 2 + 7 + 3 + 9 + 3 = 24 ( 24 = 3 * 8)
Divisibilidad por 4:
15
Un núme ro es divisible por 4 si termina en doble cero o sus dos últimos dígitos son múltiplos
de 4.
Los dígitos 4 y 8 obviamente son divisibles por 4.
También son divisibles por 4 los números 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64,
68, 72, 76, 80, 84, 88, 92 y 96.
Todo núme ro que termina en doble cero es divisible por 4:
100, 200, 300, 400, Etc. Son divisibles por 4 por que terminan en doble cero.
Si dos sumandos son divisibles por un número entonces su suma es divisible por el mismo
número.
360
Equivale a 300 + 60
300 es divisible por 4 porque termina en doble cero.
60 es divisible por 4 (60 / 4 = 15)
Como los sumandos 300 y 60 son divisibles por 4, entonces su suma : 360 es
divisible por 4.
416 es divisible por 4 porque sus dos últimos dígitos son divisibles por 4
3848 es divisible por 4 porque sus dos últimos dígitos son divisibles por 4
3848 = 3800 + 48
3800 es divisible por 4 porque termina en doble cero
48 es divisible por 4 (48 / 4 = 12)
3800 y 48 son sumandos de 3848, por lo tanto 3848 es divisible por 4.
Divisibilidad por 5:
Un núme ro es divisible por 5 si termina en cero o en 5:
4780 es divisible por 5 porque termina en cero
Igual ocurre con los números 40, 350, 7890, 3400, 6700, Etc.
4765 es divisible por 5 por que termina en cinco.
Son divisibles por cinco los números: 25, 3565, 875, 45, 28945, Etc.
Divisibilidad por 6:
Un núme ro es divisible por 6 si simultáneamente es divisible por dos y por tres.
270 es divisible por 2 porque termina en cero y es divisible por tres porque 2 + 7 = 9, en
consecuencia, es divisible por 6.
222 es divisible por 6 porque es divisible por 2 y por 3: por 2 porque termina en cifra par y por 3
porque 2 + 2+ 2 = 6.
16
246 es divisible por 6.
642 es divisible por 6
426 es divisible por 6
Divisibilidad por 7:
Un núme ro es divisible por 7 cuando separando la prime ra cifra de la derecha,
multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así
sucesivamente, da cero o múltiplo de 7.
Ejemplos:
Para saber si el número 2058 es
Divisible por 7, haremos lo siguiente:
Averiguar si el número 2401
Es divisible o no por 7
205 ,8 x 2 = 16
-16
_______
18,9 x 2 = 18
-18
0
240,1 x 2 = 2
- 2
23·8 x2 = 16
-16
07
Da cero, luego2058 es
divisible por 7
Da un múltiplo de 7 (7), luego
2401 es divisible por 7
Divisibilidad por 8:
Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras de la derecha son ce ros o
forman un múltiplo de 8:
Ejemplos:
5000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras de la derecha son ceros
6512 es divisible por 8 porque 512 es múltiplo de 8 ( 512 = 8 x 64 )
Divisibilidad por 9:
Un núme ro es divisible por 9 cuando la s uma de sus dígitos es 9 ó múltiplo de 9:
333 es divisible por 9 porque 3 + 3+3 = 9
17
Divisibilidad por 11:
Un núme ro es divisible por 11 cuando la diferencia entre la s uma de los valores abs olutos de
sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de
derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
Averiguar si 4763 es divisible por 11:
(3 + 7) – (6 + 4) = 10 – 10 = 0: 4763 es divisible por 11
Averiguar si 93819 es divisible por 11:
(9 + 8 + 9) – (1 + 3) = 26 – 4 = 22: 93819 es divisible por 11 porque 22 es 11 x 2
Divisibilidad por 13:
Un número es divisible por 13 cuando, separando la prime ra cifra de la derecha,
multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así
sucesivamente, da cero o múltiplo de 13.
Averiguar si el número
1456 es múltiplo de 13
Averiguar si 195
Es divisible por 13
145,6 x 9 = 54
-54
9,1 x 9 = 9
-9
0
19,5 x 9 = 45
-45
26
Da cero, luego 1456
es divisible por 13
Da 26 que es múltiplo de 13
luego 195 es divisible por 13
Divisibilidad por 17:
Un número es divisible por 17 cuando, separando la prime ra cifra de la derecha,
multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así
sucesivamente, da cero o múltiplo de 17.
Averiguar si el número
2142 es m. de 17
214,2 x 5 = 10
-10
Da cero, luego 2142
es divisible por 17
18
20,4 x 5 = 20
-20
0
19
MINIMO COMUN MULTIPLO (M. C. M.) Y MÁXIMO
COMÚN DIVISOR (M. C. D.)
El MÁXIMO COMÚN DIVISOR de dos o más enteros, es el MAYOR de todos los
DIVISORES COMUNES de dichos enteros, por ejemplo:
Divisores de 36 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18,36.
Divisores de 72 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 36,72.
Son divisores comunes a 36 y 72 los enteros 1, 2, 3, 6, 9,18 y 36 y el mayor de todos ellos
es el 36…. 36 es el MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE 36 y 72.
El Máximo Común Divisor se designa por las iniciales m.c. d. y se puede calcular de varias
formas:
M.C.D. POR INSPECCIÓN: se hace cuando los números son pequeños. Como el m.c.d.
de varios números tiene que ser divisor del menor de ellos, procedemos así: nos fijamos en
el número menor de los dados, si éste divide a todos los demás, será el m.c.d.
Por ejemplo:
Calcular el m.c.d. de los números:
18, 12 y 6. El menor de ellos es 6 y además los divide a todos. Luego, 6 es m.c.d buscado.
40, 20 y 5. El menor de ellos es 5 y este los divide a todos, luego 5 es el m.c.d. buscado.
Ejercicio:
Hallar por simple inspección el m.c.d. de los números:
15 y 30.
8 y 12.
9 y 18.
20 y 16:
18 y 24:
21 y 28.
R: 15
R: 4
R: 9
R: 4
R: 6
R: 7
24 y 32.
3, 6 y 9.
7, 14 y 21
18, 27 y 36
24, 36 y 72
30, 42 y 54
R: 8
R: 3
R: 7
R: 9
R: 12
R: 6
M.C.D. POR DIVISIONES SUCESIVAS:
Cuando se trata de dos números, se divide el mayor entre el menor. Si la división es exacta,
entonces el menor es el m.c.d. de los números dados. Si la división es inexacta, se divide el
divisor por el primer residuo: el primer residuo por el segundo residuo, éste por el tercero y
así sucesivamente hasta obtener una división exacta. El último divisor será el m.c.d..
Ejemplos:
Hallar el m.c.d. de los siguientes números:
150 y 25
150 : 25 = 6. La división es exacta, por lo tanto el m.c.d. es 25
20
2227 y 2125.
2227
102
1
2125
85
20
102
17
1
85
00
5
17
El m.c.d. de 2227 y 2125 es 17
Dividimos 2227 entre 2125.
El cociente es 1 y el residuo
es 102.
Ahora dividimos 2125 entre
102: El cociente es 20 y el
residuo es 85. A
continuación dividimos102
entre 85: Cociente 1 y
residuo 17.. Finalmente
dividimos 85 entre 17:
Cociente 5 y residuo 0
EJERCICIOS:
Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de:
137 y 2603.
1189 y 123656.
114 y 520.
51 y 187.
76 y 1710.
93 y 2387.
R: 137
R: 1189
R: 8
R: 17
R: 38
R: 31
111 y 518.
212 y 1431.
948 y 1975.
1164 y 3686.
303 y 1313.
19578 y 47190.
R: 37
R: 53
R: 79
R: 194
R: 101
R: 78
Si se trata de más de dos números, entonces se calcula primero el m.c.d. de dos de ellos;
después el de otro de los números dados con el m.c.d. encontrado; después el de otro
número con el segundo m.c.d. y así sucesivamente hasta el último número.
Ejemplo:
Calcular por divisiones sucesivas el m.c.d. de los números
4940, 4420, 2418 y 1092.
Hallamos el m.c.d. de 2418 1092
2
4
1
2
2418
1092
234
156
78
234
156
78
00
21
Ahora hallamos el m.c.d de 4420 y 78.
56
1
1
4420
78
52
26
520
26
0
52
Finalmente hallamos el m.c.d. de 4940 y 26.
190
4940
26
234
000
El m.c.d. buscado es 26.
EJERCICIO:
Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de los números:
2168, 7336 y 9184. R: 8
425, 800 y 950.
R: 25
1560, 2400 y 5400. R: 120
78, 130 y 143.
R: 13
153 , 357 y 187.
R: 17
236, 590 y 1239.
R: 59
465, 651 y 682.
R: 31
136, 204, 221 y272. R: 17
168, 252, 280 y 917. R: 7
M.C.D. POR DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES PRIMOS:
El m.c.d. de varios números descompuestos en sus factores primos, es el producto de sus
factores primos comunes, afectados de su menor exponente.
Hallar el m.c.d. de 1800, 420, 1260 y 108.
1800 2
420 2
1260 2
108 2
900 2
210 2
630 2
54 2
450 2
105 3
315 3
27 3
225
3
35
5
105
3
9 3
1800 = 2 375
x 3 2 3x 5
7 7
35 5
3 3
420 = 2 225
x 3 x5 5 x 7
7
7
1
1
1260 = 2 2 x5 3 25x 5 x 7
1
108 = 2 2 x1 3 3
Son factores primos comunes el 2 y el 3, siendo los menores exponentes 2 y 1
respectivamente, por lo tanto, el m.c.d. de los números dados es 2 2 x 3 = 12.
22
EJERCICIOS:
Calcular descomponiendo en sus factores primos el m.c.d. de los números siguientes:
20 y 80
144 y 520
345 y 850
19578 y 47190
33, 77 y 121
425, 800 y 950
R: 20
R: 8
R: 5
R: 78
R: 11
R: 25
2163, 7336 y9184.
54, 76, 114 y 234.
320, 450, 560 y 600.
858, 2288 3575.
464, 812 y 870.
98, 294, 392 y 1176.
R: 8
R: 2
R: 10
R: 143
R: 58
R: 98
Se llama MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos o más enteros, al MENOR de todos
los MÚLTIPLOS COMUNES de dichos enteros, por ejemplo:
Múltiplos de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, ……
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16,20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,……
Son múltiplos comunes al 3 y al 4 los números 12, 24, 36,…… pero el MENOR de todos
es el 12. En consecuencia, el M. C. M. de 3 y 4 es el 12.
Para calcular el M. C. M. de dos o más enteros, se descompone cada uno en sus factores
primos y el producto de todos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
es el mínimo común múltiplo buscado.
Calcular el M. C. M. de 25 y 35.
Factores primos de 25: 5 x 5 = 52
Factores primos de 35: 7 x 5
Otra forma:
25 35
5 7
1 7
1
5
5
7
El mínimo común múltiplo buscado es 7 x 5 2
= 7 x 25 = 175
= 52 x 7 = 25 x 7 = 175
M. C. M. de 25 y 35 es 175
Calcular el M.C.M. de 85 y 65.
Factores primos de 85: 5 X17
Factores primos de 65: 5 X13
El M.C.M. buscado es 5X13 X 17 = 1105
23
MÉTODOS PARA CALCULAR EL M.C.M. DE DOS O MÁS NÚMEROS :
POR INSPECCIÓN:
Como el m.c.m de varios números tiene que ser múltiplo del mayor de ellos, se observa si
el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás. Si es así, el mayor de los
números dados es el m.c.m. buscado. Si no los contiene, se busca cuál es el menor múltiplo
del número mayor que los contiene exactamente y éste será el m.c.m. buscado.
Hallar el m.c.m. de 8 y 4.
Como el mayor 8 contiene exactamente al 4, entonces 8 es el m.c.m. buscado.
Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4.
El mayor 8 contiene al 4 pero no contiene al 6. Múltiplos de 8: 16, 24,….este último, el 24
contiene exactamente al 6 y al 4. Por lo tanto, 24 es el m.c.m. de 8, 6 y 4.
Hallar el m.c.m. de 5, 9 y 11.
El mayor 11 no contiene a ninguno de los números dados; son primos entre sí, entonces el
m.c.m. de los números dados es el producto de todos: 5x9x11 = 495.
El m.c.m. de 5, 9 y 11 es 495.
EJERCICIOS:
Hallar por simple inspección el m.c.m. de los siguientes números:
7 y 14,
9 y 18.
3, 6 y 12.
5, 10 y 20. R:
4, 8, 16 y 32.
10, 20, 40 y 80.
2, 6, 18 y 36.
2, 15, 75 y 375.
4 y 6.
R: 14
R: 18
R: 12
R: 20
R: 32
R: 32
R: 36
R: 375
R: 12
8 y 10.
9 y 15.
14 y 21.
12 y 15.
16 y 24.
21 y 28.
30. 15 y 60.
121, 605 y 1210.
2, 3, 5 y 6.
R: 40
R: 45
R: 42
R: 30
R: 48
R: 84
R: 60
R: 1210
R: 30
M.C.M. MEDIANTE EL M.C.D.:
Se pueden presentar dos casos: que se trate de dos números enteros o bien que se trate de
más de dos números enteros.
24
SI SE TRATA DE DOS NÚMEROS ENTEROS:
Se multiplican los dos números y este producto se divide entre el m.c.d. de ambos
Hallar el m.c.m. de 84 y 120.
Hallamos el m.c.d. de 84 y 120
1
2
3
120
84
36
12
36
12
0
120 x 84
=120x7 = 840
840 es el m.c.m. de 84 y 120
12
Hallar el m.c.m. de 238 y 340.
1
2
3
340
238
102
34
102
34
00
238 x 340
= 238x10 = 2380
2380 es el m.c.m. de238 y 340.
34
SI SE TRATA DE MAS DE DOS NÚMEROS ENTEROS:
Se halla primero el m.c.m. de dos de ellos, luego el de otro de los números dados y el
m.c.m. hallado, después el de otro de los números dados y el segundo m.c.m. hallado y así
sucesivamente hasta el último número. El último m.c.m. es el m.c.m. de los números dados.
Hallar el m.c.m. de 400, 360, 180, 54 y 18.
18 es divisor de 54 y 180 es divisor de 360, entonces nos quedamos sólo con 400, 360 y
54.
m.c.m. de 400 y 360:
1
9
400
360
40
40
00
400 x 360
=10 x 360 =3600
40
Hallamos el m.c.m. de 3600 y 54
66
1
2
3600
54
36
18
360
18
0
36
25
3600 x 54
=3600 x 3 = 10800.
10800 es el m.c.m. buscado.
18
EJERCICIOS:
Hallar, por medio del m.c.d. el m.c.m. de :
2, 3 y 11.
7, 8, 9 y 13.
15, 25 y 75.
2, 4, 8 y 16.
5, 10, 40 y 80.
7, 14, 28 y 56.
15, 30, 45 y 60.
3, 5, 15, 21 y 42.
R: 66
R: 6552
R: 75
R: 16
R: 80
R: 56
R: 180
R: 210
9, 12, 16 y 25.
16, 84 y 114.
110, 115 y 540.
210, 360 y 548.
100, 500, 2100 y 3000.
56, 72, 124 y 360.
105, 306, 405 y 504.
13, 91, 104 y 143.
R: 3600
R: 6384.
R: 136620
R: 345240
R: 21000
R: 78120
R: 385560
R: 8008
M.C.M. POR DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES:
El mcm de varios números por descomposición de factores es igual al producto de todos los
factores comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.
Calcular el mcm de los números 30, 60 y 190. Omitimos el 30 puesto que es divisor de 60.
60 190 2
30 95 2
15 95 3
5 95 5
1 19 19
1
Mcm: 22 x3x5x19 = 1140
26
Calcular el mcm de los números 360, 480, 500 y 600.
360
180
90
45
45
45
15
5
1
480
240
120
60
30
15
5
5
1
500
250
125
125
125
125
125
125
25
5
1
600
300
150
75
75
75
25
25
5
1
2
2
2
2
2
3
3
5
5
5
mcm: 25 x32 x53 = 32 x 9 x 125 = 36000
EJERCICIO:
Hallar por descomposición en factores primos, el mcm de:
32 y 80
46 y 69
12, 24 y 40.
32, 48 y 108.
5, 7, 10 y 14.
6, 12 y 50.
R: 300
100, 500, 700 y 1000.
14, 38, 56 y 114.
R: 160
R: 138
R: 360
R: 864
R: 70
13, 19, 39 y 342.
R: 4446
15, 16, 48 y 150.
R: 1200
14, 28, 30 y 120.
R: 840
96, 102, 192 y 306. R: 9792
108, 216, 432 y 500. R: 54000
21, 39, 60 y 200.
R: 54600
R: 7000
5, 10, 40 y 80.
R: 80
R: 3192
8, 10, 15 y 32.
R: 480
2, 3,
LOS NÚMEROS RACIONALES
Se llama cociente al resultado de dividir dos números. En el caso de los enteros, 2 es el
cociente de dividir 4 entre 2; 6 entre 3; 8 entre 4; Etc. 3 es el cociente de 6 entre 2; 9 entre
3; 12 entre 4; Etc. Y así sucesivamente, cualquier entero es el cociente de otros dos enteros.
Pero este conjunto no es suficiente para resolver todos los casos de la división, por ejemplo:
no existe un entero que sea el cociente de dividir 3 entre 4; de igual manera: 1 entre 2; 5
entre 7; 12 entre 15; Etc.
Por otro lado, existen cantidades discontinuas o pluralidades, como las naranjas colocadas
en un recipiente, que están constituidas por elementos naturalmente separados unos de
otros, así como cantidades continuas, como la longitud de una regla, la distancia de un
punto a otro, etc. Constituidas por elementos que no están separados entre sí.
27
La medición de cantidades continuas y las divisiones inexactas han hecho que se amplíe el
campo de los números enteros hacia los números racionales.
NÚMERO RACIONAL es todo número que se puede escribir como el cociente de dos
enteros. Todos los enteros son racionales por que cualquier entero se puede escribir como el
cociente de otros dos enteros.
Los racionales que no son enteros, reciben el nombre de números fraccionarios. Ej. 3
entre 5; 2 entre 3. Etc.
Los números racionales se escriben de la manera siguiente: los dos enteros uno sobre el
otro separados por una rayita horizontal. El número entero en la parte superior se llama
numerador, el número entero en la parte inferior se llama denominador. Ej.
3
. El denominador es 5 y significa que la unidad se ha dividido en 5 partes iguales.
5
El numerador es 3 y significa que de las 5 partes en que se dividió la unidad, se
toman 3.
2
. El denominador es 3 y significa que la unidad se ha dividido en 3 partes iguales.
3
El numerador es 2 y significa que de las 3 partes en que se dividió la unidad, se
toman 2.
Decimos que un número racional es el cociente de dos enteros, por lo tanto,
3
, que es un
5
número racional fraccionario tiene que ser el cociente de 3 entre 5 y en consecuencia,
3
5
(cociente) multiplicado por 5 (por el divisor), tiene que se igual al dividendo 3; en efecto:
3
x 5 = 3.
5
En otras palabras, todo número racional multiplicado por el denominador es igual al
numerador.
7
8
x 8 = 7;
5
x 9 = 5;
9
4
11
x 11 = 4;
17
x 45 = 17
45
PROBLEMA DE PESO
Si una pelota de basket pesa ½ kilo más la mitad de su propio peso, ¿cuánto pesa?
SOLUCIÓN
Antes de responder a este acertijo, es necesario saber exactamente qué significa cada
palabra. Por ejemplo, se podría enfocar de esta manera: "La pelota de basket pesa ½ kilo.
La mitad de su peso debe ser ¼ de kilo. Sumamos estos valores y obtenemos la respuesta
de ½ + ¼ = ¾ de kilo."
28
Pero el problema consiste en descubrir el peso de la pelota, y si resulta ser de tre s cuartos,
entonces no puede ser de medio kilo como se afirma al principio. Resulta claro que hay una
contradicción en este punto, así que debemos haber interpretado mal la pregunta.
Hay solamente una interpretación que tiene sentido. El peso de la pelota de basket es igual
a la suma de los dos valores: 1/2 kilo y un valor desconocido que es la mitad del peso de la
pelota de basket.
Si ponemos en uno de los platillos de una balanza la pelota, para equilibrar la balanza, en el
otro platillo debemos poner ½ kilo más ½ pelota.
Si se retira media pelota de basket de cada platillo de la balanza, ésta seguirá en equilibrio.
Habrá un peso de 1/2 kilo en un platillo y media pelota de basket en el otro, de modo que
media pelota de basket debe pesar 1/2 kilo y la pelota entera debe pesar el doble, o sea un
kilo.
En realidad, sin saberlo, ¡hemos resuelto el problema por medio del álgebra! En vez de usar
la ilustración, representemos media pelota de basket con la letra x. Y en vez de mostrar los
dos platillos en equilibrio en una balanza, utilicemos el signo algebraico de igualdad. Ahora
podemos escribir esta simple ecuación:
½+x=x+x
Si se quita la misma cantidad de ambos lados de esta ecuación, seguirá "equilibrada". Así,
si quitamos una x de cada lado, nos queda:
½=x
Recordemos que x representaba la mitad de la pelota de basket. Si media pelota pesa ½
kilo, entonces la pelota entera debe pesar un kilo.
LOS CIGARRILLOS DE LA SEÑORA P ITA
La señora Pita, una gran fumadora durante muchos años, finalmente decidió dejar de fumar.
"Acabaré los veintisiete cigarrillos que me quedan", se dijo, «y jamás volveré a fumar".
La costumbre de la señora Pita era fumar exactamente dos tercios de cada cigarrillo. No
tardó mucho en descubrir que con la ayuda de una cinta engomada podía pegar tres colillas
y hacer otro cigarrillo. Con 27 cigarrillos, ¿cuántos cigarrillos puede fumar antes de
abandonar el tabaco para siempre?
SOLUCION
Después de fumar 27 cigarrillos, la señora Pita juntó las colillas necesarias para hacer 9
cigarrillos más. Estos 9 cigarrillos dejaron colillas como para hacer otros 3; entonces con
las últimas tres colillas hizo el último cigarrillo. En total: 40 cigarrillos. La señora Pita
nunca volvió a fumar: jamás logró recuperarse de la pitada final.
29
Los números racionales fraccionarios pueden ser de tres tipos:
Propios: cuando el numerador es menor que el denominador:
3
;
4
Impropios: cuando el numerador es mayor que el denominador:
7
9
;
8
17
; Etc.
17
;
25
;
13
9
Unitarios: cuando el numerador es igual al denominador. Son iguales a 1.
75
…
13
4
4
;
7
…
7
En este sentido, podemos decir que los enteros son racionales fraccionarios impropios:
25
5
25
16
= 5;
5
18
= 4;
4
= 2.
;
16
;
18
4
; Etc.
9
Como se puede ver, estos números son enteros y son
9
racionales, pues se escriben como el cociente de dos enteros.
Tanto las fracciones propias como las impropias pueden ser de dos tipos:
Comunes y decimales.
Las fraccione comunes son aquellas cuyo denominador es cualquier entero diferente de 10,
de 100, de 1000, Etc.
Las fracciones decimales son aquellas cuyo denominador es 10, 100, 1000, 10000…
Si el denominador es 10, la fracción se llama “décimo”; si el denominador es 100 se llama
“centésimo”; si es 1000: “milésimo”. Etc
Las fracciones decimales se escriben de dos maneras:
1.- Como fracciones con su respectivo numerador y denominador:
3
7
;
10
1000
;
37
;
10000
9
; Etc.
100
2.- Como expresiones decimales, esto es, con una parte entera y una parte decimal,
separadas ambas por un punto llamado punto decimal. Si el número tiene una cifra decimal,
se llama “décimo”, si tiene dos, centésimo, si tiene tres, milésimo, etc.
Escribamos en forma fraccionaria:
0.05 =
5
100
.
0.037=
37
1000
.
0.29=
29
100
.
0.0008=
8
10000
.
3.7=
37
.
10
30
Escribamos en forma decimal:
4
29
= 0.4.
10
37
= 0.0029.
10000
7
= 0.037.
100
1000
475
= 0.07.
= 0.00475.
100000
EJERCICIOS:
Escribir en forma fraccionaria cada uno de los decimales siguientes:
0.25
0,0032
3.056
0.5432
0.0000008
0.009
0.0009
0.23497
0.0986
9.531
Escribir en forma decimal cada una de las fracciones siguientes:
3
5
=
4
=
8
3
16
2
=
25
7
=
17
=
250
9
=
5
7
=
32
=
50
NÚMERO MIXTO: es el que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Ej:
1
2
.
5
3
3
8
7
5
32 14
7
Cualquier número mixto se puede expresar como fracción impropia; para ello basta
multiplicar el entero por el denominador y este producto sumarlo con el numerador; la
suma así obtenida es el numerador de la fracción y se conserva el denominador. Ej:
Reducir 1
2
a fracción impropia.
3
Solución:
1
2
3
=
5
3
(1 x 3) + 2 = 5
Escriba diez fracciones impropias y reducirlas a número mixto.
Escriba diez números mixtos y reducirlos a fracción impropia.
31
Ejercicios
Convierte los números mixtos a fracciones.
1a. 10
𝟖
𝟏𝟗
2a. 1
𝟕
𝟑𝟔
𝟓
𝟏𝟒
𝟏𝟔
2b. 5
𝟓
𝟏𝟑
3b. 9
𝟖
𝟏𝟑
4a. 14
𝟕
𝟏𝟗
5a. 13
𝟒
𝟏𝟏
𝟏
6a. 16
𝟐
𝟏𝟎
7a. 3
𝟏𝟗
𝟏𝟎
8a. 12
𝟏𝟑
𝟏
𝟏𝟖
10ª. 1
𝟕
𝟏𝟏
3a. 4
9a. 2
1b. 8
𝟒
𝟏𝟖
4b. 16
𝟒
𝟏𝟎
5b. 2
𝟕
𝟏𝟑
6b. 13
𝟏𝟗
𝟏𝟒
7b. 14
𝟏𝟗
𝟏𝟓
8b. 7
𝟏𝟕
𝟏
𝟏𝟖
𝟕
10b. 8
1d. 11
𝟐𝟎
2c. 4
𝟏𝟗
𝟕
𝟏𝟓
2d. 4
𝟏𝟔
3c. 11
𝟏𝟕
𝟐
𝟏𝟔
4c. 20
𝟒
𝟏𝟑
𝟏𝟔
𝟏𝟒
9b. 12
𝟏𝟔
1c. 9
𝟗
𝟖
𝟏𝟖
𝟏
6d. 18
𝟏𝟖
𝟏
𝟏𝟎
𝟕
𝟏𝟒
𝟏𝟎
𝟏𝟒
7d. 18
𝟏𝟖
𝟖
8c. 8
8d. 15
𝟏𝟗
9c. 3
𝟐
4d. 2
5d. 6
𝟏𝟖
7c. 13
𝟗
𝟏𝟓
5c. 3
6c. 5
𝟐
3d. 11
𝟗
𝟒
𝟏
9d. 2
𝟏𝟕
𝟑
𝟏𝟎
10c. 19
𝟏𝟑
10d. 10
𝟒
𝟏𝟎
32
Soluciones de ejercicios de fracciones
Números mixtos a fracciones
1a.
𝟏𝟗𝟖
𝟏𝟗
𝟒𝟑
2a. 𝟑𝟔
3a.
4ª.
5ª.
6ª.
7ª.
8ª.
9ª.
𝟒𝟓
𝟖
𝟐𝟕𝟑
𝟏𝟗
𝟏𝟒𝟕
𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟐
𝟔𝟕
𝟏𝟗
𝟏𝟔𝟔
𝟏𝟑
𝟑𝟕
𝟏𝟖
10ª.
𝟏𝟏
𝟗
1b.
𝟏𝟑𝟓
𝟏𝟔
𝟕𝟎
2b. 𝟏𝟑
3b.
4b.
𝟏𝟐𝟖
𝟏𝟑
𝟖𝟐
𝟓
𝟓
5b. 𝟐
6b.
7b.
8b.
9b.
𝟕𝟏
2c. 𝟏𝟔
3c.
4c.
5c.
𝟐𝟔𝟎
𝟏𝟗
𝟐𝟖𝟎
𝟏𝟗
𝟏𝟑𝟒
𝟏𝟕
𝟐𝟏𝟕
𝟏𝟖
10b.
𝟗𝟕
1c. 𝟏𝟎
𝟕𝟗
𝟗
𝟖𝟗
𝟖
𝟐𝟔𝟒
𝟏𝟑
𝟑𝟓
𝟗
𝟗𝟏
6c. 𝟏𝟖
7c.
8c.
9c.
𝟏𝟖𝟗
𝟏𝟒
𝟏𝟔𝟐
𝟏𝟗
𝟓𝟓
𝟏𝟕
10c.
𝟐𝟓𝟕
𝟏𝟑
1d.
𝟐𝟐𝟓
𝟏𝟗
𝟖𝟑
2d. 𝟏𝟕
3d.
𝟏𝟎𝟏
𝟗
𝟗
4d. 𝟒
5d.
6d.
7d.
8d.
9d.
𝟒𝟏
𝟔
𝟏𝟖𝟏
𝟏𝟎
𝟏𝟔𝟗
𝟗
𝟏𝟒𝟑
𝟗
𝟕
𝟑
10d.
𝟓𝟒
𝟓
33
Ejercicios de fracciones 8
Convierte las fracciones a números mixtos.
1ª.
𝟑𝟔
1b.
𝟏𝟔
𝟏𝟒
𝟒
13
2a.
1c.
1
44
2c.
3b.
4a.
5a.
19
10
3d.
20
19
4c.
8
38
5b.
42
7
44
3
56
11
17
𝟏𝟖
2d.
3c.
4b.
𝟓𝟎
28
10
36
13
38
1d.
𝟏
34
2b.
3a.
𝟐
5
39
4d.
12
17
5c.
18
7
5d.
9
15
12
6
20
43
35
54
6a.
6b.
14
57
7a.
6c.
18
28
7b.
14
27
8a.
7c.
8b.
9a.
16
37
14
50
18
21
9d.
13
37
10c.
16
11
45
8d.
9c.
10b.
3
18
49
4
34
5
50
19
16
7d.
8c.
9b.
10a.
3
59
11
20
4
52
6d.
19
40
10d.
6
13
34
Soluciones de ejercicios de fracciones 8
Fracciones a números mixtos
4
2
1a.
2
2a.
16
13
1b.
2
14
3
1d.
4
4
2b.
1c.
2c.
2
18
4
4
3
2d.
2
10
19
5
3a.
4a.
4
3b.
3
13
5
4b.
3
4c.
1
5b.
2
1
6b.
2
14
1
7a.
4
7b.
14
3
8a.
18
6
2
11
8b.
5
6
4
2
9a.
10
6
9b.
2
5
2
10a.
16
14
2
10b.
3
3
16
3
4d.
2
12
5
5c.
15
7
2
20
7
1
8
9
6
6a.
2
7
11
8
5a.
3c.
12
3d.
1
12
2
6c. 11
3
5
7c. 3
18
1
8c. 3
16
11
9c. 2
13
1
10c. 6
6
18
1
5d.
1
6
16
6d.
2
19
5
7d.
1
11
9
8d.
2
18
2
9d.
10d.
1
19
1
3
13
35
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES:
LA SUMA:
SUMA DE DOS O MÁS RACIONALES FRACCIONARIOS:
1. CON DENOMINADORES IGUALES:
Para sumar dos o más fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los
numeradores y se conserva el denominador; finalmente, si el total es una fracción
impropia, se simplifica o se reduce a entero o a mixto.
Sumar:
4
2
15
7
25
2
15
7
4
+
9
+
7
1
= 15
9
5
8
+
3
=
7
=
15
+
+
2
5
=
+
3
=
15
9
+
+
16
1+7+5
9
=
13
9
4
= 19
=
4
=
5
5
+
4
5
1
=
13
2
+
11
+
5
7
13
11
7
+
5
13
9
4
2
7
+9+9=
7
5
25
2
+
7
17
25
+
15
=
2
+
17
+
4+2+1
12
5
+
17
9
3

12
3
1
1

12
4
1
+ 15 + 15 =
=
11
+
16
11
16
2. CON DENOMINADORES DIFERENTES:
En este momento conviene recordar dos cosas:
 Todo núme ro multiplicado por uno (1) es igual al mis mo núme ro:
20x1 = 20; 4x1 = 4; 350 x 1 = 350, Etc
 Cualquier fracción en la cual el numerador y el denominador son
iguales, equivale a uno (1).
Por tal razón, multiplicar
3
x1=
4
3
x
4
2
=
2
3
x
4
3
=
3
3
4
x
4
4
=
3
4
x
5
=… constituyen la
5
misma operación y, en consecuencia, los resultados son idénticos. Es decir:
3
4
=
6
8
=
9
12
=
12
16
=
15
=…
20
36
Para sumar fracciones que tienen denominadores diferentes, todos los sumandos se
transforman en fracciones que tienen denominadores iguales:
Sumar:
3
+
4
=
2
.
Como puede verse, tienen denominadores diferentes: 4 y 3.
Debemos multiplicar cada sumando por 1 (uno) de tal
manera que las fracciones queden con denominadores
iguales.
3
9  8
12
=
17
Multiplicamos
12
= 1
3
por
4
5
2
12
3
3
:
3
Por
3
4
4
2
:
4
x
3
3
x
3
4
4
9
=
12
8
=
12
Ahora las dos fracciones tienen el mismo denominador: 12
Obsérvese que el denominador al que transformamos los sumando es el
mínimo común múltiplo de los denominadores: m.c.m.(4, 3) = 12.
Entonces escribimos este número (12) como denominador común a todos
los sumandos. Dividimos entre el primer denominador (4) para saber cuáles
son los enteros de la fracción unitaria por la cual debemos multiplicar:
12 entre 4 = 3. ¡Ah! Multiplicamos
3
4
por
3
3
=
9
12
Igual hacemos con el segundo sumando: 12 entre 3 = 4. En consecuencia:
2
3
x
4
=
4
8
12
DICHO DE OTRA MANERA:
3
4
+
2
4 = 22 .
=
3 = 3.
M.C.M(4, 3) = 22 x3
3
+ 2.22
= 3.3
22 .3
=
9
12
=
17
12
+
3.22
8
12
Escribimos como denominador de cada
número racional el M.C.M. de los
denominadores. Multiplicamos cada
numerador por el factor que le hace falta al
denominador para ser igual al M.C.M. (22 x3).
Al denominador 4 (22 ) le hace falta 3.
Al denominador 3 le hace falta 22 (4)
37
Sumar
3
1
con
8
2
3
El mínimo común múltiplo de 8 y 2 es 8:
+
8
1
_ _
=
2
Escribimos 8 como
8
denominador común. Dividimos el denominador común 8 entre 8 y este cocie nte (1) lo
multiplicamos por el numerador 3 (3x1=3). El mismo 8 entre el denominador 2. Este
cociente (4) por el numerador 1 (4x1=4):
3
8
5
12
1
+
1
36
=
1
2
=
3 4
=
7
8
8
25
1
36
3
+
1
3
1
2
+
7
3
=
15
+
2
1
+
4
1
=
6
5
1
+
2
+
1
6
=
5
+
3
5
+
+
2
=
5
3
2
15  10
=
18
2
2
5
+
+
1
5 6
11
=
15
15
7
=
8
=
8
+
7
=
30
Sumar racionales positivos con negativos:
Igual que al sumar enteros positivos con negativos, las fracciones positivas también pueden
sumarse con fracciones negativas: Sumar:
5
con (-
7
2
).
3
Solución:
5
+ (-
7
2
)=
15  (  14 )
3
21
=
1
21
SUMAR:
2
+ (-
3
2
3
1
)+
2
+
1
5
+ (-
1
=
(-
6
7
15
3
)+
4
)=
(-
7
8
1
2
)+
1
3
+
1
=
8
+
3
=
4
38
SUMAR UN ENTERO MÁS UNA FRACCIÓN:
Si a cualquier fracción sumamos la unidad (1), bastará transformar dicha unidad en fracción
unitaria, utilizando para ello el denominador del sumando fraccionario:
3
Sumar 1 +
4
=
4
El sumando fraccionario tiene denominador 4:
Transformamos el 1 en cuartos:
3
+
4
4
7
=
4
1=
4
4
=1
3
4
O bien directamente: 1
3
4
1+
3
5
=
5
1+
7
15
9+
5
7
=1
1+
15
=9
7
5
2
=1
3
=
7
68
12 +
3
= 12
5
7
3
+
5
3
5
=
8
=1
5
3
5
2
1+
3
=
5
11
13
63
125 +
2
3
5
=1
11
13
= 125
2
3
Como puede observarse, sumar un ente ro más una fracción, equivale a convertir
números mixtos.
SUMA CON NÚMEROS MIXTOS:
Para sumar una fracción con un número mixto, se reduce el número mixto a fracción
impropia y luego se suman las fracciones resultantes; si todos los sumandos son números
mixtos, se reducen a fracción impropia y se suman normalmente :
Sumar:
3
2
5
2
4
15
+
7
=
17
8
+4
5
1
3
=
34
15
+
7
=
(17 )( 8 )  ( 7 )( 5 )
8
+
=
136  35
40
13
3
=
34  65
15
=
40
=
99
15
=
33
5
=6
171
40
=4
11
40
3
5
39
Nota: también se pueden sumar por separado los enteros con los enteros y las partes
fraccionarias entre sí:
2
4
15
+4
1
4
= (2 + 4) + (
3
1
4  5
3
15
+ )=6+(
15
9
)=6+
=6+
15
3
3
= 6
5
5
RESTA O SUSTRACCIÓN:
La resta o sustracción equivale a la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo, así:
3
De
3
2
restar (-
4
2
- (- ) =
4
)
5
=
5
15  8
20
1.
Restar
=
3
+
4
23
2
5
=1
20
3
20
5
8
De
3
.
De -
4
2.
2
De ( -
2
) restar (-
3
3.
De (-
1
2
1
5
.
De
3
8
. De -
2
5
.
De
1
.
3
)
7
) restar
7
8
40
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